一種以測量關鍵特征擬合艙段位姿的方法

陳 棟 李世其 王峻峰 豐 意 何 旺

華中科技大學機械科學與工程學院，武漢，430074

0 引言

總裝對接是確保航空航天類產品成功制造的關鍵環節。實現總裝對接的數字化裝配系統主要由測量系統、控制系統、對接執行機構和數據處理軟件等組成。測量系統通常采用激光跟蹤儀和iGPS等數字化設備采集目標部件的空間位姿數據并反饋到數據處理軟件中，進而引導對接執行機構實現部件總裝對接[1-2]。其中，總裝部件的位姿測量是確保對接任務順利實施的前提和關鍵，通過研究空間位姿測量及擬合方法對于提高位姿測量精度并確保裝配準確度具有重要意義和價值。

目前，剛體位姿測量及解算一般通過測量剛體上的多個位姿基準點并作為換算點，從而將剛體位姿求解問題轉換為參考坐標系和剛體連體坐標系之間的點集匹配問題，然后再通過點集匹配算法進行求解[3]。例如，文獻[4]研究并比較了奇異值分解法、三點法和最小二乘法計算飛機大部件位姿及精度問題。文獻[5]提出了一種基于單目視覺四元數法的解析方法解決航天器相對位置測量和姿態參數估計的問題。文獻[6]將機翼姿態評估問題轉化為空間點與曲面之間的配準問題，提出了一種基于ICP(iterative closest point)算法的姿態評估方法。此外，文獻[7]還提出了一種矢量位姿求解法，通過在圓柱體艙段上按照一定規則布置測量特征點以求解得到艙段位姿參數。該方法對特征點的布置技術要求較高，實現較為困難。雖然以上基于點集匹配的方法在擬合剛體位姿時能夠得到較為滿意的效果，但需要事先在剛體上加工多個精度較高的位姿基準點以滿足測量需求，這對于某些難以更改產品設計和加工工藝的航天產品并不實用。針對這類無法設置標記點的剛體位姿測量問題，目前研究較多的是通過測量關鍵特征的方法獲取剛體位姿。文獻[8]提出了一種基于關鍵裝配特性的最佳裝配位姿擬合方法，以裝配關鍵特性相關公差的重要程度構建了最小綜合偏差函數，進而獲取裝配體間的最佳裝配位姿。文獻[9]針對飛機部件的位姿測量問題，提出了利用外型面關鍵特征來構建部件的對接向量，最后進行位姿擬合的方法。文獻[10]提出了一種測量輔助裝配方法框架以實現基于關鍵測量特性的過程集成和數據融合。本文與以上基于測量關鍵特性的位姿求解方法的不同之處在于，本文先在待測量部件上選取加工精度較高的直接關鍵特征，經激光跟蹤儀采點測量后，利用改進的最小二乘法剔除直接關鍵特征中的粗差測量點，再用其余合格測點擬合得到多個間接關鍵特征。最后通過融合間接關鍵特征構建出待測部件的坐標系，并獲得相應的位姿參數。本文以圓筒形艙段為例，在仿真試驗中利用所提出的方法求得了滿足對接任務需要且精度較高的艙段位姿參數。

1 空間位姿的表達方法

在圖1所示的總裝對接場景中，以激光跟蹤儀所在的測量坐標系為全局坐標系，則部件的空間位姿可用部件連體坐標系相對于測量坐標系的變換關系來表示。

一般情況下，可將部件位姿按向量方式表示為(x,y,z,α,β,γ)T。其中，(x,y,z)T為部件坐標系原點在測量坐標系中的位置分量，(α,β,γ)T為部件坐標系相對于測量坐標系的姿態角。

(1)

式中，sα表示sinα，cα表示cosα，依此類推。

2 關鍵特征提取及連體坐標系構建

由于在待測部件上無法事先加工測量基準點，本文采用了測量關鍵特征的方式間接構造部件坐標系以獲取其位姿參數。下面以圖2所示的固定段為例，通過關鍵特征來構造其連體坐標系。

圖2 艙段坐標系構造示意圖Fig.2 Schematic diagram of cabin coordinate system

根據固定段外型面及連接螺栓加工精度較低，對接端面、內圓柱面和定位銷的加工精度較高的特點，以及移動段與固定段中心軸線需具有較高同軸度的任務需求，首先選取固定段上加工精度較高的對接端面、內圓柱面以及定位銷外圓柱面作為直接關鍵特征，經激光跟蹤儀采點測量并擬合。然后通過擬合直接關鍵特征構造出艙段中心軸線、對接端面法線及定位銷軸線等間接關鍵特征。最后融合間接關鍵特征構造出艙段的連體坐標系：具體是沿對接端面的法矢量方向建立X軸，以對接端面與內圓柱面軸線的交點構造坐標系原點Of。若記對接端面與定位銷中心軸線的交點為Pp0，則沿原點Of與Pp0連線的矢量方向建立Z軸，最后Y軸由右手定則確定，從而構造固定艙段連體坐標系F，即OfXYZ。

3 關鍵特征擬合及位姿參數求解

若根據圖3所示的邏輯結構圖構造坐標系F，則需要先擬合出內圓柱面及定位銷的空間中心軸線，再求取相應交點。本文采用一種先將測量點投影再擬合投影點的方法直接求取空間中心軸線與對接端面的交點，避免了復雜的空間直線擬合。因此，坐標系F的構造包括對接端面的擬合以及空間中心軸線與對接端面交點的擬合。

圖3 固定艙段連體坐標系構造結構圖Fig.3 Construction diagram of cabin coordinate system

3.1 對接端面的擬合

在艙段對接端面上選取n個點，坐標系在L下測得坐標為P1i=(x1i,y1i,z1i)T，i=1,2,…,n。由于實際中對接端面不經過坐標系L的原點，因此對接端面P的方程可表示為

Apx+Bpy+Cpz+1=0

(2)

其中，Ap、Bp、Cp為該平面方程系數。

將以上n個測點坐標代入式(2)并由最小二乘法擬合得到系數向量：

(3)

以Sn=(Ap,Bp,Cp)T表示對接端面法向矢量，可沿其單位向量u=Sn/|Sn|方向構建坐標系F的X軸。

3.2 空間中心軸線與對接端面交點的擬合

本文以內圓柱面中心軸線與對接端面交點Of的擬合為例，介紹空間直線與平面交點的擬合方法。首先從固定段的內圓柱面上選取m個點測量，以擬合的對接端面為基準投影面，得到m個投影點。然后，利用投影點擬合出空間圓。該空間圓可看作球面與平面的截交線，圓心可看作球心在平面上的投影點，即為坐標系F的原點Of。

在內圓柱面上利用激光跟蹤儀選取m個點P2i=(x2i,y2i,z2i)T(i=1,2,…,m)測量，以對接端面為投影基準面，根據投影點與對接端面互相垂直的約束條件，可解得m個投影點P3i=(x3i,y3i,z3i)T的坐標分量為

(4)

設空間球面S的方程為

Asx+Bsy+Csz-Ds=x2+y2+z2

(5)

式中，As、Bs、Cs、Ds為球面方程系數。

將所求投影點P3i代入空間球面方程，并根據最小二乘法擬合球面系數向量：

(6)

解得球心坐標Pc=(As/2,Bs/2,Cs/2)T。

將Pc投影于對接端面得到原點Of，按照式(4)即可求得Of坐標(xf,yf,zf)T。

此外，在定位銷上選取k個測量點，同理可擬合出定位銷軸線與對接端面的交點Pp0，并得到艙段坐標系F的Z軸單位方向向量。再結合所擬合X軸和原點Of，即可構造出坐標系F。

3.3 艙段位姿參數求解

由坐標系F各軸單位矢量與旋轉矩陣R的關系得

(7)

其中R第一、二、三列分別為坐標系F的X、Y、Z軸單位矢量在坐標系L下的表達。聯立式(1)與式(7)求得姿態角：

(8)

坐標系F原點Of向量表示在坐標系L下的平移矢量T：

T=(xf,yf,zf)T

(9)

4 基于2σ準則的最小二乘法改進

根據測量平差理論，在利用激光跟蹤儀進行位姿測量時，主要存在隨機誤差、系統誤差和粗大誤差這三種誤差[11]。其中粗大誤差主要是由于對儀器操作不當或地基震動引起的，受其影響的測量點稱為粗差異常點。當利用傳統最小二乘法進行擬合時，粗差異常點會使其擬合結果偏離真實值，尤其是當數據量較少且粗差較大時，擬合結果會存在較大誤差，產生嚴重失真。所以粗大誤差對基于傳統最小二乘法的位姿計算方法的擬合結果影響較大，即容錯性較差[12]。

在對接端面和中心軸線與對接端面交點的擬合過程中，均用到了傳統的最小二乘法，對其改進的基本思路是：利用2σ準則對最小二乘法的數據源進行探測篩選以識別其中的粗差異常點，即將殘差分布在±2σ范圍外的測點視為粗差異常點，通過對剔除粗差異常點后的測點進行最小二乘擬合以得到精度更高的擬合結果，從而獲得更準確的位姿參數。

4.1 基于改進最小二乘法的對接端面參數求解

(1)計算n個測點P1i到對接端面的距離：

(10)

(2)計算n個距離Di的算術平均值：

(11)

(3)計算殘差Ui：

(12)

(4)計算標準差σ1：

(13)

(5)精度判定：若|Ui|≤2σ1，則保留該測點；否則作為粗差點剔除。

(6)利用保留的測點由最小二乘法擬合出新的對接端面方程，按照以上步驟迭代計算，直到獲得最佳的平面方程系數。

4.2 基于改進最小二乘法的原點坐標求解

(1)計算m個投影點P3i與原點Of的距離：

(14)

(2)計算m個距離Dio的算術平均值：

(15)

(3)計算殘差Uio：

(16)

(4)計算標準差σ2：

(17)

(5)精度判定：若|Uio|≤2σ2，則保留該測點；否則作為粗差點剔除。

5 數值仿真試驗

艙段位姿測量試驗現場如圖4所示。根據三維模型與現場實物的坐標匹配關系，固定艙段坐標系F相對于測量坐標系L的理論位姿為(-101，197.689，-2 592.893，-31.448°，0，0)T。

圖4 固定艙段位姿的測量現場Fig.4 Scene of pose measurement of fixed cabin

利用FARO vantage激光跟蹤儀作為測量設備，在現場通過手持靶球的方式在固定艙段的三類關鍵特征上即艙段對接端面、內圓柱面及定位銷表面采點測量用于特征擬合及艙段位姿坐標系構建。測點在坐標系L下的坐標由CAM2 Measure軟件采集，如圖5所示,分別記錄于表1、表2和表3。表中的序號表示了前文中在各特征上選取的測點個數，即n=m=k=12。

圖5 固定艙段位姿測點數據采集Fig.5 Data collection of pose measurement of fixed cabin

表1 對接端面測量點坐標Tab.1 Coordinates of measuring points of end plane

表2 內側圓柱面測量點坐標Tab.2 Coordinates of measuring points of internal cylinder

根據表1～表3的測點數據，利用本文提出的以關鍵特征擬合艙段位姿的方法，首先結合最小二乘法對艙段位姿進行求解。然后通過對比2σ準則改進測點數據誤差前后與最小二乘法求解結果在精度上的差異，驗證基于2σ準則改進最小二乘法求解位姿的有效性和實用性。

表3 定位銷銷軸測量點坐標Tab.3 Coordinates of measuring points of dowel pin

首先在所有測量點坐標中引入幅值分別為0，0.004 mm，0.008 mm，0.012 mm，0.016 mm，0.020 mm的隨機誤差，此外，在所有測量點中，將1.000 mm誤差隨機賦予其中一點作為粗差異常點。用來驗證基于2σ準則的改進最小二乘法在不同隨機誤差和粗大誤差下，求解艙段位姿的精度及求解精度的魯棒性。然后對每種隨機誤差下的測量點利用改進前后的最小二乘法分別進行500次迭代計算，并將求得的位姿均值作為艙段位姿。表4列出了利用改進前算法計算得到的艙段位姿參數(xf1,yf1,zf1,αf1,βf1,γf1)T，表5為改進后算法計算的艙段位姿參數(xf2,yf2,zf2,αf2,βf2,γf2)T。其中，表中序號1～6分別表示從隨機誤差幅值由0～0.020 mm不斷增加的6種情況所對應的固定段位姿參數。

表4 算法改進前位姿參數求解結果Tab.4 Results of pose parameters of traditional LSM

表5 算法改進后位姿參數求解結果Tab.5 Results of pose parameters of improved LSM

艙段位姿求解算法在改進前后，所求得的艙段位姿參數的絕對誤差隨測量點隨機誤差變化的關系曲線分別如圖6、圖7所示。

圖6 算法改進前艙段位姿參數求解誤差Fig.6 Errors of pose parameters of traditional LSM

圖7 算法改進后艙段位姿參數求解誤差Fig.7 Errors of pose parameters of improved LSM

表4和表5的序號1中所計算的艙段理論位姿參數是在隨機誤差為0的情況下，分別由改進前后的最小二乘法得到。該組結果表明，改進前的最小二乘法在求解位姿參數時，所得結果的絕對誤差值較大。利用2σ準則改進后的最小二乘法擬合關鍵特征所求得艙段位姿參數則更加接近事先給定的位姿理論值。表4和表5中，序號2～6的艙段位姿參數表明，隨機誤差幅值增大會影響艙段位姿參數擬合結果的絕對誤差。而圖6和圖7中的曲線更加清楚地反映出位姿參數求解誤差與隨機誤差的關系。圖6、圖7中的仿真曲線表明：改進前后的位姿擬合算法均在隨機誤差幅值增加的情況下，對固定艙段位姿參數擬合的絕對誤差呈現出增大的趨勢。對比圖6和圖7發現，隨著隨機誤差幅值從0到0.02 mm不斷增大，改進前后最小二乘法求解所得位姿參數的誤差總體上均呈增大的趨勢，但改進后的求解誤差的量級明顯降低。例如，在位姿分量X方向上出現的最大絕對誤差值約為2 mm。而改進后的算法所求得的X方向位姿分量最大絕對誤差值約為0.015 mm?？梢?，改進后的擬合算法在求得位姿分量時，其求解精度與前者相比降低約兩個數量級。仿真結果也表明在隨機誤差較大時，改進前的最小二乘法求解精度較低，且隨機誤差增大時，對其求解精度影響較大。改進后的最小二乘位姿擬合方法更加有效，其求解精度較高，求解精度受隨機誤差的影響也較小。

6 結論

(1)本文提出基于關鍵特征測量的艙段位姿擬合方法，其優點在于通用性好，并解決了無法在產品上額外加工基準點的位姿測量問題，具有較強的實用價值。

(2)位姿擬合的數值仿真結果表明，利用2σ準則對最小二乘法的數據源改進后，在隨機誤差和粗差異常點都存在的情況下，仍能求得精度較高的艙段位姿參數。

(3)通過增加測點個數可進一步提高該方法的魯棒性和艙段位姿參數求解精度。該方法對于其他類型的剛體位姿求解問題也具有參考價值。