2019年8月號問題解答
(解答由問題提供人給出)
(浙江省富陽二中 許康華 311400)
證明將n表示成p進制形式,即令
n=nkpk+nk-1pk-1+…+n1p+n0,(0≤ni
(1)
同樣,可令
n=mlql+ml-1ql-1+…+m1q+m0,(0≤mi (2) 若存在滿足題意的常數a,則由(1),(2)得 (3) 所以有 (4) 因為n≥pk,n≥ql,所以k≤logpn,l≤logqn, ≤a(p-1)q(l+1)+(q-1)p(k+1) ≤a(p-1)q(logqn+1)+(q-1)p(logpn+1). 若(p-1)a-(q-1)≠0, 則任取0<ε<|(p-1)a-(q-1)|, 存在一個正整數N,當n>N時,必有 這與(4)式矛盾. 所以,此時使得(4)式成立的正整數n只有有限多個,與題意不符. 綜上知,如果存在正常數a符合題意, 即n的p進制表示與它的q進制表示的數碼和相等. 2497已知:如圖,在線段AB中垂線上取兩點C、D(不是AB中點).直線AD與BC相交于點E,直線BD與AC相交于點F.過A作AE的垂線,過B作BC的垂線,這兩條垂線相交于點X.求證:∠CXF=∠DXE. (重慶市長壽龍溪中學 吳 波 401249) 證明因為∠XAE=∠XBE=90°, 所以X、A、E、B四點共圓. 設所共之圓為⊙O,圓心O在斜邊XE上. 又CD垂直平分⊙O的弦AB, 所以圓心O也在CD上, 因此直線CD與XE的交點即是圓心O. 如圖,由此可作出⊙O. 由對稱性,點F也在⊙O上. 作X關于CD的對稱點X', 連接XX'、BX'、DX'. 由對稱性知 ∠X'BD=∠XAD=90°. 而∠XBE=90°,所以∠XBX'=∠CBD. 因AB⊥CD,XB⊥BC,則∠XBA=∠BCD. 而由對稱性知XX'⊥CD, 因此XX'//AB.則∠XBA=∠BXX', 所以∠BXX'=∠BCD, 又∠X'BD=∠XAD=90°, 所以△BDX'∽△BCX,有∠BXC=∠BX'D. 又由對稱性知 ∠BX'D=∠AXD, 所以∠AXD=∠BXC, 所以∠AXC=∠BXD. 又易知EF//AB,所以AF=BE, 有∠AXF=∠BXE, 由此即得 ∠CXF=∠DXE. 2498設△ABC三邊長,三個旁切圓半徑分別為a,b,c,ra,rb,rc,則有 (天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456) 由旁切圓半徑公式及正弦定理,可得 那么就有 從而就有 以上證明用到了熟知的公式 2499如圖,O為△ABC內一點,AO平分∠BAC.過點A的直線MN∥BC,射線BO分別交AC,MN于點P,M,射線CO分別交AB,MN于點Q,N.求證:AB=AC的充要條件是PM=QN. (江蘇省興化市第一中學 張 俊 225700) 證明(必要性) 因為AB=AC,AO平分∠BAC, 所以∠ABC=∠ACB,△ABO≌△ACO, 所以BO=CO,∠ABO=∠ACO, 又∠BOQ=∠COP, 所以△BOQ≌△COP,所以OP=OQ. 又由MN∥BC,BO=CO, 知∠M=∠OBC=∠OCB=∠N, 所以OM=ON. 故PM=OM-OP=ON-OQ=QN. (充分性) 如果AB≠AC,不妨假設AB 在AC上取點D使AD=AB, 聯結DO,延長AO交BC于F. 因為AO平分∠BAC,所以△ABO≌△ADO. 所以∠ODC>∠AOD=∠AOB>∠AFB>∠ACB>∠ACO, 所以CO>OD=BO,所以∠OBC>∠OCB, 又MN∥BC, 所以∠M=∠OBC>∠OCB=∠N 所以ON>OM, 所以CN=CO+ON>BO+OM=BM. 因為PM=QN, 所以BM-PM 因為∠ABO=∠ADO>∠ACO, 故可在線段OQ上找點E使∠EBO=∠ACO, 所以E,B,C,P四點共圓, 所以∠BEC=∠BPC. 所以∠EBC=∠EBO+∠OBC >∠ACO+∠OCB=∠PCB, 因為EC,BP分別為圓周角∠EBC,∠PCB所對的弦, 所以EC>BP,又CQ>EC, 所以CQ>BP. (2) (1)與(2)矛盾說明假設不成立,故AB=AC. 2500設n是正整數,且n≥3,證明:對正實數x1≤x2≤…≤xn,有不等式 ≥x1+x2+…+xn. (上海市七寶中學 李佳偉 201101) 事實上,由ax≤x≤y得到(1-a)(y-ax)≥0, 即a2x+y≥ax+ay, 代入得 上式對i=1,2,…,n-2求和,即得到 x1+x2+…+xn-2+ ① ② 由①+②即得到原不等式成立. 2019年9月號問題 (來稿請注明出處——編者) 2501設△ABC的三內角A,B,C所對的三邊長分別為a,b,c,三角形的面積△,求證: (1) 當且僅當△ABC為等邊三角形時式中等號成立. (河南質量工程職業學院 李永利 467000) 2502設AM為銳角三角形ABC的外接圓直徑,N為邊BC的中點,P為∠BAC的平分線AP與直線MN的交點,E,F分別為點P在兩邊AB和AC上的射影,證明:直線MN與EF的交點H是△ABC的垂心. (河南輝縣一中 賀基軍 453600) 2503△ABC中,a,b,c分別表示三角形三邊長,I為△ABC的內心,則 (浙江省永康市第六中學 呂永軍 321300) 2504已知a,b,c>0,abc=1,求證: (河南省南陽師范學院軟件學院 李居之 孫文雪 473061) 2505如圖,△ABC中,D,E,F分別是邊BC,CA,AB上的點,且BD=mBC,CE=mCA,AF=mAB,0 求證:△ABC與△PQR的重心重合. (湖北省公安縣第一中學 楊先義 434300)