基于層合參數的工字型加筋壁板穩定性設計

王佩艷，岳春霞，耿小亮，楊白鳳，岳珠峰

(西北工業大學力學與土木建筑學院 飛行器結構完整性技術工業和信息化部重點實驗室，陜西 西安 710129)

1 前 言

復合材料具有比強度高、比剛度大、可設計性強等優點，在航空、航天、軍事、機械等領域得到了廣泛應用[1-3]。而復合材料加筋壁板是一種典型的承載結構，具有較高的抗彎剛度和較小的結構重量，顯著提高了結構的使用效率，因此，廣泛應用于對剛度和強度要求較大的平板或曲殼結構中，例如機翼、尾翼的翼面，梁腹板和機身上的蒙皮、隔框，以及火箭艙體等部位。加筋壁板的結構性能分析和設計技術是復合材料結構設計的關鍵[4]。

為了充分發揮復合材料加筋壁板的應用潛力，需要對結構進行優化設計，近幾十年來很多學者開展了復合材料方面的優化設計工作[5-6]。復合材料層合板的設計變量包括鋪層厚度和鋪層順序，如果直接以鋪層順序為設計變量進行包括強度、剛度、穩定性和頻率等約束條件下的優化設計，設計變量多，單次運行時間長，優化設計所需的運行時間幾乎是不可接受的。為了解決優化效率的問題，在復合材料層合板的優化設計中，通常將層合板厚度當作連續變量，采用分級優化策略進行鋪層順序的優化。分級優化的基本思路是首先開展以鋪層厚度、鋪層角、層合參數為設計變量的輕量化設計，然后以層合參數(主要是彎曲剛度系數)為目標，進行鋪層順序的優化。Cezar[7]等忽略耦合參數對穩定性的影響，以面內剛度系數和彎曲剛度系數為設計變量對復合材料板進行優化設計，然后以最優層合參數為目標采用數學準則法進行層合板的鋪層順序優化。J.Enrique Herencia[8-9]和Todoroki[10]將兩級優化方法應用于加筋壁板的設計中，首先對蒙皮、筋條緣條和腹板的鋪層厚度及層合參數(面內剛度系數和彎曲剛度系數)進行優化，然后以彎曲剛度系數為目標，進行鋪層順序優化。國內很多研究者也采用了分級優化。飛機強度研究所[11]采用COMPASS 優化軟件，提出了以層合板分層為基本單位，用滿應變準則設計層板厚度，以應變能調整分層比例的二級優化策略。李為吉[12]提出了復合材料結構優化的多級優化方法，系統級優化采用優化準則法得到最優鋪層厚度，在元件級優化中用線性規劃技術提高結構的應變能，從而得到最優的分層厚度。修英姝、崔德剛[13]等人首先用神經網絡模型確定鋪層數，然后采用遺傳算法優化得到鋪層順序，董永朋[14]等采用beam 單元模擬復合材料加筋壁板，并進行多目標優化設計。

近些年來，國內在復合材料優化設計方面取得了較為豐碩的成果，更多的優化方法將應用于復合材料的優化設計中。但是多級優化方法的計算過程較為復雜，而且在兩級之間有可能因為缺乏必要約束造成多級優化無法進行。復合材料層合板鋪層順序優化是典型的離散變量優化問題，無法采用常規的準則法或梯度法。Todoroki[10]應用分枝界限法對復合材料機翼進行了鋪層順序優化研究，但只適用于鋪層層數比較少的情況。Cezar[7]采用BSGS中的黃金分割方法，以面內剛度系數和彎曲剛度系數為目標，進行了鋪層順序優化。A.Rama[15]采用蟻群優化算法進行了鋪層順序優化。穆朋剛[16]等將蟻群算法引入復合材料層合板鋪層順序的優化設計中，采用遺傳算法的整數編碼方法，將層合板的鋪層順序優化問題轉化為求解旅行商(TSP)問題，然后采用改進后的蟻群算法進行優化設計。王偉[17]采用蟻群算法進行了T 形加筋壁板的優化設計。國內外對復合材料加筋壁板的優化設計多采用二級優化方法，集中研究鋪層順序的最優化問題，均未考慮加工工藝特征。本研究針對復合材料工字型加筋壁板的結構特點，建立了考慮工藝特征的仿真模型，然后采用二級優化策略對復合材料工字型加筋壁板進行了優化設計，在第二級優化過程中采用改進的遺傳算法進行了離散變量的復合材料鋪層順序優化設計。

2 層合參數定義

在單向板材料性能確定的情況下，層合板的性能僅與鋪層角度和鋪層厚度有關。為了直觀起見，可將面內剛度、耦合剛度和彎曲剛度等剛度性能以材料不變量和層合參數的形式表示。層合參數完全反映該層合板的面內、彎曲和耦合性能，一般將層合參數作為中間變量進行層合板的鋪層優化設計。

層合板的偏軸剛度矩陣為

其中，[Q]為正軸剛度矩陣，[T]為轉換矩陣，[R]為路透矩陣。 將層合板鋪層角度代入公式(1)并展開，得到公式(2)。層合板的偏軸剛度矩陣僅與鋪層角度和材料不變量有關。

其中：U為材料不變量，僅與單向板剛度有關，如式(3)所示。

層合板內力與應變關系如式(4)所示。

式中，{N}為層合板中面合力列陣；{M}為層合板中面合力矩列陣；{ε0}為層合板中面應變列陣；{κ}為層合板中面曲率列陣；[A]為層合板面內剛度矩陣；[B]為層合板拉彎耦合矩陣。

將式(2)代入式(4)，得到層合板的面內剛度列陣、耦合剛度列陣和彎曲剛度列陣，如式(5)～式(7)所示。

為簡單起見，將式(5)～式(7)中的求和公式用單一符號表示，分別得到層合參數，即面內剛度系數耦 合 參 數彎 曲 剛 度系數如式(8)～(10)所示。

從式(8)～(10)可以看出：

①面內剛度系數V*i僅與層合板的厚度、鋪層角度和鋪層比例相關，與鋪層順序沒有關系，面內剛度系數代表層合板的面內性能。

②耦合剛度系數ξ*i和彎曲剛度系數W*i不僅與層合板的厚度和鋪層百分比有關，而且與鋪層順序有關。一個特定鋪層的層合板具有唯一的面內剛度系數、彎曲剛度系數和耦合剛度系數。

③當鋪層角θ局限在0°、90°、45°和-45°四種鋪層角度時，sin4θ=0，所以V*4=ξ*4=W*4=0，此時僅有9個層合系數來表征層合板；當鋪層角θ等于0°和90°時，sin2θ=0，由式(10)可以看出W*3僅與45°和-45°鋪層的厚度及其鋪層位置有關，而且隨著45°和-45°鋪層距離越近及層合板厚度越厚，W*3越小，因此對層數較多的均衡對稱層合板可將W*3作為0處理。

④面內剛度系數V*i和彎曲剛度系數W*i是鋪層角位置的奇函數，而耦合參數是鋪層角位置的偶函數，所以當層合板為對稱鋪層時，耦合參數均為0，不為零的可變參數僅為面內剛度系數和彎曲剛度系數。

3 工字型加筋壁板有限元模型

工字型加筋壁板由于穩定性好，被廣泛應用于機翼蒙皮、加筋圓筒等結構中。近幾年來，開展了很多以減重為目的的工字型加筋壁板優化設計，優化方法也很多，但是大多數方法由于沒有充分考慮工字型筋條鋪設特點，優化結果不能直接應用于工程實際。本研究充分考慮工字型筋條鋪設特點，提出了一種針對工字型加筋壁板的有限元建模方法。

工字型加筋結構的鋪設簡圖如圖1所示。從圖可見，工字型筋條在鋪設中呈C 形鋪設，主要包括三個基本層合板：[形腹板、凸緣頂板和凸緣底板。如果按照上凸緣、下凸緣和腹板3個層合板進行優化設計則不能完全反映實際鋪層方式，其結果無法直接應用于工程實際中。因此有必要針對工字型筋條的鋪設特點，設計建模方法?，F根據工字型加筋壁板鋪設特點，將工字型加筋壁板簡化分為凸緣頂板、[形腹板、凸緣底板、以及基本蒙皮四個層合板，有限元模型的簡圖如圖1(b)。該建模方式考慮了工字型筋條的鋪設方式，根據該模型所得的優化結果可以直接用于實際結構的設計。

圖1 工字型筋條鋪設構型及簡化模型 (a)鋪設構型；(b)簡化模型Fig.1 Layup configuration and Simplified model of reinforced panel with I-stiffener (a)Layup configuration；(b)Simplified model

設某一工字型復合材料加筋壁板長700mm，寬為670mm，筋條之間的距離為200mm。加筋壁板的初始幾何外形尺寸如圖2所示，材料為T300/QY8911。

圖2 工字型筋條的幾何尺寸Fig.2 Size of I-shaped stiffener

有限元模型采用CQUAD4單元，通過PSHELL屬性卡定義各層合板的屬性：薄膜材料和彎曲材料。凸緣頂板和上腹板單元采用共節點的雙層單元模擬，二者之間的位置關系通過板單元的偏置來實現，凸緣底板和下腹板同樣采取共節點的雙層單元實現。模型的材料采用等效剛度模型，將面內剛度系數、彎曲剛度系數等加入材料的參數定義中。

加筋壁板的邊界為四邊簡支，X 方向均布軸壓載荷，軸壓載荷為4746N/mm。具體約束如下：

蒙皮固定端：u=v=w=θx=θz=0

筋條固定端：u=v=w=θx=0

蒙皮加載端：v=w=θx=θz=0

筋條加載端：v=w=θx=0

壁板側邊：w=θy=θz=0

有限元模型及其邊界條件如圖3所示。

圖3 工字型加筋壁板的有限元模型及邊界條件Fig.3 Finite element model and boundary condition of reinforced panel

4 加筋壁板二級優化方法

4.1 優化設計方法

層合板的鋪層優化采用兩級優化策略：第一級優化確定層合板的鋪層厚度、鋪層百分比和彎曲剛度系數；第二級優化則是以最優彎曲剛度系數和為目標函數進行鋪層順序的設計。

第一級優化一般為連續變量優化問題，采用優化準則法或規劃法(NLPQL)。在第一級優化中，工字型加筋壁板的優化設計主要包含4個層合板，分別為蒙皮A、凸緣底板B、凸緣頂板C和[形腹板D，每個層板包括7個設計變量，則總共有28個變量，如表1所示。目標函數是整體加筋壁板重量最輕。約束條件包括強度、剛度、穩定性、鋪層比例約束等。局部屈曲載荷系數大于0.67，整體屈曲載荷系數大于1.0，最大軸向應變不大于4000με，最大位移小于1.5mm，而且彎曲剛度系數在設計空間內。

表1 工字型加筋壁板的一級優化設計變量Table 1 Design variable of first level optimization

式中，θi是層合板的鋪層角，一般由0°，±45°和90°四種標準鋪層角度組成。作者根據Srinvivas和徐小平等[18，19]自適應算法的優點給出了一種改進的自適應遺傳算法，通過自編Matlab程序實現，大量對比算例證明，本文提出的自適應遺傳算法具有良好的穩健性和收斂性。

4.2 優化結果

經過優化計算，第一級優化設計的結果如表2所示。從表中可以看出，復合材料工字型加筋壁板蒙皮主要采用0°和±45°鋪層，凸緣底板和凸緣頂板以0°鋪層為主，而[形腹板則以±45°鋪層為主。

一級優化采用的層合板厚度為實數，由于單層板為確定值，t=0.125mm，因此需要對各個層合板厚度進行圓整，圓整后各層合板的厚度如表3所示。由于在優化中設置45°和-45°鋪層厚度相等，優化得到的層合板為均衡層合板。由于未對層合板的對稱性進行特殊處理，所以層合板不一定是對稱的。

根據表3中各層合板的層數，以各層合板的彎曲剛度系數為目標，進行鋪層順序優化設計，對優化后的鋪層順序重新計算了彎曲剛度系數，列于表4。從表中可以看到：①鋪層為均衡非對稱層合板，均衡非對稱層合板可以提高結果的穩定性。②通過鋪層順序優化可以找到與一級優化幾乎一致的彎曲剛度參數，該二級優化方法是切實可行的。

優化前后的結果如表5所示。從表中可以看出，與優化前相比，工字型加筋壁板的穩定性和最大應變值均有增加，但重量減少了13.13%。工字型加筋壁板優化后的整體失穩圖和局部失穩如圖4和圖5 所示。優化后加筋壁板的局部穩定性略有提高，而整體穩定性則明顯下降。主要原因是因為優化提高了蒙皮的局部剛度，但是由于結構重量的明顯降低，充分發揮了材料的應用潛力，對結構承載能力有一定的影響。

表2 工字型加筋壁板一級優化結果 Table 2 Results of first level optimization

表3 圓整后的鋪層厚度和鋪層層數 Table 3 Thickness and layer of laminates after rounding number

表4 工字型加筋壁板的鋪層順序優化結果 Table 4 Result of layup sequence optimization of reinforced panel

表5 約束條件和目標函數優化前后結果對比Table 5 Constraints and object before and after optimization

圖4 工字型加筋壁板的整體屈曲模態圖Fig.4 Global buckling mode

圖5 工字型加筋壁板的局部屈曲模態圖Fig.5 Local buckling mode

5 結 論

根據復合材料工字型筋條的鋪設特點，本文提出了一種特殊的建模方法，并采用二級優化策略對工字型加筋壁板進行了以強度、剛度和穩定性為約束的輕量化設計，通過本文的研究工作得到如下結論：

1.針對工字型加筋壁板的鋪層特點，有限元建模過程中將加筋壁板簡化為[形腹板、凸緣頂板、凸緣底板和蒙皮四個層合板，充分考慮了筋條的加工工藝，所得到的優化設計結果可以直接應用于復合材料加筋壁板的制造中。

2.采用二級優化策略開展復合材料加筋壁板的優化設計，可有效解決變量多、鋪層角度離散等問題。利用自適應遺傳算法提高優化算法的收斂性和穩健性，從而能找到與彎曲剛度系數最為接近的鋪層順序。