淺談弗雷格的“函數和概念”

張翠媛

摘要：1879年，弗雷格出版了《概念文字》一書。在對日常語言進行了大量的分析與研究后，弗雷格發現語言存在的缺陷，對此，他在《概念文字》中首次提出并引入了函數和自變元，以此來解釋句子的邏輯結構。在《函數和概念》這篇論文中，弗雷格把概念解釋為一種函數；在《論概念和對象》這篇論文中，弗雷格運用函數理論，說明了概念和對象的性質及相互之間的關系。弗雷格在這么多的地方提及他的函數理論，并將函數運用到邏輯學的討論中，可見函數對弗雷格的重要性。

關鍵詞：弗雷格 函數 概念 真值

中圖分類號：O147 文獻標識碼：A 文章編號：1009-5349（2018）14-0246-03

函數在數學中的應用已有悠久的歷史了，而函數作為工具在邏輯學中的應用始于弗雷格的概念文字。在《概念文字》中，弗雷格把句子分析為兩部分，一部分是“固定的組成部分”，他稱這個固定部分為函數；另一部分是“可由其他符號替代的符號”，他稱這部分為函數的自變元，這樣就解釋了句子的結構。在《函數和概念》中，弗雷格詳細分析和論述了函數的性質，指出函數最基本的性質在于函數自身是不完整的，不飽和的或是需要補充的。他還解釋了他是如何把數學中的函數這一概念擴展到邏輯學中去的。說明函數“這個詞并非一開始就有它后來達到的如此廣泛的意義”。

一、函數及相關概念

在數學中有一種觀點認為，x的一個函數被認為是一個包含x的數學表達式，一個含有字母x的公式。弗雷格認為，這種觀點并不令人滿意。因為根據它，我們可以說：“3·x2+x”是x的一個函數，3·32+3是3的一個函數，而這恰恰沒有區分出形式和內容，沒有區別符號與符號所表達的內容。于是弗雷格就對自變元、函數表達式或函數解析式這幾種經常性表達逐一做了分析和研究，得出，“函數的真正本質就在那些表達式的共同因素之中”；就是說，在“3·x2+x”中除“x”以外還存在的東西之中，比如我們可以把它寫成“3·（ ）2+（ ）”。括號表示一個空位，這說明，函數并不包括自變元，“x”這個符號只是用來表明自變元填入的位置，并說明需要填入的類型，即數。同時x也說明了可以填入的數字的普遍性。因此這就說明了函數的三個非常重要的特征與性質：（1）函數本身是不完整的，它是需要補充的、不滿足的或不飽和的。（2）自變元不屬于函數，它是完整的，是獨立自由的整體，也就是說它是滿足的。（3）函數和自變元不同，自變元不屬于函數，但是，當滿足的自變元填入不滿足的函數時，它們就共同建立了一個完整的整體。對于“3·x2+x”這個函數解析式，如果用2作自變元補充它，結果就是“3·22+2”。由此可以說，14是2這個自變元的函數“3·x2+x”的值，因為“3·22+2=14”。因此便得出函數另一個非常重要的性質。（4）用一個函數的自變元填充這個函數所得到的完整的結果，我們稱它為自變元的函數的值。

二、從函數過渡到邏輯

弗雷格根據“函數”在數學中的應用，歸納出它的四種基本性質。但隨著科學的不斷進步，弗雷格逐漸認識到函數不能僅局限于數學分析中，如果能夠將這種數學分析方法擴展到對語言的邏輯分析中，那將會避免一些自然語言存在的缺陷。在意識到對函數擴展的重要性之后，他便將“函數”這一概念沿著兩個方向進行了擴展，并用擴展后的“函數”對邏輯進行了刻畫，從而實現了從數學公式到自然語言中句子的過渡。

（一）弗雷格沿著兩個方向將數學中的函數擴展為邏輯中的函數

方向一：用于構造函數的運算方法的領域的擴展。除使用數學中常用的加法、乘方、乘法及其逆運算以外，還增加了不同種類的跨界運算。即引入了=、>、<這樣的符號，這樣便可以在x像以前那樣代表自變元的地方討論“x2=4”這樣的函數。

對于擴展后的函數來說，它帶有一個等號。帶等號的函數和不帶等號的函數是有很大的區別的，比如x2+y2=1和x2+y2是兩個不同的函數。帶等號的函數表示的是一個等式，而等式的語言形式是一個斷定句。這樣的一個斷定句就含有一個思想作為它的涵義（或者它至少要求含有一個思想作涵義）；這個思想一般是一個真值；換句話說就是，這個思想一般是真的或者是假的。同樣，我們可以把這個真值當作這個句子的意謂，就像4這個數是“2+2”這個解析式的意謂，或者柏拉圖是“亞里士多德的老師”這個表達式的意謂一樣。

方向二：由于采用了復數，可以作為自變元和函數值出現的東西的范圍得到了擴展。

首先，是對自變元的擴展。比如引入了一般的對象做自變元，特別是引入像“亞里士多德”這樣的專名做自變元，這樣就可以談論數以外的一般事物，而不是僅僅限于談論算數句子。如談論并探討一般的語句，進而談論一般的概念和對象，這便實現了從數學語言到自然語言的過渡。而且此外，可以考慮以真值做函數的自變元，也就是說，以真或者以假作自變元。

其次，就是對函數值的擴展。弗雷格用了一個例子說明了這一點。假設我們有x2=4這樣一個函數?，F在我們分別用-2、-1、0、1、2來帶入自變元x，我們就得到

在這些等式中，第一個和第五個是真的，其他都是假的。因此弗雷格說：“我們的函數值是一個真值”。真值一共有兩個，一個是真這個真值，一個是假這個真值。因此（-2）2=4和22=4意謂相同的東西，都是意謂真，而（-1）2=4、02=4和12=4意謂相同的東西，都是意謂假。弗雷格還指出意謂的相同并不導致思想的相同。所有函數只以真和假這兩個值做真值，我們就得到函數的另一種性質：一個帶等號的函數的值總是一個真值，即它的值要么是真，要么是假。

（二）用擴展后的函數刻畫邏輯

（1）對命題邏輯的刻畫。首先，弗雷格引入了真值函數──x。他規定，如果以真做自變元，則此函數的值應該為真，而在所有其他情況下，此函數的值為假，即當自變元為假或者沒有真值的時候，這個函數的值為假。例如：——2+4=6。

2+4=6的意謂是真，這說明此函數是以真做它的自變元，所以根據弗雷格給出的真之條件我們可以判斷在這種情況下，──x這個函數的值應該是真。如果要對此函數作出斷定，那么就可以把它寫為：┠——2+4=6。這等于是說：斷定2+4=6。也就是說，2+4=6是真。

——2+4=5。2+4=5的意謂是假，這說明此函數是以假做它的自變元，根據此函數的真之條件我們可以推斷在這種情況下，──x這個函數的值應該是假。如果要對它作出斷定，即對它的真假作出判斷，那么就可以把它寫為：┠┬—2+4=5。

這等于是說：斷定并非2+4=5。這也等于說，2+4=5是假。

——6。6是一個阿拉伯數字，它沒有真值，即它既不是真的，也不是假的，這說明6這個自變元沒有真假，因此──x這個函數的值應該為假。

其次，邏輯中“非”的刻畫。弗雷格引入否定杠，即─┬─x。他將此函數理解為一個帶有──x這個自變元的函數，將否定杠左邊和右邊這兩部分橫杠理解為水平線。他規定：如果─┬─x以真做自變元，則此函數的值應該為假，而在所有其他情況下，此函數的值為真，即當自變元為假或者自變元沒有真值的時候，這個函數的值為真。例如根據這種理解，

─┬─22=6意謂是真，并且我們可以加上判斷杠：┠┬─22=6。以此我們可以判定，22=6不是真的，或者22不是6。但是—┬—3意謂也是真，因為3是一個數字，它沒有真值，┠┬—3，斷定：3不是真。

（2）對謂詞邏輯的刻畫。弗雷格說“概念——如同我對這個詞的理解——起謂述作用?！彼麑@句話進一步解釋為概念實際上是語法謂詞的意謂。對此，弗雷格將一個句子分為語法主詞和語法謂詞兩部分，而語法謂詞的意謂是概念，所以概念具有的邏輯特征語法謂詞也具有。在此基礎上，他便建立了他的一階謂詞邏輯系統。

首先，弗雷格刻畫了單稱命題和關系命題。單稱命題，如“北京是中國的首都”，用符號表示為Fa，其中F表示“是中國的首都”，a表示“北京”。讀作“a具有性質F”。關系命題。如“張三是李四的朋友”，符號表示為Rab，其中R表示“a是b的朋友”，a、b分別代表“張三”和“李四”。讀作“a、b具有R關系”。

其次，弗雷格刻畫了全稱量詞。比如對“所有的哺乳動物都是有紅血的”這樣的全稱命題的處理，用現代符號可以表示為“ ”，讀作“對所有的x來說，如果x是哺乳動物，那么x就是有紅血的”。其中，H表示謂詞“是哺乳動物”，B表示謂詞“是有紅血的”?！八械牟溉閯游锒际怯屑t血的”這個陳述不是關于所有的哺乳動物的陳述，而是關于函數“如果x是哺乳動物，那么x就是有紅血的”的陳述。這就是弗雷格對全稱量詞的刻畫。

最后，弗雷格還對存在量詞進行了刻畫。例如“有的烏鴉是白的”，用現代符號表示為“ ”，讀作“至少存在一個x，x是烏鴉，并且x是白的”。其中，F表示謂詞“是烏鴉”，G表示謂詞“是白的”?！坝械臑貘f是白的”這個句子并不是作出關于有的烏鴉的陳述，而是關于函數“x是烏鴉，并且x是白的”的陳述。這就是弗雷格對存在量詞的刻畫。

三、函數理論對邏輯學的意義

弗雷格經過對函數進行了兩方面的擴展之后，使得對數學語言的分析過渡到了對自然語言的分析，這便達到了弗雷格最初引入函數概念的目的。

（一）概念和函數

弗雷格認為“邏輯中稱為概念的東西與我們稱為函數的東西十分緊密地聯系在一起”。比如，函數“x是德意志帝國的首都”，對于自變元柏林來說，柏林是德意志帝國的首都為真，即函數值為真；對于自變元華盛頓來說，華盛頓是德意志帝國的首都為假，即函數值為假。也可以說：柏林屬于德意志帝國的首都這一概念，而華盛頓不屬于。由此弗雷格得出“概念是一個其值總為真值的函數”這一結論。從弗雷格對概念的這個說明可以看出，為了理解概念，必須理解函數，必須理解真值。也可以說，他是通過函數來說明概念的。

在弗雷格分析的函數的基本性質中，最主要的性質是：函數是不完整的，不滿足或不飽和的，需要補充的。所謂函數是不滿足的，是指函數表現了這樣一種邏輯結構，在這種結構中帶有空位。最簡單的函數是帶有一個空位的。因此，如果把概念看作函數，概念也要表現出這樣的一種邏輯結構。比如我們說：“亞里士多德是哲學家?！薄鞍乩瓐D是哲學家?！薄皠P撒大帝是哲學家?！边@三個句子都有一個共同的部分，就是“……是哲學家”。根據弗雷格的思想，這個共同的部分就是相應于函數的概念。我們也可以把它寫為“（ ）是哲學家”，或者“x是哲學家”。

括號表明了這個概念是不完整的，同時也標明了需要補充的位置，證明概念的不滿足性。如果我們以單稱詞或專名當作自變元來填充它，就會使它滿足，由此得到一個完整的句子。比如，我們如果把“亞里士多德”“柏拉圖”和“凱撒大帝”分別代入這個概念，就得到上面三個句子。這就表明，概念具有函數的基本性質，即概念是不完整的，不滿足或不飽和的，是需要補充的。

在以單稱詞或專名作自變元填充概念的過程中，像“亞里士多德”這樣的專名意謂個體的人，意謂對象，就像個別的數是對象一樣，因而是完整的、獨立的整體。概念雖然是不滿足的，但是用專名做自變元代入以后，就得到了一個完整的整體，即句子。因此滿足了函數的1、2和3這樣的性質。

弗雷格對函數性質進行了擴展，因此他還得出了另一個重要的結論，即函數等式的值總是一個真值。于是，弗雷格引入等號，就從一般的函數過渡到句子。例如，“（ ）征服高盧”是一個概念。我們用一個專名填充它，就可以得到一個完整的句子。如果我們以“凱撒”來填充它，就可以得到下面這個句子?！皠P撒征服高盧”。

這個句子的真值是真。如果我們用“亞歷山大”做自變元來補充它，就得到下面的這個句子?！皝啔v山大征服高盧”。這個句子的真值是假。因此可以說，概念也具有函數的第五種性質。

通過上述分析我們可以看出，弗雷格所說的概念是與句子緊密結合在一起的。它表現為句子的一部分，并且是不完整的一部分，用完整的對象補充它之后，就可以得到一個完整的句子，這個句子還要有思想作為它的涵義，真值作為它的意謂。因此也就可以解釋弗雷格為什么說一個概念是一個其值總是一個真值的函數。

從函數的性質4和5我們可以發現，函數在函數值方面存在著差異?！皒2+y2”和“x2+y2=z”都是函數，它們的值卻不同?！皒2+y2”的函數值是數，而“x2+y2=z”是一個句子，它的函數值是真值，即以真或者假為值。用任意數字代入x和y，“x2+y2”得到的總是一個數，無所謂真假，即它的函數值不是真值。比如“12+22”以5為函數值，“22+32”以13為函數值。而對于“x2+y2=z”的自變元的代入就不是任意的，因為代入不同的數會導致真值的不同。比如用1、2和5分別代入x、y和z，就得“12+22=5”，它的函數值為真。若用2、3和10分別代入x、y和z，就得“22+32=10”，它的值為假。所以“x2+y2”和“x2+y2=z”是兩種不同的函數。

（二）性質和關系

函數的種類有很多，但根據自變元個數的不同，可以把函數劃分為一元函數、二元函數和多元函數。用這個理論來分析自然語句，可以得到：一個一元函數，例如，“亞里士多德是哲學家”。這個句子可以分析為“亞里士多德”和“x是哲學家”兩部分。其中“亞里士多德”是完整的，做自變元成分?！皒是哲學家”是不完整的，需要補充的，所以是作為函數部分。弗雷格稱這樣的一元函數為概念。一個二元函數，例如，“亞里士多德是柏拉圖的學生”。這個句子可以分析為“亞里士多德”和“x是柏拉圖的學生”兩部分。再進一步分析，“x是柏拉圖的學生”又可以分為“柏拉圖”和“x是y的學生”這樣兩部分。所以這個二元函數就分成了“亞里士多德”“柏拉圖”和“x是y的學生”這樣三部分。其中“亞里士多德”和“柏拉圖”是完整的，自變元分別代入x和y?！皒是y的學生”是不完整的，需要兩個自變元來填充，所以它是函數。弗雷格稱這樣的二元函數稱為關系。

（三）概念層次

由于數是對象，對象是完整的，滿足的，而概念是不飽和的或不滿足的，需要補充的，所以對象和概念是根本不同的東西。由于對象與概念是根本不同的東西，因此以對象為自變元的函數和以概念為自變元的函數也是不同的。于是，弗雷格根據自變元種類的不同，把函數區分為第一層函數和第二層函數。拿一元函數來說，一個第一層函數，它是以對象為自變元的，例如，x是哲學家。它是一個包含一個自變元的概念。在自然語言中，概念起謂詞作用。它表示：一個對象x處于哲學家這個概念之下。而一個第二層函數，它是以概念為自變元的，例如，所有的人都是有死的。在這個函數中，自變元為所有的人，它表示對于所有的事物，如果它是人，那么它是有死的。在自然語言中，這是對量詞的刻畫。它表明：一個概念處于第二層概念之中。

在二元函數中，一個二元函數可以與自變元有同層關系或者有不同層關系，即同層函數或不同層函數。迄今我們所考慮的是同層函數。微商是一個不同層函數，例如如果將微分函數和被微分的自變元做自變元，或者，定積分是一個不同層函數，例如只要將積分函數和上述限定作自變元。同層函數又可以劃分為第一層函數和第二層函數。例如，F（f[1]）是這樣一個第二層函數，這里“F”和“f”指示自變元。

四、結語

弗雷格在這篇論文中談到“邏輯中稱為概念的東西與我們稱為函數的東西十分緊密地聯系在一起。人們確實可以說，一個概念是一個其值總是一個真值的函數”。他還談到以專名做自變元的擴展，并相應地談論了它們之間的關系。但是他的論述基本集中在函數的性質方面。

從形式上講，弗雷格的概念具有的最大特點就是它的不飽和性。這種不飽和性需要用對象對其空位進行填充，才能夠建立一個完整的整體。這與數學中的函數非常相似。

從作用上來說，弗雷格的函數理論對現代語言哲學的發展作出了巨大的貢獻。弗雷格概念理論在概念文字中所做的就是使句子表達更精確和更普遍，這為語言哲學分析提供了新的分析方法，為當代語言哲學開辟了一條新道路。

參考文獻：

[1]（德）弗雷格.弗雷格哲學論著選輯[M].王路譯，王炳文校.北京：商務印書館，2013.

[2]王路.弗雷格思想研究[M].北京：商務印書館，2008.

[3]張燕京.真與意義——達米特的語言哲學[M].保定：河北大學出版社，2011.

責任編輯：楊國棟