從Lebesgue測度看R2中圖形的面積?

余玉峰 石冶郝 孫 穎

(1.山西師范大學現代文理學院,山西 臨汾 041000;2.首都師范大學初等教育學院,北京 100048;3.湖南省邵陽市大祥區祥鳳實驗學校,湖南 邵陽 422000)

0 引 言

面積是數學的基本研究對象.在初等數學中學生從直觀上感受了一些常見的規則圖形的面積,如三角形,平行四邊形,梯形[1,第6章,85～104頁]及圓[2,第5章,57～78頁]等.

到了高等數學,學生需要計算不規則圖形的面積.在數學分析中采用Riemann定積分的方法給出一些特殊圖形面積的定義.但這種方法仍有局限性,后來又提出了可求面積的定義.這就極大地推廣了面積的定義,使很多不規則的圖形都具有了確定的面積.但問題又出現了,一些不太特殊的不規則幾何圖形仍然沒有面積的定義,例如

問題1如果設A為[0,1]×[0,1]中的有理點構成的集合,B為[0,1]×[0,1]中的無理點構成的集合,那么A和B有沒有面積呢?如果有,是多少?

類似的集合還有很多,例如可數集等.要解決這些問題,用可求面積的定義及Riemann定積分的定義已經不夠了.因此,這迫使人們不得不重新思考面積.于是,在實變函數中采用更廣泛的Lebesgue測度來代替面積的定義.從而一些復雜的幾何圖形都可以計算“面積”,問題1就迎刃而解.

本文的目的是使讀者對R2中圖形的面積有一個深入的認識,要說明的結論是Lebesgue測度是目前“面積”定義最大的推廣.本文的安排遵循由特殊到一般,由簡單到復雜的思路.首先,回顧R2中規則圖形的面積,這要追溯到正方形面積.其次,介紹R2中一些不規則圖形面積的定義及計算方法.最后介紹R2中一般圖形面積的推廣——Lebesgue測度,并指出R2中的一些Lebesgue可測集類的測度與“面積”的關系.

1 R2中圖形的面積

1.1 R2中規則圖形的面積

正方形的面積等于其邊長的平方(參見[1,87～89頁),這個公式不是證明出來的,而是一種約定.有了這個約定,就可以得到R2中很多規則圖形的面積.例如長方形的面積由正方形的面積推出;平行四邊形的面積由長方形的面積推出;梯形的面積由平行四邊形的面積推出;三角形的面積由平行四邊形的面積推出.多邊形的面積由三角形的面積推出;以及由長方形、平行四邊形、梯形、三角形經過有限次組合而得到的圖形的面積都可以計算出來.

如果把極限的思想運用到圖形面積的定義中,就可以得到圓面積的計算公式,見割圓術([3,191頁;4]).由圓面積可得扇形面積的計算公式.

最后由長方形(正方形)、平行四邊形、梯形、三角形、圓和扇形經過有限次組合而得到的圖形的面積都可以計算出來.這些規則圖形或規則圖形的有限次組合而得的圖形面積是確定的,也能計算出來,主要原因是R2中正方形面積的約定.

1.2 R2中不規則圖形的面積

下面,考察 R2中不規則圖形的面積.首先研究幾個特殊的不規則圖形的面積.如圖1,連續曲線y=f(x)≥0 在[a,b]上形成的曲邊梯形的面積這里的積分是Riemann 定積分,也就是說曲邊梯形的面積是通過Riemann 定積分定義的,即通過分割、近似代替、求和、取極限四步得到.類似的,如圖2,由上下兩條連續曲線y=f1(x)與y=f2(x)(f1(x)≤f2(x),a≤x≤b)以及兩直線x=a與x=b所圍成的圖形面積為

圖1

圖2

對于一般不規則圖形的面積,先給出可求面積的定義[6,223頁].設P是一平面有界圖形,用某一平行于坐標軸的一組直線網T分割這個圖形.這時,直線網T的網眼 ——小閉矩形Δi可分為三類：

(i)Δi上的點都是P的內點;

(ii)Δi上的點都是P的外點,即Δi∩=φ;

(iii)Δi上含有P的邊界點.

將第(i)類小矩形的面積加起來,記這個和數為sP(T);將第(ii)類和第(iii)類小矩形的面積加起來,記這個和數為SP(T).令

圖3

圖4

根據可求面積的定義,可以證明上述兩類不規則圖形是可求面積的.此外,單連通區域和多連通區域都是可求面積的,見圖3、圖4中的區域D.

這樣,很多不規則圖形的面積就有了準確定義.并非平面中所有的點集都是可求面積的,如問題1 中的圖形A,見如下命題.

命題 1.1問題 1 中的圖形A是不可求面積的.

證明：首先,圖形A無內點.所以A被平行于坐標軸的一組直線網T分割以后(見圖5),直線網T的網眼只有第(ii)類和第(iii)類小閉矩形Δi.所以第(i)類小矩形的面積和為零,即sA(T)=0.因此A的內面積

容易看出正方形[0,1]×[0,1]內和邊界上的小矩形都含有A的邊界點,[0,1]×[0,1]外(不包括邊界)的小矩形內的點全是A的外點.由此可得A的外面積為

圖5

若使問題 1 中的圖形A具有面積,“面積”定義還需要進一步推廣,這個推廣就是下面的 Lebesgue 測度.

2 R2中的Lebesgue測度

事實上,經常使用的面積應滿足類似于長度公理(見[7,53頁])的面積公理.

公理(面積公理)設R2中的一些點集所構成的集合族μ,對于每個E∈μ,都對應一個實數m,使得

(1)(非負性)m(E)≥0;

(2)(有限可加性)如果E1,E2,…,En兩兩不相交,那么

(3)(正則性)m([0,1]×[0,1])=1.

因此要解決問題1,必須要修改面積公理.面積公理中的(1)和(3)是不能修改的,因為修改后與習慣不符.因此只有修改(2).將(2)的有限可加性改為可列可加性,就得到如下的 Lebesgue 測度公理.

公理2.2([7,54頁],Lebesgue 測度公理)設R2中的一些點集所構成的集合族μ,對于每個E∈μ,都對應一個實數m,使得

(1)(非負性)m(E)≥0;

(2)(可列可加性)如果E1,E2,…,En…兩兩不相交,那么

(3)(正則性)m([a,b]×[a,b])=(b -a)2.

注：可列可加性包含有限可加性的情況,只要令m(φ)=0 即可.

下面在Rn中尋找一集合類μ,在μ上滿足 Lebesgue 測度公理.因為在Lebesgue 測度公理中出現了集合的可數并運算,所以μ對集合的可數并運算是封閉的.自然地,要求μ對集合的作交及作差運算也是封閉的.而滿足卡拉泰奧多里條件的Lebesgue 外測度正好能滿足這一要求.下面來看 Lebesgue 外測度(見[7,56頁;8,10頁])的定義.

設E為R2中任一點集,對于每一列覆蓋E的開區間(某些Ii可以是空集),作出它的體積總和(μ可以等于 + ∞ ,不同的區間列一般有不同的μ).所有這一切的μ組成一個下方有界的數集,它的下確界(完全由E確定)稱為點集E的 Lebesgue 外測度,簡稱 L 外測度或外測度,記為m?E,即

設E為 R2中的點集,并且對任一點集T都有

等式(2.1)稱為卡拉泰奧多里條件([7,62頁;9,127頁]).

記μ為R2中所有滿足(2.1)的點集E構成的集合,m為滿足(2.1)的外測度m?,則m和μ滿足一系列性質,例如μ對集合的可數并、作交及作差運算是封閉的,m在μ上滿足可數可加性等.因此μ和m就是要找的集合類及滿足 Lebesgue 測度公理的新的“面積”.此時,稱μ中的集合E是 Lebesgue 可測集,簡稱 L 可測集或可測集,E的外測度m?E稱為E的 Lebesgue 測度,簡稱 L 測度或測度,記作mE([7,62頁]).最后記 Lebesgue 可測集構成的集合為μ.

Lebesgue 測度除了以上的定義法,還有一種內填外包的定義法(這時要引入內測度),見[10,38～42頁]中第2.3 節,但這兩種定義是等價的,見[7,324頁].

3 R2中Lebesgue測度與面積的關系

在這一節,我們將說明 Lebesgue 測度與以前面積相比的優越性,以及它們之間的關系.

3.1 規則圖形

我們先來看Rn中區間的定義.Rn中集合的直積分別稱為開區間,閉區間,半開半閉區間,它們都稱為區間.稱為區間I的體積.易知在R2中區間是矩形區域,區間的體積就是矩形區域的面積.

R2中的所有矩形區域都是可測集,且它們的面積等于它們的測度,見[7,67頁]中定理2.

推論3.1R2中的平行四邊形區域是可測集,且它們的面積等于它們的測度.

圖6

證明：如圖6.設G表示平行四邊形ABCD所在的區域,表示G的閉包,表示G的內部,則和都是可測集.過點B作BE垂直于CD交CD于E,過點A作AF垂直于CD交CD的延長線于F.將ΔBCE平移到ΔADF,則四邊形ABEF是矩形.設H表示矩形ABEF所在的區域,則和都是可測的,且它們的測度都等于矩形ABEF的面積,又等于平行四邊形ABCD的面積即G的面積.

類似可得R2中的其它規則圖形(如平行四邊形、梯形等)以及由這些規則圖形經過可數次組合而得到的圖形區域都是可測集,而且它們的面積等于它們的測度.

3.2 可求面積的圖形

R2中可求面積的圖形區域也是可測集,見如下定理.

定理3.2在R2中可求面積的圖形是可測集,而且它的測度等于它的面積.

證明定理3.2 之前,我們先給出一個引理.

引理3.3在R2中面積為零的圖形是可測集,而且它的測度等于零.

證明：設P是 R2中面積為零的圖形,用平行于坐標軸的一組直線網T分割P.直線網T的網眼——小閉矩形Δi可分為三類(見本文1.2 節中可求面積的定義).記第(i)類小矩形的面積和為sP(T),第(ii)類和第(iii)類小矩形的面積和為SP(T),且為P的外面積.由于P是可求面積且面積為零,所以

記第(ii)類和第(iii)類閉矩形為Δi,i =1,2,….對任意ε ＞0 總存在開區間Ii,使得

由ε ＞0 的任意性及m?(P)的定義得

所以由(3.1)和(3.2)可得：m?(P)≤=0.從而P是可測集,且它的測度等于零.

定理3.2 的證明：將(1.1)式中的P換為或P?P(為P的閉包,?P為P的邊界)后,我們可得

因此若P是可求面積的,則和P?P也是可求面積的.由P是可求面積的知P的邊界的面積為零(見[6,224頁]的定理21.2).由引理 3.3得

(i)設直線網T分割P時,第(ii)類和第(iii)類閉矩形為Δi,i =1,2,….對任意ε ＞0 總存在開區間Ii,使得從而

由ε ＞0 的任意性及m?(P)的定義知

所以

(ii)設直線網T分割P時,第(i)類閉矩形為Δi,i =1,2,…;Ii為覆蓋P的任一列開區間,則

因此

進而

是 R2中覆蓋 P 的任一開區間列} + ε,即

由ε ＞0 的任意性得,

注：在R2中,可求面積的圖形是可測集,但可測集(圖形)不一定是可求面積的,見命題1.1.

3.3 其他圖形

從以上討論可知R2中的規則圖形及由規則圖形經過可數次組合所得的圖形,可求面積的圖形都是 Lebesgue 可測集,并且它們的“面積”就等于它們的Lebesgue 測度.Lebesgue 測度的定義極大地推廣了 “面積” 定義,使簡單的和很多復雜的幾何圖形面積都有了準確定義,例如有限集,可數集,開集,閉集,Gδ型集,Fσ型集等(見[7,第3章第3節,67～71頁]).盡管 Lebesgue 不可測集(見[7,第3章第4 節,71～74頁])仍然存在,但 Lebesgue測度是目前 “面積” 最大的推廣.

對于高維空間中的低維測度目前還處于研究中,因此高維空間中的“面積”缺乏像 Lebesgue 測度一樣廣泛的定義.另外,面積除了 Lebesgue 測度外還有其它的測度,見[11,第7.7 節,336～350頁]和[9,第3章第10 節,125～148頁].

3.4 問題1的解

由可測集的定義知單點集的測度為零,從而由可測集的可數可加性得有限集和可數集的測度為零(見[7,64頁]).由于在問題 1 中,集合A是可數集,因此m(A)=0.從而由測度的有限可加性知m(B)=m([0,1]×[0,1])- m(A)=1-0=1.這樣用測度代替面積以后,輕松解決了問題1.