海底控制點定位的半參數平差模型法

孫文舟,殷曉冬,暴景陽,曾安敏

1. 海軍大連艦艇學院軍事海洋與測繪系，遼寧 大連 116018； 2. 武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079； 3. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054

高精度確定海底控制點的三維坐標是建立海底大地控制網的關鍵環節[1]。船載GNSS結合水下聲學測距是實施水下聲標(控制點)交會定位的有效手段[2-10]，影響這種方法定位精度最主要的因素是聲速在時間和空間上復雜變化所引起的測距誤差。采用圓走航的方式可以保證水面觀測點相對于海底控制點對稱分布[11]，對提高控制點水平坐標的精確度有重要幫助，然而垂直方向的解依然較差且不穩定。

為了提高海底控制點垂直解的精確度，國內外學者進行了不同的嘗試。文獻[12]提出了利用觀測歷元之間差分的方法，這種方法可以有效地消除聲速誤差長周期項的影響，但是短周期項依然存在。文獻[13]利用傳播時間建立了聲速誤差模型，提出了在500 m水深情況下，不依賴聲速剖面的水下靜態目標三維坐標快速求解方法。文獻[14]認為聲速誤差項為常數，通過南海的試驗驗證了該方法相比于傳統方法的有效性。近年來，壓力傳感器的測深精度不斷提高，又有學者提出了深度約束下的海底控制點坐標確定方法[15-17]，進一步提高了三維坐標解的穩健性和精度。

上述方法都是對聲速變化引起的測距誤差中可以參數化的部分進行建模改進。根據文獻[2,18]對水下聲學測距誤差的研究，由內波引起的測距誤差形態復雜，難以用少量的參數表達，而引入參數過多又往往會導致法方程的病態甚至秩虧。因此，本文嘗試利用半參數平差模型進行控制點坐標的解算，以期提高垂直解的精確度。

1 海底控制點坐標半參數平差模型解算方法

1.1 聲速變化引起的測距誤差分析

影響聲速變化的主要因素是太陽輻射和海水運動[19]。聲速剖面的變化包括日變化、季節變化以及附加之上的隨機擾動，聲速剖面的季節變化主要與太陽直射點在南北回歸線之間周期性的運動有關，而聲速剖面日變化主要與太陽高度角的日變化有關，由外力擾動引起的海洋內波造成水體微團垂向運動，使得上下層海水混合引起溫度的變化從而導致海水聲速變化[20]。文獻[2]對聲學測距誤差的研究表明，由聲速變化引起的測距系統誤差項包含兩部分，長周期項與短周期項，其中長周期誤差項與潮汐的影響有關，而短周期誤差項則主要與海洋內波現象有關。之后文獻[18]在夏威夷島附近進行了相關試驗，再一次驗證了這個結論，并且認為聲速主要受溫度變化影響，鹽度變化對其影響微乎其微[18]。

為進一步分析文獻[2,18]的試驗結論，研究聲速對測距誤差的影響規律，本文進行了如下試驗，首先利用文獻[21]的標準方程構建了背景聲速剖面[21-22]

(1)

式中，C1是聲道軸處的聲速；z1是聲道軸的深度；ε=7.4×10-3是擾動系數；B=1300為聲道厚度尺度；z是水層深度。

利用表層溫度的變化規律以及熱傳導方程構建聲速時空變化的部分[23]

Δc=Δc0e-βzsinωt-βz-φ

(2)

式(2)可表示聲速剖面在不同時間不同深度的聲速日變化值，通過式(1)和式(2)可構造一個穩定變化的聲速剖面。

在海底控制點坐標解算的過程中往往采用某一固定的聲速剖面，用上述方法構建的聲速剖面簇的平均值作為固定聲速剖面，計算在水深為3000 m，聲速采樣間隔為5 m的條件下，聲速變化所引起的測距誤差。為了不引入入射角偏差而導致的誤差，仿真試驗采用垂直波束，設表層溫度日變化的振幅為0.2℃，每小時采樣一次，共采樣24次，表層海水聲速變化與測距誤差的計算結果如圖1所示。

圖1 表面聲速變化與測距誤差曲線Fig.1 Surface sound velocity variation and ranging error curve

溫度的日變化只影響表層海水聲速，圖1(a)是對表層海水等間隔取樣得到的海水聲速平均值在時間上的變化，圖1(b)是各采樣時間所對應的測距誤差的變化。從圖中可以看出，測距誤差的變化規律與聲速的變化規律基本相似，周期相同但相位存在差異。

文獻[2,18]的試驗結果顯示，測距誤差長周期項的變化與潮汐的變化規律相近。這種現象是由于潮波的振動產生了日潮內波或半日潮內波，在潮內波的影響下海水產生垂向運動，從而導致了上層溫度較高的海水與下層溫度較低的海水進行熱量交換，引起了海水溫度的變化，溫度變化是引起海水聲速變化最主要的因素，其周期與潮內波的周期相同。測距誤差短周期項的變化與海洋內波有關，與潮內波的作用機理相同，海洋內波造成了海水垂向運動，引起了海水溫度的變化進而導致聲速的變化。相比于聲速長周期項變化，短周期項變化較為復雜，因此與其對應的測距誤差短周期項隨時間變化同樣具有復雜的形式，難以進行參數化建模。

1.2 圓走航距離交會定位模型

水下控制點定位的觀測方程通常表示為

ρi=fXi,Xo+δρdi+δρvi+εi

(3)

式中，ρi是第i時刻換能器到海底應答器的距離觀測值；f(Xi,Xo)是兩者之間的直線距離，Xi是第i時刻換能器的位置，Xo是海底應答器的位置；δρdi是由應答器電路延遲引起的系統性誤差，是可計算的改正量；δρvi是聲速變化及聲線彎曲引起的系統性誤差，為主要誤差；εi是第i時刻測量的隨機噪聲。

若δρdi已通過外部設備進行改正，則式(3)線性化展開得[14]

(4)

(5)

若進行了n次觀測，可將式(5)寫成矩陣形式

V=BX+δρv-L

(6)

由上文分析可知，由聲速變化引起的測距誤差變化復雜，尤其是測距誤差的短周期項，難以對其進行參數化的建模，若將每次觀測的系統誤差δρv都作為未知參數，則此時未知參數的個數為n+3，而觀測方程的個數為n，因此式(6)無法得到未知參數的唯一解。本文采用半參數模型進行控制點三維坐標的解算。

1.3 控制點坐標解算的半參數模型

根據式(4)，可寫出如下矩陣形式的觀測方程

L=Bx+S+Δ

(7)

式中，S=[δpv1δpv2…δpvn]T，是由聲速變化引起的測距系統誤差的n維未知向量。式(7)即為海底控制點坐標解算的半參數模型[24-25]。

式(7)的誤差方程是

(8)

由于未知參數多于方程的個數，因此無法直接利用最小二乘原理進行求解，需要選擇新的平差準則[22]

VTPV+αSTRS=min

(9)

式中，α是光滑因子，對兩參數V和S起平滑作用；R是一個給定的正定矩陣，本文中選定R=GTG，其中

同時，若令所有歷元聲速變化引起的測距誤差和為0，則又可設置一個限制條件

eTS=0

(10)

利用式(8)—式(10)可構造拉格朗日函數

2γeTS

(11)

根據所構造的拉格朗日函數即可推導出式(8)—(9)的解，這里直接給出推導結果

(12)

將計算得到的坐標改正數加上所設定坐標初始值即可獲得海底控制點的三維絕對坐標。

(13)

式中，δpvl是測距誤差的長周期項；δpv0是長周期項測距誤差的振幅；T是測距誤差的長周期項的周期；φ是初始相位。對長周期項參數化處理后，短周期項仍然認為不可參數化，同樣根據式(12)計算坐標改正數，加上坐標初始值獲得控制點三維絕對坐標。

2 仿真試驗分析

為了驗證半參數平差模型解算海底控制點坐標的有效性，本文進行了如下仿真試驗：水深設置為3000 m，應答器布放于海底，測量船以應答器為中心，半徑為3000 m的圓航跡航行，速度為6節(約3 m/s)，每10 s實施一次水聲測距。解算的坐標系采用笛卡兒坐標系，應答器為原點，x軸指向東，y軸指向北，z軸指向天頂。測距誤差的仿真采用與文獻[12]相同的方法，表示為

(14)

式中，誤差共包含4項，第1項和第2項分別是聲速變化引起的短周期項和長周期項，第3項是測區相關性誤差，第4項為隨機性誤差。參照文獻[2]在北太平洋的試驗和文獻[18]在夏威夷島附近的試驗，測距誤差中的長周期項與潮汐變化規律近似，周期為12 h，振幅約20 cm，由內波引起的測距誤差短周期項的周期從幾十分鐘到幾個小時不等，振幅約為12 cm，因此令c1=12 cm、c2=20 cm、c3=2 cm，Tw=20 min，隨機誤差滿足方差為5 cm的高斯分布，t0是初始時刻，t是任意時刻，x是t時刻測量船的三維坐標，x′是海底應答器的三維坐標。除此之外，設置潮汐的周期為12 h，振幅為5 m，海面波浪的周期為20 s，振幅為2 m，測量船水平方向的定位精度為5 cm，垂直方向定位精度為10 cm。

試驗中將本文的方法與其他兩種方法進行對比，方法1是直接對觀測值利用最小二乘進行解算，方法2是采用文獻[12]所提出的差分算法進行解算，本文方法為方法3。

第1次仿真試驗的采樣數為4320，采樣時長剛好為測距誤差長周期項的一個周期，試驗中分別考慮存在內波和不存在內波兩種情況，表1給出了不同方法解算所得控制點坐標偏差的統計參數。

表1 不同方法解算所得控制點坐標偏差的統計參數

對比水平方向和垂直方向坐標偏差的精確度(MSE)可以發現，聲速誤差對控制點垂直解的精確度影響較大，而對水平解的精確度影響小，這與圓走航測距定位消除水平方向誤差的設計相吻合，也被國內外研究所證實。對比兩個試驗采用差分算法計算的垂直坐標偏差的精確度，可驗證文獻[12]的結論，即差分可以消除測距誤差中長周期項的影響，但是短周期項的影響依舊存在。當存在內波時，水平方向依舊可以達到較高精確度，但是垂直方向解的精確度會明顯變差。將3種方法進行橫向比較，當不存在內波時，差分算法是3種方法中垂直解精確度最高的，高于半參數模型和最小二乘法，而在實際的海洋環境中，更普遍的情況是存在海洋內波，此時，差分算法垂直解的精確度降低，而最小二乘法與半參數模型解的精確度較高。

第2次試驗的采樣數為720，采樣時長為測距誤差長周期項周期的1/6，試驗中同樣分別考慮存在內波與不存在內波兩種情況，不同方法解算控制點坐標偏差的統計參數見表2。

表2 不同方法解算所得控制點坐標偏差的統計參數

將試驗2與試驗1垂直坐標偏差的精確度進行對比可得，無論是否存在內波，當觀測時長不是測距誤差長周期項的整數倍時，最小二乘法垂直解的精確度都會降低。差分方法的結論與前一試驗一致，整體精確度降低，這主要與觀測數據的數量減少有關。半參數模型的垂直解則依舊可以得到較高的精確度。圖2—圖5中測距誤差是指采用文獻[12]的方法仿真得到的真實測距系統誤差，而誤差估值是指半參數模型在不同試驗條件下對每次測距誤差的估值，可以看出半參數模型可以較準確地描述測距誤差的變化規律，對比圖2和圖4、圖3和圖5，可以發現在內波存在試驗中，半參數模型對測距誤差估值的結果明顯發散，精度明顯下降，表現為圖3中測距誤差與誤差估值的中誤差分別為0.17和0.22 cm；圖5中測距誤差與誤差估值的中誤差分別為0.10和0.18 cm。對比表2中半參數模型在存在和不存在內波兩種條件下垂直坐標偏差的精確度，可以得出內波存在時垂直解誤差的精確度由6.43增加到25.53，證明內波會影響半參數模型解算的精確度，但依舊小于最小二乘法的253.37和差分算法的389.20。從表2中還可以看出，兩種條件下，雖然最小二乘法垂直解的精度高于半參數模型，但由于其準確度較低，所以其精確度遠小于半參數模型。第2次試驗對測距誤差長周期項進行了參數化處理，結果顯示，無內波時對振幅的估計為20.02 cm，而當內波存在時，對振幅的估計為15.92 cm，相對于所設定的值20 cm，估值的準確性明顯降低，對應垂直方向坐標解的誤差也增大，這個結果表明，當測距誤差同時包含參數項和非參數項時，非參數項誤差會影響對參數項估值的準確性。

圖2 半參數模型對測距誤差的估值(無內波)Fig.2 Ranging error estimated by semi-parametric model (no internal waves)

圖3 半參數模型對測距誤差的估值(有內波) Fig.3 Ranging error estimated by semi-parametric model (with internal waves)

圖4 半參數模型對測距誤差的估值(無內波)Fig.4 Ranging error estimated by semi-parametric model (no internal waves)

圖5 半參數模型對測距誤差的估值(有內波) Fig.5 Ranging error estimated by semi-parametric model (with internal waves)

在控制點三維坐標解算的過程中，最小二乘法和差分算法要想達到最優解，都需要較為苛刻的條件，最小二乘法要求觀測的時長為測距誤差長周期項的整數倍，而差分算法要求不存在短周期項的測距誤差，前者顯然實際工程應用價值較低，因為測量船連續圓走航12 h甚至24 h難度大，而后者所需要不存在內波現象的海洋環境條件更加難以滿足。因此半參數模型的優勢則明顯突出出來，它不但可以取得較為精確的坐標解算值，而且對客觀環境的依賴度相對較低。

3 結 論

針對傳統方法確定海底控制點三維坐標垂直解精確度差的問題，本文提出了利用半參數平差模型處理測距系統誤差的方法，通過分析和試驗得出了以下結論：

(1) 測距誤差的周期性變化與聲速周期性變化有關。海水通過渦動熱傳導和內波所引起對流熱傳導，將上層海水熱量向下層海水傳遞，引起了溫躍層聲速的變化，從而產生了測距誤差周期性的變化規律。

(2) 由海洋內波等隨機海洋現象引起的測距誤差短周期項(非參數項)不會影響控制點坐標水平解的精確度，但會影響控制點坐標垂直解的精確度。

(3) 利用半參數平差模型可以有效處理由聲速變化引起的測距系統誤差，從而得出優于傳統方法的海底控制點三維坐標解算結果。