淺談義務教育階段學生數學建模能力的培養途徑

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(山東省莒南縣板泉鎮龐疃小學)

數學是研究數量關系和空間形式的科學，是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。數學與人類發展和社會進步息息相關，隨著現代信息技術的飛速發展，數學更加廣泛應用于社會生產和日常生活的各個方面。特別是20世紀中葉以來，數學與計算機技術的結合在許多方面直接為社會創造價值，推動著社會生產力的發展。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑。這為當前加強數學建模教學教育帶來了機遇與挑戰。

一、義務教育階段加強學生數學建模能力培養的重要性

數學建模是一種創造性活動，也是一種解決現實問題的量化手段。數學建模和傳統數學相比較，數學建模彌補了傳統數學的不足，在培養學生的創新能力方面發揮著巨大的作用。數學作為一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數學模型，進而解決問題，直接為社會創造價值。數學教學要讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。

近幾年，不僅每年高考都出了應用題，中考也加強了應用題的考察，這些應用題以數學建模為中心，以考察學生應用數學的能力。但從教學的反饋信息看，初中生對應用題普遍感到害怕，在應用題中的得分率遠低于其他題，原因之一就是學生缺乏數學建模能力和應用數學意識。特別是文字較多、背景復雜的應用題更是束手無策。模型思想的建立能夠為學生解決這一問題。通過建立和求解模型，能夠引導學生從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

二、義務教育階段數學模型的建立過程

數學模型方法的操作程序大致可以歸納為五步法，具體為：分析問題、選擇建模方法、推導模型的數學表達式、求解模型和回答問題。教學中要根據課程內容，科學設計運用數學知識解決問題的活動。這樣的活動應體現“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想、積累活動經驗；要有利于提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創新意識。

由此，培養學生運用數學建模解決實際問題的能力，關鍵是把實際問題抽象為數學問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統去處理。這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷地引導學生用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，達到運用數學模型來解決實際問題，使建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。

在教學中還要結合專題討論與建模法研究。我們可以選擇適當的建模專題，如“代數法建?！薄皥D解法建?！薄爸?曲)線擬合法建?！?，通過討論、分析和研究，熟悉并理解數學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法甚至可以引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建模練習，使學生拓寬視野，增長知識，積累經驗。

三、義務教育階段數學模型建立的途徑探索

(一)低起點，樹信心

為了克服學生對應用題的懼怕心理，教師要根據學生實際，降低起步難度，例題分析清楚，講解仔細，分步到位。對較難的應用題，要設置過渡性問題，讓學生分層遞進。例如：

在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿數加起來共有60個，有幾個椅子和幾個凳子？

說明：這個問題與例32是相同的。事實上，這個問題可以用三種方法建立模型。在第二學段，討論過的方法是基于四則運算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發學生從不同的角度思考同一個問題，有利于學生進行比較，加深對于模型的理解。

利用一元一次方程解決此問題時，可以引導學生通過具體列表的方式找出規律、建立方程，這樣利于學生理解方程的意義，體會建模的過程。假設椅子數為a，則凳子數為16-a，把例32中的表移過來并用字母代替：

這樣，合題意的方程為4a+3(16-a)=60，可以通過嘗試的方法，解得a=12，也可以解方程求解。

對于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設椅子數為a，凳子數為b，可以得到兩個方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3(16-a)=60，求解得到a=12和b=4。

從上面的討論可以看到，用四則運算方法，思考最困難，但是結果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計算較繁瑣。學生思考并解決以上問題后，就不難選擇合適的模型來解決這個實際問題了。

(二)豐富生活知識，增強建模意識

數學來源于生活服務于生活，數學建模問題往往不是單純的數學問題，它涉及到其它學科知識及生活知識。所以教師要查閱資料、收集信息，千方百計拓寬自己的知識面，同時鼓勵學生多接觸社會，豐富自己的生活閱歷，為正確建立數學模型，奠定必要的基礎。為了培養學生對解應用題的興趣，教師要根據學生已有知識改編書上例題背景，盡可能設置與學生息息相關的生活背景，捕捉社會熱點問題讓學生去解決問題，使學生感受到數學無處不在，生活中離不開數學，從而增強學生的建模意識。

(三)注重模型歸類，提高建模能力

初中階段常用的數學模型有方程和不等式模型、函數模型、幾何模型、三角形模型等。教師要注重模型的歸類，特別是學業考試復習，更應根據不同模型進行分類復習。使學生能根據某種規律建立變量和參數間的一個明確數學關系，正確運用方程思想、函數思想，解決不同的實際問題。在同一個生活背景下，讓學生靈活應用方程、不等式、函數等來解決不同的實際問題，使學生體會到數學的應用價值，并提高學生數學建模的能力。

例題：某書定價8元。如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購書數量與付款金額之間的函數關系。

說明：這是一個分段函數，函數的三種表示法均適用于這個例子。一般來說，列表法適用于變量取值是離散的情況；分段函數應當畫圖，并且關注分段點處函數的變化情況。

可以分組討論三種方法，然后讓學生分析比較。

總之，建立數學模型的過程，就是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。義務教育階段數學課程的設計，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。