數學核心素養下的三角函數高考試題分析及建議

李霞 姜晶

【摘要】：三角函數部分是高中數學的重點和難點。文章在三角函數基本內容的基礎上，對近五年全國Ⅰ卷理科數學高考試卷中關于三角函數部分的試題進行研究。通過分析發現，考題不只限于對基礎知識的考查，數學核心素養也是考查的重點內容。從而對部分三角函數試題所考查的數學核心素養進行分析并提出教學建議。

【關鍵詞】：數學核心素養 三角函數 內容分析 考題 建議

一、引言

2018年，山東省教育廳發布的《山東省2018年普通高等學?？荚囌猩ぷ鳎ㄏ募靖呖迹嵤┮庖姟?，提出所有考試科目統一使用全國Ⅰ卷?！叭呛瘮档膬热葜陵P重要，三角函數不僅是連接幾何和代數的一座橋梁，還是溝通初等數學與高等數學的一條通道【1】?！北疚幕诮迥耆珖窬砀呖祭砜茢祵W試題，對其中涉及到的三角函數試題的內容、考點以及部分三角函數試題所考查的數學核心素養進行分析并提出教學建議。

二、三角函數的內容分析

高中數學教材中，三角函數部分編排在必修課本中。盡管教材版本存在差異，但總體來說，三角函數的內容概括為如下幾個方面：任意角的三角函數、三角函數的圖象與性質、三角恒等變換和解三角形。

根據《普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明》對三角函數部分的要求，可以分為13個知識考點，具體的知識考點如下：任意角和弧度制、任意角的三角函數的定義、同角三角函數的基本關系式、誘導公式 周期函數的定義、三角函數的圖象與性質、函的圖象與性質、三角函數的簡單應用 兩角和與差公式、二倍角公式、簡單的三角恒等變換 正余弦定理、正余弦定理的簡單應用。

三、數學核心素養下的三角函數考題分析

1.考題中的考點分析

對2014—2018年新課標全國Ⅰ卷理科數學試題的統計發現，共有12個題目考查了三角函數的內容。2014至2015年，均以填空題和選擇題的形式考查 2016至2018年均以一個解答題和一個填空題或選擇題的形式進行了考查。對這12個題所涉及的考點進一步分析發現，每年至少會涉及到13個考點中的5個考點，而且每道題目都是多個考點綜合考查，有的題目還會與其他章節的知識結合起來進行考查。

2.考題中包含的核心素養分析

《普通高中數學課程標準（2017）》指出，數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，主要包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個方面【2】。筆者結合近五年全國Ⅰ卷理科數學試題，抽取三角函數的部分題目，基于數學核心素養來進行策略分析。

例 1.（2014高考新課標I，理6）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，M到直線OP的距離表示為x的函數f（x），則y=f（x）在[0，π]上的圖象大致為（ ）。

分析：本題考查了任意角的三角函數和正弦函數的圖象。該題目注重對學生直觀想象、數學運算和數學建模三大核心素養的考查。題中點P是動點，則需借助直觀想象的數學核心素養，分析點P的運動規律，利用圖形解決數學問題 建立動點P的位置與“點M到直線OP的距離”之間的關系，進而探索解題思路，得到解析式。本題的背景正是借助單位圓給出了三角函數的自然語言表征與圖象表征，即“點M到直線OP的距離”與四個圖象的選項?？忌⑦@兩者的關聯，即需要學生具備數學建模的關鍵能力。

例2.（2015高考新課標 I，理 8）f（x）=cos（ωx+φ），函數的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調遞減區間為（ ）

分析：三角函數的單調區間可以通過分析三角函數的解析式得到。本題中給出函數圖象，但解析式未知，所以要先求出函數的解析式，確定解析式f（x）=Acos（ωx+φ）+b的步驟如下：

（1）求A，b：確定函數的最大值M和最小值m，則

（2）求ω：確定函數的最小正周期T，則.

（3）求φ：常用方法是代數法，即把函數圖象上的一個最高點（或最低點）代入解析式，進而求出φ的值。本題中A=1，b=0已知，所以只需要求出ω和φ即可。這樣就得到了三角函數的解析式，再利用其性質求單調遞減區間。本題是對學生數學建模、邏輯推理和數學運算素養的考查。

例3.（2014高考新課標I，理8）設則（ ）

分析：公式的活學活用在三角函數這一部分尤其重要。本題中給出α，β的范圍，并且給出一個關系式，學生要學會使用轉化的思想，即要注意公式的逆用和變形，本題的解法中用到了同角三角函數的基本關系，兩角差的正弦公式等知識?？傮w來看學生應掌握三角函數公式的活用技巧，即在解題的過程中頭腦中要有一定的邏輯性，本題主要是對學生邏輯推理素養的考查。在解題過程中還考查到了數學運算素養。

通過以上分析可以看出，三角函數這一部分除了數據分析外，其他核心素養教學過程中都會有所體現，所以在教學中除了要求學生掌握基本知識，也應該發展學生的核心素養。

四、核心素養下三角函數部分的教學建議

根據對近五年全國Ⅰ卷理數試題中三角函數部分的試題分析，我們認為應激發學生的學習興趣，將核心素養應用于實際教學中，提升數學教學質量?！皯嬕阅芰ε囵B為抓手，提升學生數學素養的教學策略【3】?！币虼?，從數學核心素養角度出發，提出以下建議：

1.利用數形結合，發展學生直觀想象的核心素養

“數學概念是數學的基石【4】?！睂⒊橄蟮臄祵W概念轉化為具象的數學圖形可以加強學生的理解，這就要求學生具備直觀想象的核心素養。根據三角函數概念的基本特征，教師應從數和形兩個方面來加深學生對基本概念的理解，從而發展學生直觀想象的核心素養。例如，在求解例1時，需要利用數形結合幫助學生理解用單位圓定義三角函數這一概念，發展學生直觀想象的核心素養，進而幫助學生理解該題的運算方法。

2.借助多媒體，提升學生數學建模的核心素養。

例2考查了學生的數學建模核心素養，要培養學生的這一核心素養，可以借助多媒體來幫助學生理解三角函數的圖象和性質。正弦和余弦函數圖象非常相似，有些學生經?；煜嚓P的知識點，多媒體能夠直觀的展示出圖象的變化過程，幫助學生理解參數對圖象變化的影響，從而提升學生數學建模的核心素養。

3.利用口訣記憶，培養學生數學運算的核心素養

在求解例1～3時，都用到了數學運算的核心素養。尤其是解例3時，要求學生對三角函數公式能夠活學活用。為方便學生對公式準確記憶，更好的進行數學運算，我們可以根據公式特點概括出相應口訣，促進記憶，從而培養學生數學運算的核心素養。例如，對于誘導公式，可以總結出“奇變偶不變，符號看象限”的口訣。

4.加強思維訓練，發展學生邏輯推理的核心素養

在求解例2～3的過程中，都考查了邏輯推理的數學核心素養。為了發展邏輯推理這一核心素養，要注重學生思維能力的培養。首先，培養邏輯表達能力。教師應充分利用三角函數知識特點，積極開展合作學習，引導學生進行分析和總結。其次，注重邏輯思維同步模仿訓練。教師要充分調動學生學習的積極性和主動性。最后，注重思維過程的展示。教師應通過示范和啟迪，充分展示自己多層次的思維過程，以發展學生的邏輯推理的核心素養。

5.注重討論探究，提升學生數學抽象的核心素養

抽象來自于對于具體事物的抽象與概括，數學抽象是指抽取出同類數學對象本質的屬性或特征。在三角函數的教學過程中，注重學生的討論探究更有利于學生對本章知識的理解。例如，在任意角三角函數這節課的學習過程中，可以先復習定義，然后將角放入直角坐標系中，經過學生的討論探究，就可以抽象出任意角的三角函數的定義了。

【參考文獻】：

【1】張景中.重建三角、全局皆活——初中數學課程結構性改革的一個建議[J].數學教學，2006（10）.

【2】中華人民共和國教育部制定.普通高中課程標準[S].北京：人民教育出版社，2018：04.

【3】王麗娜.高中三角函數高考試題分析及教學策略研究[D].河北：河北師范大學，2016.

【4】郭玉峰等.數學學習論[M].北京：北京師范大學出版社，2015.

作者簡介：

1.李霞（1993.6-）女，漢，籍貫：山東省臨清市，學歷：在讀碩士研究生，單位：聊城大學數學科學學院，研究方向：學科教學（數學）

2.姜晶，女，民族：漢，學歷：博士，職稱：講師，單位：聊城大學數學科學學院