多管齊下解決高斯定理教學中的問題*

王洪濤 李艷

(中國礦業大學物理學院 江蘇 徐州 221116) (2018-04-04)

大學物理課程是本科教育階段的一門重要的公共基礎課程，課程具有知識量大、理論性強、結論抽象等特點．電磁學部分由于理論抽象、計算過程需要用到相對復雜的微積分知識等特征，致使學生在理解掌握知識上存在一定的困難．實際教學過程中經常性會遇到部分學生對傳統的定理推導過程抱有疑問，他們更傾向于采用“笨一點”的方法來思考問題．比如電場的高斯定理，該定理是計算規則對稱分布電場的有力工具，但是總有部分學生提出能不能利用前面學過的點電荷的電場強度疊加方法得到均勻帶電球體或球面在周圍任意一點的場強？學生的疑問其實暴露出了一定的問題，即學習知識的慣性思維，每當學到新知識的時候往往還希望嘗試用已熟練掌握的知識去解釋、推導及驗證．基于此，在講授新知識的時候可以根據教學進度分層次地引導學生進行驗證探索，這對學生深入理解掌握物理知識、復習應用數學及計算機知識都有很大的益處．

本文以靜電場中的高斯定理為例，采用“笨方法”——點電荷場強的積分方法和“小高招”——數值編程模擬方法對高斯定理進行驗證，使學生從不同角度不同層次上理解掌握知識．

1 高斯定理計算場強

采用高斯定理[1]計算均勻對稱分布電場的電場強度是大學物理中計算場強的重要方法之一，均勻帶電的圓球面在球面[2]及其周圍激發的電場具有均勻對稱分布的特點，是高斯定理應用的常見情況．設球面半徑為R，電荷密度為σ，寫出高斯定理的具體表達式為[3]

(1)

由此易解出距球心為x處的一點的電場強度為

(2)

2 矢量疊加法計算場強

通過點電荷電場的矢量疊加方法理論上可以直接積分求解任意帶電體周圍激發的電場．對于具有圓對稱性的帶電球面，可以通過合理劃分微分單元把一般的三維體積分簡化為一維線積分來處理．均勻帶電圓環在軸線上距圓心x的點的電場強度為

(3)

其中q為圓環所帶電荷，R為圓環半徑，x為場點距帶電圓環圓心的距離．可以把帶電球面沿垂直x軸方向分割為若干個半徑連續變化的同軸圓環，如圖1所示．以球心為坐標原點，水平向右為x軸方向建立坐標系．

圖1 帶電球面微分單元劃分示意圖

用夾角α表示微分元圓環的位置，則圓環所帶電荷為

dq=σRdα2πRsinα

其在x點的場強為

通過對α積分可以得到帶電球面在距球心x處的電場強度表達式

(4)

對式(4)進行化簡，令β=x2+R2-2xRcosα則可得到

(5)

其中

β1=(x-R)2

β1=(x+R)2

通過“笨一點”的積分方法得到結果與高斯定理得到的結果完全一致，不僅驗證了高斯定理的正確性打消了學生的疑慮，使學生對微積分方法在大學物理學習中的靈活運用有了更深入的理解和體會，同時也說明點電荷電場強度的疊加原理對任意帶電體的電場計算都是適用的，區別只在于積分計算的難易．

3 數值編程模擬

物理學知識理論性較強，結論定理大都比較抽象．可以通過計算機編程把抽象的公式定理用直觀的圖線演示出來，增強學生對知識的掌握[4]．積分的數值編程方法有很多，學生在數學及計算機課程上都有所涉及，通過計算機編程模擬不僅可以把抽象的知識形象化，而且能夠借此讓其了解數學及計算機編程手段的應用，可謂一舉多得．編程語言有很多，常見的有Matlab，C++，Fortran，Python等等，雖然在代碼書寫上存在一些差異，但是算法是共通的．Python 是一種不受局限、跨平臺的開源編程語言，它功能強大且簡單易學，代碼簡潔易懂，目前在很多行業已得到廣泛應用．數值編程模擬的主要目的是驗證定理結論或對抽象知識進行形象化展示，因此對運算速度及精度要求不高，可以采用經典的梯形法計算積分[5]， Python程序積分代碼如下：

#------------------

import math

sigma = 1e-8

epsilon = 8.854187817e-12

R = 0.2; x = 0.4; a = -1; b = 1; h = 2.0/16000; s = 0; m = a; f0 = 0

for i in range(16000):

m += h

f1 = (sigma*R**2/2/epsilon)*(L-R*m)/(L**2+R**2-2*L*R*m)**1.5

s += h*(f0+f1)/2

f0 = f1

print(x,s)

#-------------------

為了考察積分區間[-1,1]劃分子區間的數目與計算精度的關系，程序連續計算了子區間數目分別為1 000, 2 000，…，16 000共16組數據，并把計算結果與公式(2)進行了對比，求出其相對誤差，如圖2所示，其中橫軸為等分區間數目N，縱軸為模擬值與理論值的相對誤差．由圖可以看出，隨著等分區間數目的增加，計算結果很快收斂于理論值．當等分區間數目為N=7 000時，相對誤差已降至5×10-5以下．梯形積分法編程簡單，計算精度較高，能夠滿足教學驗證及學生課下實踐的要求，在增加對物理知識的理解及對抽象知識的直觀展示方面具有積極意義，適合在大學物理教學過程中推廣應用．

圖2 相對誤差與積分區間等分數目的關系

取N=16 000，R=0.2 m固定不變，場點距球心坐標由近及遠連續變化，x=1.2R，1.4R，…，4.0R，通過積分程序分別計算得到對應x距離下的電場強度，把x及對應電場強度數據存入數據文件“E.data”中，然后利用Gnuplot進行繪圖．Gnuplot是免費開源的科學繪圖軟件，具有很強的數據繪圖及參數擬合能力[6]，同時支持交互和腳本兩種工作模式，在輸出圖片的高質量和高可控性上有較強的優勢．在Gnuplot中寫入下述命令：

sigma=1e-8; R=0.2; epsilon=

8.854 187 817e-12

f(x)=sigma*R**2/(epsilon*x**2)

plot f(x) with line, ‘E.data’ using 1:2 with point

圖3 理論結果與數值模擬結果對比圖

4 小結

本文針對電場高斯定理教學實踐中的問題，通過點電荷場強積分方法計算了均勻帶電球面周圍的電場分布，并且采用開源、高效的程序語言Python及科學繪圖軟件Gnuplot對電場分布進行了數值模擬．采用多管齊下的方法使學生從不同角度對高斯定理展開了全面深入的學習和理解，不僅促進了學生對物理知識的掌握，而且讓他們體會到了微積分及數值編程知識在物理學習過程中的具體應用．采用Python及Gnuplot開源軟件實現抽象物理知識的直觀形象化在教師教學實踐及學生課下探索過程中具有很高的可執行性，值得在大學物理教學中進行推廣和應用．