關于三角形內角一個不等式及其應用

李永利

(河南質量工程職業學院 467001)

近日，筆者發現一個關于三角形內角的分式不等式，經查閱有關資料未見刊載. 本文給出該不等式的證明，并給出幾個應用的例子，其中之一為《數學通報》2012年2月號問題2045的加強與拓廣.

以下設△ABC三內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，三角形的半周長、外接圓半徑、內切圓半徑分別為p,R,r.∑表示循環和，∏表示循環積.

定理在△ABC中，有

(1)

當且僅當△ABC為等邊三角形時,式中等號成立.

證明由莫爾外德(Mollweid)公式[1]、正切的半角公式

可得

即

同理可得

由以上三式可得

再由恒等式[2][3]

∑a=2p，

∑a2=2(p2-4Rr-r2)，

∑a3=2p(p2-6Rr-3r2)，

∑a4=2(p2-4Rr-r2)2-8p2r2，

∑bc=p2+4Rr+r2，

∏(b+c)=2p(p2+2Rr+r2)，

可得

2(p2-4Rr-r2)2+8p2r2+(2p2-2p2+8Rr+2r2)(p2+4Rr+r2)]

[-2(4Rr+r2)2+2(4Rr+r2)2]}

于是(1)式等價于

(2)

?4p2(6R+4r)2≥27(p2+2Rr+r2)2

?4p2(36R2+48Rr+16r2)

≥27p4+54p2(2Rr+r2)+27(2Rr+r2)2.

由上式和Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2可知，欲證(2)式成立，只需證明

4p2(36R2+48Rr+16r2)≥27p2(4R2+4Rr

+3r2)+54p2(2Rr+r2)+27(2Rr+r2)2(3)

?p2(144R2+192Rr+64r2)≥p2(108R2+

216Rr+135r2)+27(2Rr+r2)2

?p2(36R2-24Rr-71r2)≥27(2Rr+r2)2.

由上式和Gerretsen不等式p2≥16Rr-5r2可知，欲證(3)式成立，只需證明

(16Rr-5r2)(36R2-24Rr-71r2)

≥27(2Rr+r2)2

(4)

?(16R-5r)(36R2-24Rr-71r2)

≥27r(2R+r)2

?576R3-564R2r-1016Rr2+355r3

≥108R2r+108Rr2+27r3

?576R3-672R2r-1124Rr2+328r3≥0

?144R3-168R2r-281Rr2+82r3≥0

?(144R2+120Rr-41r2)(R-2r)≥0.

而由歐拉不等式R≥2r可知144R2+120Rr-41r2>0，R-2r≥0，于是上式顯然成立，從而(4)，(3)，(2)三式成立，故(1)式成立.

以上由證明過程可知，當且僅當R=2r即△ABC為等邊三角形時(1)式中等號成立. 定理得證.

下面給出不等式(1)幾個應用的例子.

例1在△ABC中，求證：

(5)

(6)

證明由正弦的二倍角公式、余弦和差化積公式和(1)式可得

故(5)式成立.

由余弦的二倍角公式、正弦和差化積公式和(1)式可得

故(6)式成立.

例2在△ABC中，求證：

(7)

(8)

證明按照文[4]中給出的置換方法，在(5)、(6)兩式中分別作置換

即可得到不等式(7)、(8).

例3在△ABC中，有

(9)

證明由余弦的二倍角公式和不等式

及不等式(1)可得

故(9)式成立.

例4在△ABC中，設n為正整數，求證：

(10)

證明由不等式xn+yn+zn≥

例5在△ABC中，求證：

(11)

證明

同理可得

由以上三式和例3中的不等式(9)可得

故(11)式成立.

注1以上各例中得到的不等式均為新的不等式，當且僅當△ABC為等邊三角形時各式中等號成立.

注2《數學通報》2012年2月號問題2045為[5]：在銳角△ABC中，試證明

(12)

對于銳角△ABC，易見(11)式是(12)式的加強. (12)式僅是對銳角三角形的一個結論，而(11)式對于任意三角形均成立，因此本文例5是數學問題2045的拓廣.