單裂縫簡支梁動靜剛度變化規律分析及試驗研究

魏安清

（石家莊市交建高速公路管理有限公司平贊分公司，河北石家莊 050000）

對于完好的簡支梁，通過結構頻率可以反推出結構的動剛度EId。通過撓度可反推出結構的靜剛度EIs，理論上有EId=EIs。由于結構動力特性測試簡單快捷，部分學者對“以動代靜”快速評估結構狀態的相關方法進行了研究，并初步應用于工程實踐［1-4］。但中小跨徑簡支梁橋常用的鋼筋混凝土梁正常使用階段可能發生受力開裂，相關研究表明，已受力開裂的鋼筋混凝土簡支梁動靜剛度存在明顯差異，但兩者動靜剛度差異產生原因及相關關系有待進一步研究［3-6］。本文基于單裂縫Euler-bernoulli簡支梁撓度及頻率計算公式，討論單裂縫簡支梁的動剛度、靜剛度變化規律以及兩者間的關系，最后通過4片矩形截面鋼筋混凝土簡支梁分級加載開展相關試驗研究。

1 單裂縫簡支梁撓度及頻率理論公式

結構裂縫的模擬方法主要有3類：分離的彈簧模型、局部剛度折減、實體有限元分析。本文采用分離的彈簧模型，在結構裂縫處把結構分成獨立的2部分，通過加入轉動彈簧模型來模擬裂縫。

文獻［7］中的轉動彈簧模型表示為

式中：Keq為彎曲彈簧的剛度系數；E為簡支梁的彈性模量；I0為完好截面抗彎慣性矩；h為矩形梁的高度；β為歸一化裂縫深度；β=d/h；d為裂縫深度；C(β)=β(2-β)/0.9(1-β)2。

令1/EI（x）為Euler梁的抗彎柔度，對于無損傷等截面梁其為常數；對于損傷梁，裂縫會導致該處抗彎柔度增大。為了使問題簡化，引入狄拉克δ函數，利用裂縫處局部柔度的跳躍性增大來模擬裂縫的影響。具體表達式為

式中：1/（EI0）為完好梁的抗彎柔度；a為裂紋導致的附加彎曲柔度系數；xc為裂紋到簡支梁左支點的距離。

根據裂縫處的變形協調條件，推導得到

根據簡支梁的邊界條件，通過結構力學方法推導可得到單裂縫簡支梁撓度及頻率的計算公式。

均布力作用下單裂縫簡支梁的撓度計算公式為

式中：q為均布力；l為計算跨徑；x為計算位置。

當無裂縫時，a=0，xc=0，得到撓度公式為

集中力作用下單裂縫簡支梁撓度的計算公式為

式中：P為集中力；xp為其作用位置；U（x-xp）為階躍函數，x-xp≥0時U（x-xp）=1，否則為0。

當無裂縫時，得到集中力作用下撓度計算公式

單裂縫簡支梁的頻率計算正則方程為

式中：λ=xc/l；t=βl；β4=ω2m/EI，ω=2πf。

由式（8）求出t，即可求得簡支梁的頻率f。式（8）為超越方程，本文采用數值方法進行求解。

當簡支梁完好時λ=0，式（8）可簡化為sintsinht=0；對應頻率公式為

2 單裂縫簡支梁動靜剛度變化規律

理論計算模型是計算跨徑為3.20 m 的簡支梁，截面尺寸b×h=0.15 m×0.25 m，彈性模量取34.5 GPa，材料密度取2 600 kg/m3。取裂紋深度為0.4h進行分析，計算時取均布力q=10 kN/m，集中力P=20 kN。完好簡支梁跨中撓度均為2.03 mm，一階頻率為40.33 Hz，二階頻率為161.31 Hz。

荷載作用下跨中撓度與裂縫相對位置的關系見圖1?？梢钥闯?，加載方式對裂縫梁跨中撓度影響很大，跨中集中力作用下的撓度遠大于均布力作用下的撓度；同一加載方式，裂縫越靠近跨中，對應的撓度值越大。

頻率與裂縫相對位置的關系見圖2?？梢钥闯?，裂縫位于振型節點時，對該階頻率無影響，裂縫離振型節點越遠對應頻率值越小。

圖1 荷載作用下跨中撓度與裂縫相對位置的關系

圖2 頻率與裂縫相對位置的關系

由裂縫梁在荷載作用下的撓度按照式（5）、式（7）反算得到簡支梁的靜剛度EIs。由裂縫梁的頻率按照式（9）反算得到簡支梁的動剛度EId。為了方便分析，將反算得到的剛度除以結構完好時對應的剛度得到歸一化剛度。不同位置裂縫對簡支梁歸一化靜剛度、動剛度的影響見圖3。

圖3 裂縫位置的影響

由圖3可以看出，通過跨中撓度反算得到的結構靜剛度與加載方式有關。對于同樣的裂縫位置，均布力作用下跨中撓度反算靜剛度大于跨中集中力作用下的跨中撓度反算靜剛度。通過頻率反算得到的動剛度與頻率階次有關。裂縫位于振型節點時對反算動剛度無影響，裂縫離振型節點越遠對結構動剛度影響越大。

對比圖3（a），圖3（b）可以看出，一階頻率反算得到的動剛度隨裂縫位置變化規律與靜撓度反算得到的靜剛度類似，但動剛度大于對應的靜剛度。因此，要建立開裂簡支梁動剛度與靜剛度之間的關系，應以一階頻率為主。

3 鋼筋混凝土簡支梁試驗研究

3.1 試驗過程簡述

模型試驗用鋼筋混凝土簡支梁為矩形截面梁，共4 片梁，梁高0.15 m，梁寬0.25 m，梁長3.5 m。受力主筋采用5 根直徑12 mm 的HRB335 鋼筋，保護層厚度為25 mm，箍筋采用雙肢直徑8 mm 的R235鋼筋，箍筋間距為125 mm。結構混凝土采用C50，經實測混凝土密度為2 471 kg/m3，計入鋼筋質量計算得到簡支梁單元長度質量為102.8 kg/m。在支點、1/4點及跨中梁底各布置1個撓度測點，共有5個撓度測點。撓度測點對應梁頂各布置1個加速度測點，共5個加速度測點。

靜載試驗采用機械千斤頂分級加載，千斤頂頂部設壓力傳感器以便控制加載壓力。試驗時簡支梁的兩支點間距為3.2 m。其中1，2 號梁采用分配梁兩點加載方式，加載位置距離兩側支點1.10 m，跨中純彎段1.00 m；3，4 號梁采用跨中單點加載方式。頻率測試采用力錘激振，每次頻率測試前卸去千斤頂、分配梁等，保證梁體附加質量。錘擊位置距跨中20 cm，每級荷載下錘擊15次，取平均頻率作為對應等級荷載作用后簡支梁的實測頻率。

3.2 試驗結果分析

每片梁均加載至梁體開裂破壞、荷載不能穩定時為止。實測得到各級荷載P作用下試驗梁跨中彈性撓度y及一階頻率f1見表1。

表1 各試驗梁實測結果

參照第2 節的方法，由試驗梁在荷載作用下的撓度按式（7）反算得到簡支梁的靜剛度EIs，由試驗梁一階頻率按照式（9）反算得到簡支梁的動剛度EId。試驗過程對梁體裂縫發展情況進行觀測（見圖4），第一級加載時各試驗梁均未見開裂，本文認為試驗梁初始狀態時的靜剛度與第1級加載后靜剛度相同。

圖4 試驗梁裂縫發展示意

各級荷載加載后的反算剛度除以試驗梁初始狀態的剛度得到歸一化剛度。各片試驗梁在各級荷載作用后的歸一化剛度變化見圖5?？梢钥闯?，隨著試驗荷載的增加，各試驗梁的動剛度、靜剛度都有逐漸變小的趨勢；在加載初期裂縫初步發育的時候，試驗梁動剛度、靜剛度變化基本一致；隨著荷載的增大梁體裂縫進一步發育，靜剛度下降較快，動剛度大于靜剛度。這與前面的分析結論是相符的。

圖5 梁歸一化剛度變化

4 結論

1）單裂縫簡支梁動剛度與頻率階次相關，裂縫位于振型節點時對動剛度無影響，裂縫離振型節點越遠對結構動剛度影響越大，應采用一階頻率計算動剛度。

2）鋼筋混凝土簡支梁在裂縫初始發育時動剛度、靜剛度變化基本一致；梁體裂縫進一步發育后，靜剛度下降較快，動剛度大于靜剛度。

3）鋼筋混凝土簡支梁開裂初期可用實測結構基頻代替荷載試驗了解結構的剛度情況，但梁體開裂嚴重時應謹慎使用這種方法。

4）鋼筋混凝土簡支梁動剛度、靜剛度變化趨勢分界點對應的裂縫狀態（高度、寬度、間距等）尚需針對不同截面形式開展進一步研究。