分數階PID控制器在自動電壓調節系統中的應用

趙吉康, 徐 達, 姜恩宇

(1.上海電力學院 電氣工程學院, 上海 200082; 2.中國民航大學 電子信息與自動化學院, 天津 300300)

在簡單的工業控制中,PID控制器的使用可以達到良好的控制效果,而在某些復雜且精度要求較高的系統中,單單是PID控制已經不能滿足要求了。分數階PID比整數階多了兩個參數,對于微分和積分的控制更加靈敏。通過對這兩個參數的調整改變,其控制范圍更廣,也更精確。本文結合粒子群算法和分數階PID控制器,以自動調壓系統為控制對象,使控制效果比經典的PID控制器更佳,更令人滿意。

1 分數階PID控制器

文獻[1]詳細介紹了分數階微分方程的相關理論。相比較而言,我國進入這一方面的研究起步較晚,相關的著作[2]于2007年出版。文獻[3-5]以魯棒性為切入點,深入地研究了分數階控制器,得出了CRONE控制策略。文獻[6]對比經典的PID控制器,表明分數階PID控制器最大的特點在于可調參數的個數增至5個,原來3個參數(比例參數Kp,積分參數Ki,微分參數Kd)依然保留,但微分和積分的階次不再固定為1,而是變成了非整數。由于可調參數的增多,相應的控制范圍也會擴大,且精度也會有所增加,其一般格式記為積分階次和微分階次,而整數階可以看作是它的一種特殊情況。

目前對分數階控制的研究時間并不長,相關文獻數量也不多,且多數研究僅針對某種固定的被控系統,不具有普遍性。文獻[7-11]設計出了應用于分數階受控系統的分數階PID控制器的方法;文獻[12]設計出了應用于某一種特定類型的整數階系統的方法;文獻[13]研究了線性時不變分數階系統的魯棒穩定性問題;文獻[14-15]設計了極點階數搜索法,用于參數整定,可以達到被控系統期望的要求。由此可見,提出一種具有一定普遍性的設計方法,使分數階被控系統與整數階被控系統的被控效果達到要求十分必要。

2 線性自動電壓調節系統模型

2.1 自動電壓調節器的傳遞函數

自動電壓調節器主要由基本調節裝置和輔助裝置兩部分組成。其中,基本調節裝置負責完成基本的功能,包括電壓測量單元、綜合放大單元、電壓整定單元、無功補償單元等。為了便于后續的仿真和分析,可以近似忽略系統中非線性的因素以及發電機自身的飽和影響。 因此,簡單來說,自動電壓調節(Automatic Valtage Regulation,AVR)系統可被視為一個簡單的反饋控制系統,控制的對象是發電機,控制器為勵磁調節器,執行環節通過勵磁機實現。

2.1.1 放大器模型

勵磁系統中常用的放大器主要有旋轉放大器、磁放大器或是近代的電子式放大器。其傳遞函數為

(1)

式中:KA——放大器增益系數,取值范圍為10～400;

τA——放大器時間常數,取值范圍為0.02～0.1 s。

2.1.2 勵磁機模型

勵磁機的類型有很多,而且相對復雜。為了方便搭建仿真模型,本文采取最簡單的線性化模型。其傳遞函數為

(2)

式(2)忽略了飽和以及其他非線性的一些影響,勵磁機增益系數KE取值一般在10～400;時間常數τE的變化范圍為0.5～1.0 s。

2.1.3 發電機模型

同步發電機的端電壓受其負載的影響,線性化后的簡單模型可以大致反映出發電機機端電壓和場電壓之間的函數關系。其傳遞函數為

(3)

式(3)中的發電機增益系數KG和時間常數τG的大小都與負載的大小有關,從全載到空載的過程中,KG的值也會隨之變化,變化范圍為0.7～1;τG的變化范圍為1.0～2.0 s。

2.1.4 傳感器模型

電壓由電壓互感器測得,再經橋式整流。這一過程可以由一個簡單的傳遞函數表示出來,即

(4)

式(4)中的傳感器時間常數τR的值很小,一般在0.01～0.06 s。

2.2 基于PID控制的線形AVR系統

作為一種廣泛而又成熟的控制方式,經典的PID控制技術在勵磁系統中的使用十分普遍。其控制方式主要分為比例、微分和積分控制3個部分,每個部分又對應一個可調參數,通過改變參數的大小,進而達到控制的目的。PID控制器的結構簡單且實踐經驗豐富,能夠達到一定的靜態和動態穩定的要求,其傳遞函數為

(5)

將PID控制加入系統中,得到基于PID控制的線形AVR系統框圖,如圖1所示。

圖1 基于PID控制的AVR系統

3 分數階PID控制器設計及優化

3.1 分數階微分算子的近似

Oustaloup近似化方法是目前應用廣泛且效果良好的近似化方法,能夠通過濾波器來擬合分數階微積分算子,因此常被用于分數階控制器CRONE中。本文也采用Oustaloup近似化方法,是因該方法可以通過MATLAB來實現,簡單易行,而且效果基本滿意。

Oustaloup方法是針對如下分數階微分算子的近似方法

(6)

選擇給定的頻率段為[ωA,ωB],用

(7)

來代替s/ωu,其中

(8)

并且

(9)

則傳遞函數可表示為

(10)

(11)

其中

(12)

可得

(13)

(14)

3.2 分數階PID控制器的Simulink仿真

3.2.1 整數階PID控制器

連續PID控制器系統框圖如圖2所示。由圖2可知,整數階PID控制器是通過對誤差信號e(t)進行比例、積分和微分運算,其結果的加權,得到控制器的輸出u(t)。該值則為控制器對象的控制值。

圖2 連續PID控制系統原理示意

整數階PID控制器的數學表達為

(15)

式中:u(t)——控制器的輸出;

e(t)——控制器輸入。

整數階PID控制器的傳遞函數為

(16)

離散形式的PID控制器為

(17)

式中:k——采樣序號;

T——采樣周期。

3.2.2 分數階PID控制器

典型的分數階PID控制器的結構框圖如圖3所示。

圖3 分數階PID控制器結構示意

與整數階PID控制器相似,分數階PIλDμ控制器的微分方程為

u(t)=Kpe(t)+KiD-λe(t)+KdDμe(t)

(18)

式中:λ,μ——控制器的積分階次和微分階次,λ>0,μ>0,為任意實數。

分數階PID控制器的傳遞函數為

(19)

當λ和μ取不同值時,分數階PID控制器具有不同的形式。

整數階PID控制器和分數階PID控制器的取值范圍對比如圖4所示。

圖4 PID階次取值范圍比較

由圖4可知:當λ=0,μ=0時,得比例控制器C(s)=Kp;當λ=1,μ=0時,得整數階PI控制器C(s)=Kp+Kis-1;當λ=0,μ=1時,得整數階PD控制器C(s)=Kp+Kds;當λ=1,μ=1時,得整數階PID控制器C(s)=Kp+Kis-1+Kds;當λ=0,μ>0時,得分數階PDμ控制器C(s)=Kp+Kdsμ;當λ>0,μ=0時,得到分數階PIλ控制器C(s)=Kp+Kis-λ。

由此可見,分數階的范圍更廣,涵蓋了整數階,因此分數階的優勢非常明顯,其階次可以改成分數,這樣就變得非常靈活,理論上比整數階具有更好的控制效果。但多了兩個參數,處理起來也會復雜一些,需要尋找特定的方式來處理。

3.2.3 分數階PID控制器的設計流程

分數階PID設計的主要難點是分數階微積分模塊的建立。若模塊完成了建立,那么就可以利用傳遞函數搭建模型,其中就會用到分數階微積分模塊。本文選擇控制系統中常用的ITAE評估值,將其在模型中搭建起來。至此,基本的模型便搭建完成,可以利用程序對其實現調用。

相關文獻介紹了一種確定分數階階次的方法,即網格尋優法。其基本原理是設置一張“網”,該網的橫縱坐標給定了[0,1]的范圍,每條平行橫縱軸線上相鄰點的距離也是給定的,可以是[0,1]內的任意值,稱為步距。很顯然,步距越小,搜索的精度就越高,而相應的所花時間就越長。最后,會得出很多的評估值,而評估值越小,參數越好,容易得出最小評估值,此時所對應的階次便是最優結果。此外,一般初值的選擇采用隨機初始化,為了使結果更加精確,可以多設置一些初代粒子。

整個設計流程如圖5所示。

圖5 粒子群算法尋找PID參數的基本流程

3.2.4 Simulink模型的搭建

采用分數階PID控制器來控制AVR系統,其Simulink模型搭建如圖6所示。

微積分模塊設置近似頻率范圍為[0.000 1 10 000],而濾波器的階次選擇為4。需要注意的是,因為濾波器近似化是按照微分算子設置的,所以選擇階次的值時,積分階次應該設置為負值,微分階次為正值。

圖6 分數階PID控制下的AVR系統仿真模型

4 實驗仿真結果及對比

4.1 無PID控制的AVR系統

無PID控制的AVR系統Simulink優化模型和仿真結果如圖7和圖8所示。

在進行整數階和分數階PID控制前,先觀察無PID控制情況下的AVR系統的階躍響應,如圖8所示。由圖8可以看出,在階躍響應的情況下,整個系統最后雖是收斂的,但速度和震蕩的幅度都滿足不了系統的要求,可見控制作用必不可少。

圖7 無PID控制下的AVR系統仿真模型

圖8 無PID控制下的AVR系統階躍響應曲線

4.2 整數階和分數階PID控制的AVR系統

整數階和分數階PID控制下的AVR系統Simulink優化模型如圖9和圖10所示。

為了與分數階PID控制器進行比較,先對系統進行了整數PID控制,其中的參數Kp,Ki,Kd的尋找應用了粒子群算法,最后得到的PID傳遞函數為

(20)

圖9 整數階PID控制下的AVR系統仿真模型

圖10 分數階PID控制下的AVR系統仿真模型

這種情況下的ITAE評估值為0.621 1。由于使用了粒子群算法,所以優化作用非常明顯。

以該組PID參數進行階躍響應后得到的響應曲線如圖11所示。

圖11 整數階PID控制下的AVR系統階躍響應曲線

對比圖8和圖11可以看出,加裝了粒子群算法找尋參數后的整數階PID控制器與無PID控制器的系統相比有了極大的提高,能夠較快且波動較少地到達穩定,但仍存在穩定時間過長的問題,無法滿足電力系統對電壓迅速穩定的要求。

階躍信號下的AVR系統仿真,分數階PID控制下的Simulink優化模型的仿真結果如圖12所示。

本文采取了簡化方法,最后得到的分數階PID傳遞函數為

(21)

雖然最后尋找到的階次非常接近于1,但其評估值可以用來說明問題。分數階PID控制下的系統評估值為0.039 93,較整數階PID控制器有了相當大的改善。從圖12可以看出,雖然超調量比整數階的大了一點,但在穩定時間方面有了很大的改善。

圖12 分數階PID控制下的AVR系統階躍響應曲線

這里需要說明的是,上文提到的采用網格化方法,即依次將[0,1]范圍內的積分階次λ和微分階次μ代入模型進行仿真,再將得到的評估值進行比較,以此得到最優的階次。但運行實踐表明,該方式需要較長的運行時間,因需對網格化模型中的每一個點進行一次尋優:若所涉的步距過小,則分數階PID控制器的優勢不能明顯地體現出來;若步距過大,則會進一步增加運行仿真的時間。為了滿足實際需要,本文進行了改進:以整數階PID控制器的3個整定參數作為分數階PID控制器的Kp,Ki,Kd的值,并在進行分數階控制器尋優時,以λ=1和μ=1作為初始點。

5 結 語

介紹了Oustaloup逼近方法,并搭建了Simulink模型,再進行子系統封裝,使其實現了對分數階微分方程處理的功能,從而可以輕松地對分數階AVR系統搭建Simulink仿真模型。比較分析了改進后的分數階控制器與優化的整數階控制器,評估值的大小以及響應曲線都表明,前者在后者的基礎上又有了一定的提高。利用網格化法整定參數所需要的時間較長,而本文提出的改進方法,盡管在效果上不如逐點搜尋,但大大縮短了時間。