自適應高斯—厄米特濾波器

范 煒，李 勇，林 波

0 引 言

濾波問題是從帶有噪聲的觀測數據中，對系統的狀態或者參數進行估計的問題.上世紀六十年代，Kalman和Bucy等人提出的Kalman濾波方法(KF)，為濾波理論和技術的發展做出了重要的貢獻.標準的卡爾曼濾波器是在精確已知的線性模型的基礎上，得到的線性最小方差估計.由于該方法是線性系統假設下的最優估計，使得其在非線性系統的濾波應用中出現了諸多問題.上世紀七十年代，擴展卡爾曼濾波器(EKF)被提出，目前該方法已經成為非線性系統中廣泛應用的濾波估計方法.然而EKF三十多年的應用，也暴露出該算法存在難以實現(必須將非線性系統線性化，計算Jacobian矩陣等)、參數難以調節(參數的不合適往往導致濾波發散)，對更新時間段內系統必須近似線性等諸多問題[1].針對這些問題，近十幾年產生并逐步發展了一類基于sigma點的非線性濾波方法(主要包括無跡濾波器[1-2](UKF)、插值濾波器[3](DDF)和高斯—厄米特濾波器[4-5](GHF)等).不同于EKF將非線性系統局部線性化的策略，該類方法通過sigma點的選取和變換來近似狀態的均值和方差的非線性變換.對于非線性系統，該類算法體現了較高的濾波精度和較好的濾波穩定性[2].基于高斯—厄米特積分公式(Gaussian-Hermite rule)的GHF是其中一種新型的非線性濾波方法，該方法利用一組帶權值的高斯積分點通過非線性映射，對映射后的高斯點進行統計，來得到系統狀態的均值和方差的估計.在非高斯分布下，該方法的精度與UKF同階，而在高斯分布的假設下，該方法的精度則更高，同時可以方便地通過增加高斯點個數來提高濾波器的精度，因此近年來獲得較為廣泛的應用[6-7].

卡爾曼濾波和基于sigma點的非線性濾波方法均需要較為精確的系統和測量的模型.當系統參數和噪聲統計特性存在偏差時，將會導致濾波精度的下降，有時甚至引起濾波的發散.為了解決這一問題，在線估計系統參數、噪聲統計特性和修正濾波增益的自適應濾波技術被廣泛的研究，主要包括貝葉斯法、極大似然法、相關法和協方差匹配法等.其中較有代表性的是Sage和Husa提出的Sage-Husa自適應濾波方法[8]，該方法利用噪聲統計特性的次優極大驗后估計(即Sage-Husa噪聲估計器)，結合卡爾曼濾波器，得到適用于帶平穩噪聲的線性系統的自適應濾波算法.我國學者鄧自立在其基礎上，通過引入遺忘因子，得到改進的適用于帶時變噪聲特性的線性系統的自適應濾波器[9].Sage-Husa自適應濾波器因其計算簡單，原理清晰，而被廣泛地研究和應用.

本文將Sage-Husa噪聲估計器推廣到非線性系統，得到更為一般的遞推估計形式，結合高斯—厄米特非線性濾波方法，提出一種新型的自適應高斯—厄米特濾波器(AGHF).仿真表明，對于存在一類未知噪聲(系統噪聲或測量噪聲)參數的非線性系統，與EKF、GHF和自適應擴展卡爾曼濾波器(AEKF)相比，AGHF可顯著提高噪聲統計特性和系統狀態的估計精度，是一種非線性系統高精度濾波器.

1 高斯—厄米特濾波器

1.1 線性最小方差遞推濾波框架

一般用估計誤差的方差大小來衡量估計精度，所以我們自然希望得到最小方差估計.然而，要得到最小方差估計，需要知道被估計量的驗后概率密度函數，而在實際問題中，驗后概率密度函數往往無法用有限個參數來完全表示，這給應用帶來了較大的困難.而線性最小方差遞推濾波框架只需要利用狀態的前二階矩的統計信息，使該框架的應用較為簡單，計算量也相對較小，適合在線遞推計算，于是在實際應用中被廣泛地采用.基于該框架的濾波算法主要包括：KF、EKF、UKF、DDF和GHF等.

線性最小方差估計和誤差方差陣的遞推方程如下[10]:

(1)

(2)

由式(1)、(2)可知，只需計算X和Z的前二階矩就可以實現狀態X的線性最小方差的遞推估計.對于線性系統來說，已知前一時刻狀態的前二階矩，可以精確且容易地得到狀態通過系統方程和測量方程的前二階矩，此時得到的濾波方法就是卡爾曼濾波算法.而對于非線性系統要得到前二階矩的變換則十分困難，一般情況下得不到解析解.針對這一問題，基于sigma點的非線性濾波技術(如UKF, DDF和GHF等)通過采樣sigma點，對每個sigma點進行非線性變換，最后進行加權統計的方法，估計非線性變換后的前二階矩.該類算法不需要計算系統的Jacobian矩陣，使得設計相對簡單，同時可實現較高的濾波精度.

(3)

(4)

(5)

其中，χk和Wk為高斯分布下的高斯型求積節點和系數，l為求積節點個數.

1.2 高斯—厄米特濾波器

考慮如下非線性離散系統

(6)

其中，u(k)為輸入項，狀態矢量X(k)為滿足系統約束且服從高斯分布的隨機矢量，其與噪聲互不相關，W(k)和V(k)為零均值高斯分布的噪聲序列，且有

(7)

δkj為克羅內克爾函數.

將利用高斯—厄米特求積公式得到的前二階矩式(3)～(5)代入式(1)、(2)，可得高斯—厄米特濾波器[4]：

1) 狀態初始化：

2) 預測過程

Pxx(k-1|k-1)=S(k-1)S(k-1)T

(8)

i={1,2,…l}.

(9)

f[ζi(k-1|k-1),u(k-1)]+q

(10)

(11)

(12)

3) 更新過程

Pxx(k|k-1)=S(k|k-1)S(k|k-1)T

(13)

(14)

Zi(k|k-1)=h[ζi(k|k-1)]+r

(15)

(16)

Pzz(k|k-1)=

(17)

Pxz(k|k-1)=

(18)

(19)

(20)

Pxx(k|k)=

Pxx(k|k-1)-K(k)Pzz(k|k-1)KT(k)

(21)

2 非線性系統Sage-Husa噪聲估計器

將Sage-Husa次優極大驗后噪聲估計器推廣到非線性系統，考慮式(6)所示的非線性離散隨機系統則有噪聲估計器為

(22)

(23)

(24)

(25)

其中

(26)

(27)

記新息

(28)

(29)

(30)

E(ε(k)εT(k))

=Phh(k|k-1)+R

(31)

其中

Phh(k|k-1)=

(32)

則

(33)

故式(25)是有偏估計，而R的無偏估計為

(34)

又因為

Pzz(k|k-1)=Phh(k|k-1)+R

(35)

可得R的無偏遞推估計為

(36)

(37)

則有

(38)

其中

Pff(j|j-1)=

(39)

故式(23)是有偏估計，而Q無偏估計為

(40)

又因為

Pxx(k|k)=Pff(k|k-1)+Q(k-1)-

K(k)Pzz(k|k-1)KT(k)

(41)

則Q的無偏遞推估計為

(42)

針對帶時變統計特性噪聲的非線性系統，通過引入遺忘因子，可以得到非線性時變噪聲無偏遞推估計器為

(43)

(44)

Pzz(k|k-1)]KT(k)

(45)

-Pzz(k|k-1)]

(46)

本節將Sage-Husa噪聲估計器推廣到非線性系統，得到了適用于非線性系統的更為一般的Sage-Husa噪聲估計器，該估計器不需要對非線性系統線性化，不需要計算Jacobian矩陣.這使得該方法在避免線性化誤差的同時，便于使用sigma點采樣技術來實現噪聲統計特性的高精度估計.

3 自適應高斯—厄米特濾波器

將高斯點采樣技術應用于非線性時變噪聲遞推估計器，同時結合高斯—厄米特濾波器(GHF)，則可得到自適應高斯—厄米特濾波器(AGHF).考慮式(6)所示的非線性離散系統，則AGHF的實現算法如下：

1) 狀態和參數初始化：

2) 高斯點采樣

Pxx(k-1|k-1)=S(k-1)S(k-1)T

(47)

ζi(k-1|k-1)=

(48)

其中i={1,2,…l}.

3) 狀態預測

(49)

(50)

(51)

Pff(k|k-1)=

(52)

(53)

4) 高斯點再采樣

Pxx(k|k-1)=S(k|k-1)S(k|k-1)T

(54)

(55)

5) 輸出預測與測量噪聲參數更新

yi(k|k-1)=h[ζi(k|k-1)]

(56)

(57)

(58)

Phh(k|k-1)=

(59)

(60)

(61)

(62)

6) 狀態與系統噪聲參數更新

Pxz(k|k-1)=

(63)

(64)

(65)

Pxx(k|k)=Pxx(k|k-1)-

K(k)Pzz(k|k-1)KT(k)

(66)

(67)

(68)

4 仿真實例

考慮如下非線性系統：

其中，w(k)和v(k)是相互獨立的噪聲序列，q=E(w(k))=2，Q=cov(w(k),w(j))=8δkj，r=E(v(k))=3，R=cov(v(k),v(j))=0.02δkj.

仿真條件：

a) 實例1：v(k)的初始估計為：均值r0=0、方差R0=2.實例2：w(k)的初始估計均值q0=0，Q0=2.

b) 高斯型積分濾波器求積節點個數l=7，仿真步數為3 000.

c) 使用濾波器估計誤差絕對值的均值來衡量濾波器估計的精度.

1) 系統噪聲統計特性參數已知，測量噪聲統計特性參數未知

圖1 狀態估計誤差曲線Fig.1 State estimation error

圖2 測量噪聲統計特性參數估計誤差曲線Fig.2 Observational noise statistics estimation errors

表1 濾波器估計精度比較Tab.1 Comparison of estimation accuracy

2) 系統噪聲統計特性參數未知，測量噪聲統計特性參數已知

圖3 狀態估計誤差曲線Fig.3 State estimation errors

圖4 系統噪聲統計特性參數估計誤差曲線Fig.4 System noise statistics estimation errors

表2 濾波器估計精度比較Tab.2 Comparison of estimation accuracy

對于非線性系統的噪聲統計特性參數估計，通過仿真實例可以看出，當系統只存在一類噪聲(系統噪聲或測量噪聲)統計特性參數未知時，AGHF對噪聲統計特性參數的估計精度，較使用AEKF的估計有明顯地提高，對系統和測量偏差有較強的估計能力.同時必須指出的是，當系統和測量噪聲統計特性參數同時未知時，Sage-Husa噪聲估計器無法從輸出中區分Q和R的影響，故不能對兩者同時進行估計.因此，基于Sage-Husa噪聲估計器的自適應濾波器(AEKF、AGHF)適用于只存在一類噪聲統計特性參數未知的系統.

對于噪聲統計特性參數未知的非線性系統的狀態估計，通過本節的仿真實例可以看出，當系統噪聲統計特性參數未知時，使用自適應濾波器(AEKF或AGHF)較不對噪聲統計特性參數進行估計的EKF和GHF，對系統狀態的估計精度有顯著地提高.與AEKF相比，AGHF由于采用了非線性Sage-Husa噪聲估計器和高斯點采樣技術，使得在較大地提高噪聲統計特性參數的估計精度的同時，對系統狀態的估計精度也有明顯的改善.

5 結 論

本文將Sage-Husa噪聲估計器推廣到非線性系統，得到更為一般的Sage-Husa噪聲估計的遞推形式，同時將推廣的噪聲估計器與高斯—厄米特濾波器相融合，得到一種新型的自適應非線性濾波器——自適應高斯—厄米特濾波器(AGHF).對于非線性系統的狀態和噪聲統計特性參數估計，該濾波器采用高斯點采樣技術，而不需要對非線性系統進行線性化，從而可得到較高的濾波精度.通過仿真表明，對于一類噪聲(系統噪聲或測量噪聲)統計特性參數未知的非線性系統，AGHF較EKF、GHF和AEKF，估計性能均有明顯地改善，能夠實現較高精度的統計特性參數和狀態估計.同時必須看到對于多維系統，AGHF與 GHF一樣，需要的積分節點較多，計算量較大.如何在保持高精度的前提下，減少AGHF的計算量是一個今后值得研究的課題.