周潔
【摘要】在當前實施新課標,注重培養學生素質的大環境下,開發高中學生的思維潛能,提高思維品質,具有十分重大的意義.本文以具體數學問題為例,探討了如何培養高中生數學發散思維的培養策略.
【關鍵詞】高中數學;發散思維;培養策略
一、發散問題的解法
在教學過程中,用多種方法,從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案,用一題多解來培養學生思維過程的靈活性.
例1求證:1-cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=tgθ.
證法1(運用二倍角公式統一角度)
左=2sin2θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ(sinθ+cosθ)2cosθ(sinθ+cosθ)=右.
證法2(逆用半角公式統一角度)
左=1-cos2θsin2θ+11+cos2θsin2θ+1=tgθ+1ctgθ+1=右.
證法3(運用萬能公式統一函數種類)設tgθ=t,
左=1-1-t21+t2+2t1+t21+1-t21+t2+2t1+t2=2t2+2t2t+2=t=右.
證法4∵tgθ=1-cos2θsin2θ(構法分母sin2θ并促使分子重新組合,在運算形式上得到統一),
∴左=(1-cos2θ+sin2θ)sin2θ(1+cos2θ+sin2θ)sin2θ=1-cos2θsin2θ=右.
證法5可用變更論證法.只要證下式即可.
(1-cos2θ+sin2θ)sin2θ=(1-cos2θ)(1+cos2θ+sin2θ).
證法6由正切半角公式tgθ=1-cos2θsin2θ=sin2θ1+cos2θ,利用合分比性質,則命題得證.
通過一題多解引導學生歸納證明三角恒等式的基本方法:(1)統一函數種類;(2)統一角度;(3)統一運算.
一題多解可以拓寬思路,增強知識間聯系,學會多角度思考解題的方法和靈活的思維方式.
二、發散問題的結論
對結論的發散是指確定了已知條件后沒有現成的結論.讓學生自己盡可能多地探究尋找有關結論,并進行求解.
例2已知:sinα+sinβ=13(1),cosα+cosβ=14(2),由此可得到哪些結論?
讓學生進行探索,然后相互討論研究,各抒己見.
想法一(1)2+(2)2可得cos(α-β)=-263288(兩角差的余弦公式).
想法二(1)×(2),再和差化積:sin(α+β)[cos(α-β)+1]=112.
結合想法一可知:sin(α+β)=2425.
想法三(1)2-(2)2再和差化積:
2cos(α+β)[cos(α-β)+1]=-7144.
結合想法一可知:可得cos(α+β)=-725.
想法四(1)(2),再和差化積約去公因式可得:tgα+β2=43,進而用萬能公式可求:
sin(α+β),cos(α+β),tg(α+β).
想法五由sin2α+cos2α=1消去α得:
4sinβ+3cosβ=2524,
消去β可得4sinα+3cosα=2524(消參思想).
想法六(1)+(2)并逆用兩角和的正弦公式:
sinα+π4+sinβ+π4=7224.
(1)-(2)并逆用兩角差的正弦公式.
sinα-π4+sinβ-π4=224.
想法七(1)×3-(2)×4:
3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0,
sin(α-θ)+sin(β-θ)=0θ=arctg43,
即2sinα+β-2θ2·cosα-β2=0,
∴α=2kπ+π+β(與已知矛盾舍去)或α+β=2kπ+2θ(k∈Z),
則sin(α+β),cos(α+β),tg(α+β)均可求.
開放型題目的引入,可以引導學生從不同角度來思考.不僅僅思考條件本身,而且要思考條件之間的關系.要根據條件運用各種綜合變換手段來處理信息、探索結論,有利于思維起點靈活性的培養,也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創造力的培養.
總之,在平時的教學中,要多注意各種基礎知識間的聯系與區別,注意積累各種基本的解題技能與技巧,不斷地對零散的知識進行整合,對各種方法進行歸納,這樣才可以在解題時靈活調動相關知識、方法,迅速準確地解題.