一類5階KdV方程的孤立波解

周蘭鎖,尹曉軍

(內蒙古農業大學理學院,內蒙古 呼和浩特010018)

1.引言

自從1834年,Russell首次觀察到孤立波以來,孤立子作為非線性科學的重要組成部分已經滲透到了許多研究領域,主要分布在應用數學、物理學、力學、大氣和海洋科學等交叉學科領域里[1?3].

近年來,非線性方程發展作為孤立子理論的載體一直是數學物理工作者研究的熱點,主要尋求非線性方程的孤立子解以及解的適定性問題.目前對于非線性方程的求解方法已經有很多,如:Jacobi橢圓函數展開法[4],同倫攝動法[5],齊次平衡法[6],B¨acklund變換法[7],Hirota雙線性方法[8],Darboux 變換法[9],Sine-Cosine展開法[10?11]等.這些方法是求解非線性方程精確解的重要方法.但是,由于非線性方程的復雜性,至今沒有統一的求解方法.1895 年,Korteweg和他的學生de Vries研究淺水波運動,推導出KdV方程并求得了精確解以來,KdV方程就被視為非線性數學物理的基本模型之一.后來,人們陸續在各個不同學科的實際背景下提出許多非線性偏微分方程,如mKdV,ZK,Schrdinger以及ZK-mZK方程等[12?15].

本文主要尋找一類5階KdV方程

的孤立波解,這里α,β,γ是任意非零常數,其中uxxx,uxxxxx表示色散項.當方程系數為(α,β,γ) = (30,20,10),(120,40,20),(270,60,30) 時,稱為Lax方程[16?17],它廣泛應用于量子力學、流體力學以及等離子體物理領域中.對于5階KdV方程,文[18]采用Jacobi橢圓函數展開法,獲得了5階KdV方程的一些精確解.文[19]利用Hirota雙線性方法研究了(2+1)維廣義5階KdV方程的單孤立子解以及雙孤立子解.文[20]根據Jost解的相容性原理,給出了求解高階KdV方程孤立子解的一種簡單方法.這里我們主要應用Sine-Cosine展開法去求解方程(1.1)的孤立波解.首先通過行波變換,把方程(1.1) 轉化成一個5階非線性常微分方程,然后經過正余弦函數的代數運算求得方程(1.1)的孤立波解,并把所得結果分別應用到Lax方程,SK方程,CDG方程中.

2.Sine-Cosine展開法的描述

假設偏微分方程

其中u(x,t)關于空間x和時間t的函數.這里,我們應用Sine-Cosine方法求解.

首先,為了求解方程(2.1)的孤立波解,我們引入行波變換

于是

根據(2.3)式,我們有下面的變換

應用(2.4)可把偏微分方程(2.1)變成下面的常微分方程

這里uξ表示

其次,我們盡可能多次地對常微分方程(2.5)求積分,并且把積分常數設置為零.假設方程(2.5)有如下的解的形式

或者形如

這里λ,μ和m是有待確定的參數,其中μ是波數,c是波速.對函數(2.6)求有限次導數,可得

同理對函數(2.7)求有限次導數,得

然后,我們把(2.8)-(2.11)或(2.12)-(2.15)代入到化簡的常微分方程(2.5)中來.通過(2.12)-(2.15)余弦函數項之間的平衡,或者使用(2.8)-(2.11)正弦函數項之間的平衡,最后通過代數計算來確定λ,μ和m的值,從而獲得方程(2.1)的孤立波解.

3.方程的孤立波解

下面考慮5階KdV方程

其中描述行波解是u(x,t).應用(2.3)和(2.4)變換,方程(3.1)可變為

對上述方程積分,并令常數為零,可得

把(2.12)-(2.15)式代入到(3.3)式,整理可得

根據余弦項之間的平衡,對比方程(3.4)中的余弦項次數,得

即

把m=?2 帶入方程(3.4)中,整理可得

令方程(3.7)中余弦項的系數為零,可得

解方程組(3.8)得

因此,方程(3.1)的解為

或者,把(2.8)-(2.11)式代入到(3.1)式,同理可得方程(3.1)的解為

其中ξ=x ?16μ4t.

設μ=iμ1,那么(3.11)式變為

或者(3.12)式變為

其中ξ=x ?16μ41t.

圖3.1 方程(3.13)所表示的孤立波解,系數為:μ1 = 14,β =2,γ =2

圖3.2 方程(3.13)所表示的孤立波解,系數為:μ1 =?12,β =2,γ =2

下面我們具體討論三種方程的孤立波解:

令γ=10 得Lax方程[16]

方程(3.16)的孤立波解為

或者

其中ξ=x ?16μ41t.

b) 當β=γ,α=51γ2時,方程(1.1)為

令γ=5 得Sawada-Kotera(SK)方程[21]

方程(3.20)的孤立波解為

或者

其中ξ=x ?16μ41t.

c) 當β=γ,α=15γ2時,方程(1.1)為

令γ=30 得Caudrey-Dodd-Gibbon方程(CDG)[22]

方程(3.24)的孤立波解為

或者

其中ξ=x ?16μ41t.

4.小結

本文主要對一類5階KdV方程的解析解進行了研究.應用Sine-Cosine展開法對具有一般性的5階KdV方程求解,通過分別比較余弦項(正弦項)的次數和系數,得出了一類5階KdV方程的孤立波解.然后應用所得的結果相應地得到了三種方程: Lax方程,Sawada-Kotera方程,Caudrey-Dodd-Gibbon方程的孤立波解,其結果擴充了5階KdV方程解的結構.