一道具有生活情景壓軸題的原創過程*

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(華東師范大學寧波藝術實驗學校，浙江 寧波 315100)

一次中考數學命題時，筆者作為命題組組長，感到壓力很大，尤其是壓軸題的命制苦思冥想了許久．壓軸題有很高的要求：一要知識綜合；二要考查能力；三要梯度明顯．

命題組首先要確定問題的背景，是函數、圓還是四邊形？后來都被否定了，理由是想以生活實際問題作為背景，中考壓軸題生活化是許多年來很少嘗試的大膽創舉，命題組想試一試．

1 問題的來源

筆者曾學過木工，做過圓形桌面，那時候買一張矩形木屑板，按如圖1所示的方法鋸兩個半圓，拼成的圓桌面可以坐10個人．

圖1 圖2 圖3

實際操作是按圖2劃線的，即將木屑板沿對角線鋸開，平移使其出現正方形，然后畫出一個圓并鋸下，這樣操作要比圖1畫出2個半圓再鋸下簡單多了．

2 曾經的原題

在這個基礎上，筆者曾編制過這樣一道題：

問題1(原題) 已知矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，請在其內畫出兩個最大的半圓，使這兩個半圓可以拼成一個圓，求圓的半徑．

最大半圓的位置如圖1所示．有人質疑：如何證明這樣畫的圓的半徑最大？如圖3所示的畫法也可以得到最大的半圓，還有其他情形嗎？

3 初稿的設計

3.1 初稿的表述

為了回避以上這個難以回答的問題，命題組將原題改編成如下的命題：

問題2(初稿) 在矩形木板ABCD中，AB=3，BC=2，用這樣的木板做一個盡可能大的圓形桌面，設計了以下兩種方案：

方案1如圖3，圓心O1,O2分別在CD,AB上，半徑分別是O1C,O2A，鋸兩個外切的半圓拼成一個圓；

方案2如圖2，沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓．

分別求兩種方案圓的半徑．

3.2 初稿的遺憾

這樣的設計缺少新意，類似的問題以前已出現過．如何突破呢？如何讓函數、方程融入其中呢？最好能考查學生的探索能力[1]．筆者做圓桌面的經歷再次浮現．

4 問題的探索

那時筆者按圖2的方法做好圓桌面后，發現鄰居家的圓桌面是如圖4那樣拼的，即一個大弓形與一個小弓形拼在一起．同樣尺寸的一塊木板，按圖2或圖4做圓桌面到底哪個半徑大呢？這個問題讓筆者糾結了很多年．

圖4 圖5

這次一定要研究個水落石出，筆者在紙上畫出如圖5所示的圖形，在矩形內畫一個比半圓大的弓形，分別與AD，DC相切，即圓心O在∠D的平分線上，弦MN在AB上；再在矩形剩余部分畫一個比半圓小的弓形，弦CG在CB上，兩個弓形正好能拼成一個圓．如何求這種拼接方法圓的最大半徑呢？筆者決定借助幾何畫板來探索．

4.1 畫圖

打開幾何畫板，如圖6，畫一個矩形ABCD，使AB∶BC=3∶2(這個比例是筆者隨便取的)，按以下5個步驟畫圖：

1)作∠ADC的平分線，在其上取動點O；

2)作與AD,DC都相切的⊙O，交AB于點M,N；

3)作與AB垂直的⊙O的切線EF；

4)以MC為斜邊作等腰Rt△MPC；

5)以點P為旋轉中心，將矩形下方的弓形順時針旋轉90°得到以CG為弦的弓形．

這時驚奇地發現旋轉后的點G一定在BC上，也就是說NP和GP垂直且相等，這個發現可以作為一個問題讓學生探索，下面會再次涉及這個問題．

圖6 圖7 圖8

4.2 計算

如圖8，設AD=2，AB=3，設半徑OI=OM=ID=x，則

當CG=BC=2時，⊙O的半徑最大，此時

5 第二稿出臺

5.1 第二稿表述

問題3(第二稿)

圖9

情景展現黃木匠用長AB=3、寬BC=2的矩形木板做一個圓桌面．他想如果直接鋸下一個完整的圓，直徑只有2(如圖9);如果鋸下兩個半圓拼成一個圓，直徑會大一些.于是他設計了兩種方案：

方案1如圖3，圓心O1,O2分別在CD,AB上，半徑分別是O1C,O2A，畫兩個外切的半圓;

方案2如圖1，沿對角線AC將矩形木板分成兩個直角三角形，在每一個三角形內畫出最大的半圓．

問題解決1)方案1中圓的半徑長是______；方案2中圓的半徑長是______．

深入探究黃木匠又想，如果鋸下兩個弓形拼成一個圓，情況又如何呢？于是他又設計了一個方案．

方案3如圖5，畫一個比半圓大的弓形(稱為優弓形)，分別與AD,DC相切，圓心為O，弦MN在AB上．再在矩形剩余部分畫一個比半圓小的弓形(稱為劣弓形)，弦CG在CB上，優弓形和劣弓形正好能拼成一個圓．

圖10

如何畫出劣弓形呢？如圖10，以MC為斜邊作等腰Rt△CPM，以點P為旋轉中心，順時針旋轉90°，矩形外的劣弓形就被變換至矩形內了，這是為什么呢？問題歸結為下面的證明．

2)求證：PN=PG，PN⊥PG．

最后結論3)設方案3中優弓形的半徑為x，GB=y．

①寫出y關于x的函數解析式；

②顯然當y=0時圓的半徑最大，那么3個方案中圓桌面半徑哪個最大？

5.2 第二稿的遺憾

6 定稿的誕生

命題組要做的首先是對題目進行“減肥”，其次考慮把兩個弓形拼一個圓的過程讓學生來操作、探索[2]．經過反復打磨、研討和修改，定稿終于誕生．

6.1 定稿的表述

問題4(定稿) 木匠黃師傅用長AB=3、寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面．他設計了4種方案(如圖11)：

圖11

方案1直接鋸一個半徑最大的圓.

方案2圓心O1,O2分別在CD,AB上，半徑分別是O1C,O2A，鋸兩個外切的半圓拼成一個圓.

方案3沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓.

方案4鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓．

1)寫出方案1中圓的半徑.

2)通過計算說明在方案2和方案3中，哪個圓的半徑較大？

3)在方案4中，設CE=x(其中0

①求y關于x的函數解析式；

②當x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？請說明4種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大．

6.2 點評

最后的定稿所涉及到的核心知識有直線和圓、圓和圓、勾股定理、相似三角形、函數、方程．所涉及到的核心能力有直觀想象能力、運算能力、推理能力和建模能力．學生通過操作、探究發現解決問題的方法，考查了學生的問題解決能力．此題起點低，綜合性強，區分度好，中考結束受到師生、家長和媒體的一致好評．

第1)小題較為簡單，學生容易上手；第2)小題考查的知識比較綜合，難度有所上升；第3)小題第①問的函數要分類討論，為第②問埋下伏筆，對學生的閱讀理解能力、畫圖探究能力、分類討論能力、運用多種數學思想和方法的能力提出了較高的要求．

《義務教育數學課程標準》指出：初步學會在具體的情境中從數學的角度發現問題和提出問題，并綜合運用數學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力．由此可見，將實實在在的生活問題作為數學題是符合課標理念的，值得提倡．

6.3 解答

1),2)略．

圖12 圖13 圖14

這說明圓恰好經過點P．

7 閱卷反饋

7.1 難度系數(見表1)

表1 中考壓軸題的難度系數

從難度系數看，梯度比較合理．第3)小題的困難主要來自于如圖12～14的方案設計，從而說明現在的初中學生解決問題的能力尤其是解決實際生活問題的能力有待提高．

7.2 學生解答中的問題

圖15

在方案2中，學生添出如圖15的輔助線不難，但用圓的半徑表示線段O2E發生了困難．在方案3中沒有想到聯結OG或OH，而是延長DE交AB于點M，結果計算陷入了困境．

在方案4中，學生不合理的做法有3種:其一是如圖16那樣的剪拼，結果圓的半徑就小于如圖14的半徑；其二是如圖17那樣的剪拼，這是題意理解出錯；其三是如圖18那樣的剪拼，這是受到方案2的影響，問題復雜化了，而且結果圓的半徑依然小于如圖14的半徑．

圖16 圖17 圖18

看來方案4的文字敘述指向還可以更加明確，避免學生用兩個半圓拼接．

8 問題再探索

探索1矩形的長寬比.

若⊙O剛好經過矩形PMNG的一個頂點P，那么

OP2=OQ2+QP2=r2，

化簡得

a∶b=3∶ 2．

綜上所述，只有當a∶b=3∶ 2時，最大的⊙O恰好經過點P．運氣真好，在幾何畫板中作圖時，筆者隨意取的長為3、寬為2的矩形，居然取對了．

探索2圓的半徑還能大.

如圖7，⊙O和劣弓形都與EF相切時，⊙O與劣弓形相離．在圖7的基礎上如果⊙O半徑再增大，同時劣弓形端點C沿CD向左移動，使⊙O與劣弓形相切，如圖19，圓的半徑還要更大些．

圖19 圖20

在圖19中⊙O的半徑是多少？如果劣弓形畫成如圖20的位置，情況又如何呢？這些問題可以繼續研究．

9 體會與反思

通過本次壓軸題的命制過程，我們命題組有了以下體會、反思和成就感：

1)生活中有數學，數學可以為生活服務；

2)命制生活實際問題的數學題，要求教師關注生活，學會觀察和思考，數學地看待生活問題[3]；

3)借助于幾何畫板命題，能提高對問題探索的有效性；

4)近年來各地中考以函數圖像為背景的壓軸題越來越少，取而代之的是有鮮活背景材料的新穎題，我們要繼續努力尋找實實在在的生活材料；

5)定稿中的最后一個問題難度系數比較小，原因是學生難以設計“拼”和“畫”的方案．

筆者反思：教學中應該重視培養學生的多種能力，包括動手操作和方案設計能力，讓數學活起來．