細長壓桿穩定性的數值模擬

高 勇，譚嘎子，吳 霞，馬向榮，張國濤，樊 洋，張智芳

(1.榆林學院 化學與化工學院，陜西 榆林 719000；2. 陜西省低變質煤潔凈利用重點實驗室，陜西 榆林 719000；3.中國石油吐哈油田公司 吐魯番采油廠，新疆 鄯善 838202)

工程結構中存在許多的壓桿，如內燃機配氣機構中的挺桿，磨床中液壓裝置的活塞桿，桁架結構中的抗壓桿等[1]。壓桿穩定在工程實踐中的重要性尤為突出，特別是在建筑工程領域。2000年10月25日，南京電視臺演播中心工程大演播廳舞臺工程屋蓋在澆筑混凝土過程中，模板支架發生倒塌事故[2]；1907年，加拿大勞倫斯河上的大橋，因壓桿失穩，導致整座大橋坍塌等事件[3]。造成這些事故的原因非常多，但其最主要的原因是由于壓桿失穩而導致坍塌，因此，研究壓桿的穩定性就顯得尤為必要，并采取措施提高壓桿的穩定性，可以大大減少此類事故的發生。

近年來，對細長壓桿也進行了大量的研究[4-7]，研究結果對分析壓桿的穩定性、結構優化及性能提供了思路。汪洋等[8]對細長壓桿二階屈曲臨界態進行了數值模擬，得出兩端鉸支二階屈曲態細長壓桿的臨界力為一階屈曲態臨界力的3.24倍；黃開志等[9]對考慮軸向均布載荷壓桿的穩定性進行了計算，求得了壓桿同時承受軸向均布載荷和集中載荷時臨界載荷計算的經驗公式。于桂杰等[10]研究了壓桿穩定的實驗方法，應用歐拉法研究臨界壓力，并且利用實驗使學生更加清楚的了解壓桿穩定性實驗。李麗君等[11]應用ANSYS軟件將壓桿穩定中歐拉公式知識清晰直觀地以圖形動畫的方式表達出來，并且應用有限元方法研究了不同載荷對壓桿的穩定性情況，從而可以有效的彌補實驗的不足，拓寬學生的知識面。本文利用理論計算和數值模擬相結合的方法對細長壓桿的穩定性進行了研究，分析了工作參數及結構參數對壓桿穩定性的影響規律，研究結果對壓桿的理論教學具有指導作用，對實際工程中提高壓桿穩定具有重要的意義。

1 細長壓桿臨界壓力的理論計算

對于兩端鉸支，中心受壓的細長壓桿其臨界力可按歐拉公式計算[12]：

(1)

L—壓桿的計算長度，m；

μ—兩端鉸支，μ=1。

本研究中兩端鉸支的細長壓桿長度為318 mm，寬度為20 mm，厚度為1.9 mm。彈性模量為E=206 GPa。經過計算，壓桿臨界壓力的理論值為229N。

2 細長壓桿穩定性的數值模擬

屈曲分析主要用來研究結構在特定載荷下的穩定性和確定結構失穩的臨界載荷，包括線性屈曲分析和非線性屈曲分析。線性屈曲分析是以特征值為研究對象，以小位移、小應變的線彈性理論為基礎，分析中不考慮結構在受載變形過程中結構構形的變化，也就是在外力施加的各個階段，總是在結構初始的構形上建立平衡方程。當載荷達到某一個臨界值的時候，結構構形突然轉變到另一個隨遇的平衡狀態，將其稱之為屈曲[13]。

線性屈曲分析方程如下[14]：

([K]+λ[S]{ψ}=0)(2)

式中：[S]—剛度矩陣；λ—屈曲載荷因子；ψ—屈曲模態形狀系數。

上式(2)就是在線性屈曲求解中用于求解的方程，在具體的數值分析中，屈曲載荷因子λ由軟件的后處理結果直接讀出，屈曲臨界載荷Pcr = 所施加壓力×λ。

2.1 建立幾何模型及劃分網格

對于細長壓桿，一端固定、一段自由時μ=2，兩端鉸支時μ=1，因此在進行數值模擬時可將其等效為一端固定、一端自由，長度L為原來一半的壓桿。由于所研究壓桿結構為兩端鉸支的長方體構件，因此采用自動劃分網格法進行網格劃分，并進行了網格無關性檢驗[15]，網格劃分結果如圖1。

圖1 壓桿網格劃分圖

2.2 設置邊界條件及施加載荷

對細長壓桿一端設置固定端約束，另一端施加100 N、180 N、220 N的壓力載荷。

2.3 數值模擬結果及分析

2.3.1 不同載荷作用下壓桿的穩定性分析

把施加100 N、180 N、220 N壓力載荷時的壓桿分別記為1、2、3號壓桿，各個載荷下壓桿變形云圖如圖2所示。利用數值分析所得的屈曲載荷因子可求得臨界壓力，如表1所示。由圖2可得，施加不同載荷時，壓桿的變形基本相同，最大變形發生在壓桿的中間截面，最小變形發生在壓桿的兩端。由表1可得，施加不同載荷時，所得屈曲載荷因子不同，但其臨界壓力基本相同，為 229.82N，和理論臨界壓力229 N相比，誤差為0.36%，因此可以認為采用有限元軟件分析得出的臨界壓力與理論臨界壓力一致。

圖2不同載荷作用下壓桿變形云圖

表1不同載荷作用下壓桿屈曲載荷因子及臨界壓力數值解

壓桿123施加載荷/N100180220屈曲載荷因子2.29821.27681.0446臨界壓力/N229.82229.824229.812

為了更清晰的觀察壓桿的失穩情況，分析壓桿的六階模態圖，如圖3所示。對于中兩端鉸支的壓桿，其兩端受到垂直壓力的作用，同時壓桿會隨著垂直壓力的值不斷增大而逐漸出現彎曲變形，當壓力達到臨界壓力時壓桿彎曲變形達到極限，此時的應力值達到最大值，若壓桿為塑性材料即認為應力達到屈服極限，若壓桿為脆性材料即認為應力達到強度極限，這時的壓桿我們就稱之為失穩。通過圖3壓桿的失穩過程就可觀察到壓桿的失穩情況。當壓桿失穩后，對壓桿進行卸載，這時的壓桿不會恢復原狀也就成為不安全構件。

圖3壓桿六階模態圖

2.3.2 不同彈性模型下壓桿的穩定性分析

把彈性模量分別為100 GPa、150 GPa、200GPa、250 GPa的壓桿標記為5、6、7、8號壓桿，在施加載荷為100N時其屈曲載荷因子和臨界載荷數值解如表2所示。

表2 不同彈性模量下壓桿載荷系數和臨界壓力數值解

由表2可得，當壓桿在其他條件不變的情況下，材料的彈性模量逐漸增大，壓桿的臨界壓力也逐漸增大，即壓桿的穩定性增強。這也正如歐拉公式Pcr=π2EI/(μL)2中所示，壓桿的臨界壓力與材料的彈性模量成正比。因此，在實際工程中為了提高壓桿的穩定性，可根據實際情況合理選擇壓桿的材料。

2.3.3 不同截面面積下壓桿的穩定性分析

把寬度分別為10 mm、15 mm、20 mm、25 mm的壓桿標記為9、10、11、12號壓桿，在施加載荷為100N時其屈曲載荷因子和臨界載荷數值解如表3所示。

表3 不同截面面積下壓桿載荷系數

由表3可得，當壓桿在其他條件不變的情況下，壓桿的橫截面積逐漸增大，壓桿的臨界載荷也逐漸增大，即壓桿的穩定性增強。這也正如歐拉公式Pcr=π2EI/(μL)2中所示，壓桿的橫截面積增大，則慣性矩I增大，壓桿的臨界力也隨之增大。但是，在選取壓桿的橫截面時，也不能只為提高壓桿的穩定性而將橫截面積大大增加，應根據實際情況綜合考慮選取一合理值。

通過表2、表3數據的分析，可得知當材料的彈性模量增大以及壓桿的橫截面積增大時都會增加壓桿的臨界壓力值，即提高了壓桿的穩定性。同時利用有限元軟件對于提高壓桿穩定性的分析與理論分析得出的結果相同。因此，在工程實際中，根據實際要求，利用有限元軟件對壓桿的穩定性進行分析，并取得一組最優的數據，可以有效地指導壓桿的實際應用。

3 結論

(1)臨界壓力的數值解與理論解基本一致，因此通過數值分析得出的臨界壓力值可以直接用于指導工程實際。

(2)當施加載荷不同時，壓桿的變形基本相同，最大變形發生在壓桿的中間截面，最小變形發生在壓桿的兩端。且施加不同載荷時，所得屈曲載荷因子不同，但其臨界壓力基本相同，為 229.82N，即當所施加壓力達到229.82N時，壓桿將發生線性屈曲失穩。

(3)材料的彈性模量以及壓桿的橫截面積增大時都會增加壓桿的臨界壓力值，即提高了壓桿的穩定性。因此，在工程實際中，根據實際環境的需要，通過有限元分析軟件對構件進行分析，適當改變參數來提高壓桿的穩定性，并取得一組最優的數據。