歐拉不等式的一個加強的改進

張青山

(四川職業技術學院應用數學與經濟系 629000)

文[1]將歐拉不等式加強為：

定理1在三角形ABC中，外接圓半徑R，內切圓半徑r，則(∑表示循環和)

(1)

文[2]將定理1改進為：

定理2在三角形ABC中，外接圓半徑R，內切圓半徑r，則

(2)

我們發現不等式

成立，這是由于

故設想將不等式(2)改進為

定理3在三角形ABC中，外接圓半徑R，內切圓半徑r，則

(3)

那么

記三角形ABC的內心為I，

令AB=AC,BC→0，

注1

2(R+r)≥IA+IB+IC.

(4)

同理有

那么就得出不等式(4)的一個等價結論：

(5)

注2運用上面證明中的基本數學事實，可以簡捷地證明一些不等式，如：

定理4在三角形ABC中，恒有(∏表示循環積)

(6)

(7)

我們僅證明(6)式，將(7)式的證明留給讀者.

等價于

由(6)式可知

即

就可以得到歐拉不等式的又一個加強：

(8)