彎弓射箭 考出素養*
——2018年浙江省金華市數學中考第16題PISA類試題的設計

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(金華市教育局教研室,浙江 金華 321017)

PISA數學素養是PISA評估的3個主要內容之一，強調在真實問題情境下數學化過程中的數學參與、數學運用及其應當具有的數學意識和問題解決中“表述”“運用”“闡釋”的數學能力，其考查過程很好地描述和評價了學生的數學素養.

因此,試題的設計應著眼于對數學“核心素養”的考查,需要問題情景、思考過程和反思應用來體現數學思想.在問題情景中，發現數學問題，聯系所學知識，嘗試探究解決，來實現對學生建模能力、探究能力、實踐能力和創新能力等核心素養的考查[1].現以2018年浙江省金華市數學中考試題填空題第16題的命制過程為例，來探討PISA理念下的試題編制.

1 設想計劃

根據試卷雙向細目表，填空題的最后一題設計為幾何建模問題，其情境與生活實際相聯系，選擇學生熟悉的背景，抽象出幾何圖形，借助學生平時數學活動經驗的積累，把觀察、探究、計算融合在一起，蘊含方程函數、數形結合以及轉化的數學思想方法，來體現PISA理念[2].

2 靈感追溯

近日，筆者在清華大學藝術博物館欣賞了法國雕塑家布德爾“拉弓的赫拉克勒斯”銅像，赫拉克勒斯是希臘神話中的英雄，在兩塊巨石上，赫拉克勒斯叉開雙腳頂在上面，腳趾因為用力而彎曲，全身肌肉隆起.他顴骨突兀，眼睛圓睜，神情嚴肅而威嚴.他一手握弓一手拉弦，整個身體向后用力坐，弓被拉得彎曲，形成一道優美的弧線，仿佛在向世人展示他無與倫比的力量,巨大的彎弓和舒展的四肢，形成激烈的動感和獨特的構圖.

在欣賞、感嘆布德爾的作品時，仿佛看到赫拉克勒斯彎弓射箭的整個過程，思考為什么會產生如此動感中的平衡，體現這位英雄的力量之美.當把虛無的弓弦補上的時候，發現箭就在弓弦的中垂線上.為此，能否以此素材為情景，在拉彎弓射箭的過程中，假設弓都保持圓弧，用數學的眼光、數學的思維來欣賞作品、研究作品，達到對這一主題思考的深度呢？

3 改編歷程

方案1如圖1是小明制作的一副弓箭,點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，假設弓臂BAC是圓弧形.測得AD=10 cm,BC=60 cm，求弓臂BAC所在圓的半徑.

圖1 圖2

如圖2，作出該圓的圓心O后，在Rt△BDO中，BD2+OD2=OB2,即302+(r-10)2=r2,求得圓的半徑r=50.

圖3 圖4 圖5

圖6 圖7 圖8

圖9

弓臂BAC所在圓的圓心為O,在Rt△OBH中，

BH2+OH2=OB2,

即

求弓箭的弓臂長度，有一定的實際意義，將等腰三角形的軸對稱、垂徑定理、三角函數、勾股定理等有機整合一起，很好地考查了圓的相關知識，特別是垂徑定理應用、Rt△OBH的構造，有一定的思維要求.但在拉弓射箭過程中,弓臂BAC的不變性沒有很好的體現.因此，能否選擇兩種特殊的情況，適度整合，利用其中弓臂、弓弦長度的不變性，結合兩種不同情況之間的聯系來設計問題.利用圖8，嘗試聯系圓的切線，形成方案3.

圖10 圖11

圖12 圖13

得出n=240°，這樣就可以得出∠O1B1D1=90°，說明B1D1與弓臂B1AC1所在的圓相切.

本方案中，將有關圓這部分的核心內容，如垂徑定理、切線的判定、弧長的計算等有機地融合在一起，達到了核心內容重點考察的目的.通過計算得出∠O1B1D1=90°來判定B1D1是圓的切線，改變證明切線的常用背景，即通過角的轉化來證明直線與半徑垂直，有一定的新意.聯結B1C1后得出∠B1D1A=30°，學生很容易得出∠B1O1D1=60°,有很大的迷惑性，需要學生對圖形有清晰的理解，能很好地甄別學生不同的思維水平.

但是，本題第1)和第2)小題都是有關垂徑定理的應用，通過構造直角三角形、利用勾股定理轉化為方程求解，得出的方程基本一致，考查雷同.另外，判斷B1D1與弓臂B1AC1所在圓的位置關系，在拉弓射箭過程中，其現實意義不大.

方案4(定稿) 如圖14是小明制作的一副弓箭,點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，弓弦BC=60 cm.沿AD方向拉動弓弦的過程中，假設弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長.如圖15，當弓箭從自然狀態的點D拉到點D1時，有AD1=30 cm,∠B1D1C1=120°.

圖14 圖15

1)圖15中，弓臂兩端B1，C1的距離為______cm.

2)如圖16，將弓箭繼續拉到點D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長為______cm.

圖16 圖17

在本方案中，直接判斷點D1是弓形所在圓的圓心，減少了通過計算的判斷，把學生的探究重點放在圖16中.在圖17中，聯結B2C2，設半圓B2AC2的半徑為r,根據弧長相等,有

得到r=20，在Rt△OD2B2中，

從而

這樣，在抽象出的幾何圖形中，通過聯系圓的知識，利用垂徑定理構造直角三角形等活動，將圓、直角三角形、等腰三角形以及勾股定理、圓的弧長計算、三角函數等核心知識有機地整合在一起.

在閱卷中發現，學生不理解“弓弦不伸長”，沒有得出BD=B1D1=B2D2=30 cm,在圖15中沒有判斷出D1是弓形所在圓的圓心，造成第1)小題的求解錯誤；在解決第2)小題時，由于學生不理解“弓臂BAC始終保持圓弧形”，就難以利用弧長相等這一等量關系得出關于r的方程.

另外，圖15中兩種拉弓狀態、圖16中3種拉弓狀態分別在同一圖中呈現，其好處是能夠讓學生直觀感受3種拉弓狀態之間的聯系以及變化過程，但圖形呈現略顯復雜，且淡化了對學生空間想象能力的考查，可以將圖16中箭拉到D1位置(即圖中弓B1AC1)去掉，讓學生在問題解決過程中，需要想象或畫出該狀態,更好地實現對核心素養的考查.

4 命題反思

該試題的編制過程采用“選擇生活情景，抽象數學模型，進行適度整合，探究考查方向”的方法，通過不斷嘗試，形成試題.這給編制含有PISA理念的數學試題帶來很多啟發.

4.1 選擇問題情境

PISA類試題都會設置一個貼近現實、蘊含數學知識的情境，且有“個人的”“社會的”“職業的”或“科學的”背景標簽，與生活緊密相連，目的是讓學生感受到數學的親切，增加對問題的熟悉和理解，來考查把握有用信息的能力.本題的“彎弓射箭”，為學生所熟悉，設問方向聯系實際需求，從初稿求弓臂BAC所在圓的半徑，方案2求弓臂BAC的長度，方案3切線的判定，最后修改為拉弓弦的距離D1D2的長度，更接近生活實際.試圖讓學生在閱讀的過程中，發現情境背后的數學問題本質，建模并抽象出數學問題，嘗試選擇恰當的數學知識解決問題，關注了空間圖形與生活的結合，體現數學是有用的.

4.2 表達圖形變化

4.3 體現數學思維