核心素養視角下分式運算教學

黃 雄

（廈門雙十中學，福建 廈門 361000）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：運算能力是指根據法則和運算律正確地進行運算的能力?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）》也將“數學運算”列入六大數學核心素養。運算能力實際上是運算技能與思維能力的結合，是數學核心素養關鍵能力之一。培養運算能力有利于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。

一、正確剖析數學概念是發展運算素養的基石

數學概念揭示了數學對象的本質屬性，是數學運算法則導出的邏輯基礎，是逐步形成運算技能、發展運算素養的基石。分式一章概念較多，其中分式與分數在結構上具有相似性，分式是兩個整式的商（分母中的整式必須含有字母），分數是兩個整數的商，都要求分母不為0。筆者在復習過程中穿插設計了以下四道例題：

設計意圖：例1考查學生是否可以正確辨識分式；例2的目的在于正向引導學生鞏固分式有意義的條件是分母不為0；例3則以逆向思維的方式，先指定字母x的取值范圍，考慮所給選項中哪個分式可能沒有意義；例4分式化簡的結果是-x+3，學生極有可能任意取一數值代入計算求值，殊不知題干本身就隱含了x1±1，從而可能導致計算錯誤。

實際教學中，絕大部分學生都能正確解答例1與例2；而例3就有不少學生不知所措，究其原因是教師在日常教學時，大都按正向思維教學，平時學生的練習鞏固題也幾乎與例2相似，極少引導學生逆向思考。至于例4，在能夠化簡得到正確整式的學生中，有將近三分之一的學生沒有選擇0作為x的值代入求值，導致出錯。當然也有部分學生將0代入求值，僅僅是因為計算簡單，并沒有深層次考慮到題干中字母x的限制條件?？梢?，死記硬背或僅從字面上強化數學概念，并不能真正引導學生理解掌握數學概念；只有堅持正向引導與逆向思維相結合，同時在復雜計算中不斷鞏固，方可讓學生對數學概念的掌握內化于心、外化于形，為進行分式運算打好基礎，從而促進運算素養的發展。

二、熟練運用性質和法則是提升運算素養的前提

從根本上說，運算是一種技能，運算技能需要依據運算法則和相關性質，在運算過程中按程序操作。因此學生必須明晰運算法則和相關性質，進行合理運算。不少學生初學分式約分時，經常會犯這樣的錯究其原因，就是對分式的基本性質掌握不扎實。我們知道，約分的依據是分式的基本性質：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。該性質可以用式子表示為：其中A,B,C是整式。有的學生將此性質簡單理解為從而導致在計算本題時，直接將a和a2、b和b2進行約分，得出錯誤結論。因此，在分式運算復習課時，還是有必要設置相關辨析題。

［例5］下列等式從左到右的變形一定正確的是（ ）

［例6］如果正數x、y同時擴大到原來的10倍，那么下列分式中，值保持不變的是( )

設計意圖：例5中A和D兩個選項，等式從左到右的變形都不是同時乘（或除以）同一不等于0的整式，容易排除。學生往往糾結于B與C選項，要選出正確答案，除了必須對分式概念的內涵與外延有準確的理解外，還要熟練掌握分式的基本性質。對于例6，在學生正確解答后，還可以適當引伸：當構成分式的分子和分母的整式中，各項次數均相等時，將各字母同時擴大（或縮?。﹏倍，分式的值不變。

實際教學以上兩例時，盡管大部分學生都能得出正確答案，但耗費了不少時間。按教學設計之初的預想，筆者在實施教學過程中，大膽地對例6進行引申拓展?？蓪W生的反應并不盡如人意，不得不放慢講解速度，導致后續原定的教學任務只好做適當刪減，留下些許遺憾。從這兩個例子的教學效果來看，如果教師在實際教學中要求學生背默法則，以此來體現法則和性質的重要性，那是毫無益處的。問清錯誤，指出錯因，重現過程，重新建構，才是指導學生熟練運用性質和法則的有效方法，提高數學運算素養的重要手段和途徑。

三、領悟數學思想、理清算理是發展運算素養的核心

運算能力的培養與發展不僅反映在逐步提高運算技能方面，還應體現在提升和發展運算思維。在分式運算教學中，除了要學習和掌握分式運算方法，更應思考和領悟分式運算的算理和其中蘊含的數學思想。在反復練習、相互交流的過程中，教師要教會學生經常主動思考“為什么不能這樣算？”“怎么算得好？”等問題。由法則到算理的頓悟過程，有助于學生領悟數學思想、理清算理，完成操作層面向思維層面的深層次建構，是數學運算素養發展的核心步驟。

由于分數與分式是特殊與一般的關系，對于分式而言，性質、法則基本上都是類比分數得來。因此，在分式運算教學過程中，應該充分利用數式通性，將學生學習分數的經驗遷移到分式的學習中來，領悟其中滲透的類比、轉化、化歸等數學思想，達到事半功倍的

課后和學生交流中發現，犯此類錯誤的同學大都沒有真正理解數式通性，分數運算能力比較薄弱，不能有效地遷移學習分數的經驗。

眾所周知，相關性質和法則是所有運算的基礎。盡管因數分解在分數的乘除和加減運算中都起著重要作用，但功能不同。前者是為了找出分子分母相乘得出結果后的最大公因數約簡分數，后者是為了找出各分母的最簡公分母簡化運算；兩者都用到分數的基本性質，前者是為了約分約簡分數，后者是為了通分轉化成同分母分數的加減。

類比遷移：遇到分式相乘，遷移分數的乘法，分子分母各自相乘后約分即可；遇到分母是多項式的異分母分式相加減，先對各分母因式分解，找到最簡公分母，然后通分轉化為同分母分式的加減運算，接著依據同分母分式的加減法則操作，最后約簡。一旦學生理清算理，領悟到其中隱含的數學思想方法，就不至于出現前文所述的困惑。

因此，在分式運算教學中，應通過例題和練習給學生方法上的指引，理解算理，領悟算法及其中蘊含的數學思想方法，正確遷移，才不會混淆或者錯用法則。學生明晰了數學運算背后的算理，就明確了解題方向，才會采取自覺的行動，必將有助于學生運算能力的提升。

四、解決實際問題是提升運算素養的保障

分式與分式方程的復習安排兩個課時，第二課時側重于復習分式方程及其應用。在分式運算復習課教學中，仍須通過豐富的實際問題，滲透數學來源于生活，又服務于生活的教育理念，讓學生充分體驗建模思想。在實際問題教學中，教師要善于幫助學生從具體情境中抽象出數學問題，用符號語言表示數學模型，合理選擇算法求解，這是提升運算素養的保障。

例8某工廠現在平均每天生產機器的工作效率是原計劃的兩倍，現在生產600臺機器所需時間比原計劃生產480機器所需時間節省了45天，原計劃平均每天生產多少臺機器？

對以上方程，學生可以選擇不同解法。方法一，直接兩邊乘以2x去分母（通法）；方法二：對于先再兩邊乘以x去分母；方法三，先約分，兩邊同時除以15，化成得x=4。

一般地，根據實際問題列出的方程往往數據比較大。如何正確、合理、快速地進行計算，考量著學生諸如觀察、決策、推理、邏輯思維等多種能力。學生對算法多樣性的選擇需要在解題前養成觀察的習慣，而在其中所體現的即是學生個體的數學素養，這需要學生有一定的解題經驗和積累才能達到。

學生的數學運算能力是數學核心素養關鍵能力之一，良好的運算能力有助于學生數學核心素養的培養。在實際教學過程中，要想提高學生的數學運算能力，教師在教學中必須努力引導學生正確剖析數學概念，加強性質和法則的熟練應用；要幫助學生理解算理本質、領悟數學思想，重視聯系生活實際，最終提升和發展學生的運算思維；要真正讓學生養成會用數學的眼光看待世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界；要提高學生學習數學的興趣，促進學生運算能力的提升，從而培養學生數學核心素養。