TMRC-Filter：一種基于Filtered OFDM系統的子帶濾波器設計方法*

李穎銳，徐景，劉響，易輝躍

(1 中國科學院上海微系統與信息技術研究所 微系統技術重點實驗室，上海 201800； 2 中國科學院大學，北京 100049)

不同于傳統的基于循環前綴的正交頻分復用(cyclic prefix-orthogonal frequency division multiple-xing, CP-OFDM)技術，第五代移動通信系統(the 5th generation mobile communication system, 5G)的新波形技術需要達到以下設計目標：頻譜集中、時域拖尾較小、支持靈活的系統參數部署等。濾波正交頻分復用(filtered-orthogonal frequency division multiplexing, Filtered-OFDM)是華為公司提出的一種面向5G的新波形技術，根據不同場景的需求，子帶濾波器分別對每個子帶進行濾波，不同子帶可以根據相應的鏈路特性和用戶需求調整系統參數[1-2]。為能夠適應5G新波形的要求，子帶濾波器的設計對Filtered-OFDM系統非常重要。具體地，子帶濾波器一般采用有限長單位沖激響應(finite impulse response, FIR)濾波器，且其設計需要滿足以下5條準則[3-5]：1) 子帶濾波器阻帶衰減盡可能大，以降低相鄰子帶間干擾(inter-subband interference, IBI)，支持子帶間非同步傳輸；2) 子帶濾波器過渡帶盡可能窄，以減小子帶間的保護帶寬(guard band)，從而提高頻譜利用率；3) 子帶濾波器的時域沖激響應拖尾盡可能小，以降低符號間干擾(inter-symbol interference, ISI)，更好地支持低時延業務；4) 子帶濾波器通帶波紋盡可能小，以降低濾波后所帶來的頻率選擇性失真；5) 為了實現靈活的帶寬分配，子帶濾波器需易于實現。

FIR濾波器主要有4種設計方法：窗函數法、迭代優化法[6-9]、等波紋法[1-10]和頻域抽樣法[11]。從實現復雜度與易用性方面考慮，目前，基于Filtered-OFDM系統的子帶濾波器主要采用窗函數法[1-5,12-15]，即先設計滿足目標頻率響應的線性相位濾波器，然后用窗函數軟截斷其時域沖激響應得到子帶濾波器。目前，對于基于窗函數法的FIR子帶濾波器，研究者一般對窗函數進行設計優化[16-20]，或者優化濾波實現過程[21-23]，就筆者所知，鮮有人從線性相位濾波器角度出發進行研究。目前，線性相位濾波器主要有理想低通濾波器和升余弦濾波器，對應的子帶濾波器分別為軟截斷SinC型子帶濾波器(SinC-filter)[1-5,12-13]和軟截斷升余弦子帶濾波器RC-Filter(raised-cosine filter)[14-15]。SinC-Filter的線性相位濾波器為理想低通，由于其通帶邊緣由1直接過渡到0，導致SinC-Filter的時域色散嚴重，且通帶波紋較大；RC-filter的線性相位濾波器為升余弦函數，由于升余弦函數的滾降帶受制于子帶帶寬和滾降系數，導致RC-Filter的濾波器參數配置不靈活；且由于RC-Filter的線性相位濾波器通帶邊緣由1緩慢過渡并接近于0，使得滾降頻帶過寬，導致RC-Filter的過渡帶較寬。

本文設計一種縮短型-修正軟截斷升余弦子帶濾波器(TMRC-Filter，truncate modified raised-cosine filter)。與SinC-Filter和RC-Filter相比，TMRC-Filter的線性相位濾波器的滾降帶寬可通過所設計的截止幅度參數自由調節，進而其頻域響應更為靈活，時域色散程度更小。仿真結果表明，隨著滾降帶寬的增大，TMRC-Filter的阻帶衰減、過渡帶帶寬增大，時域色散程度減小。通過對TMRC-Filter的滾降帶寬和滾降系數進行調節，TMRC-Filter可實現較大的阻帶衰減、較小的時域色散程度、較窄的過渡帶和較小的通帶波紋系數。仿真結果進一步表明，當窗函數使用漢寧窗，滾降帶寬取0.010 6π時，TMRC-Filter的通帶波紋可達10-3dB量級，其時域色散程度相比于SinC-Filter改善75%，且在期望阻帶衰減大于等于-60 dB的性能需求下，TMRC-Filter較RC-Filter有超過7%的帶寬改進率。將TMRC-Filter與一種迭代優化法所實現的濾波器[8]進行對比，其性能與文獻[8]中濾波器的性能相當，但是文獻[8]中濾波器會出現生成濾波器的截止頻率不能收斂到目標截止頻率的情況，因此需要進行多步迭代操作，而TMRC-Filter只需將線性相位濾波器和窗函數的時域形式進行相乘便可獲得，無需多次迭代，實現較為簡單。

1 基于窗函數法的子帶濾波器設計

窗函數法[3]子帶濾波器設計分為兩步，第1步設計滿足目標頻率響應的線性相位濾波器Fd(ω)，并得到其時域沖激響應fd(n)，第2步選擇合適的窗函數w(n)軟截斷fd(n)得到子帶濾波器。本節將提出帶有通帶邊緣截止幅度的TMRC-Filter。首先分析傳統 SinC-Filter和RC-Filter的線性相位濾波器的不足，進而提出可自由調節滾降帶寬的帶有通帶邊緣截止幅度的線性相位濾波器，并進行時域色散度分析；然后分析窗函數軟截斷生成TMRC-Filter的過程；最后提出預留頻帶?B的設置方法。

1.1 線性相位濾波器設計

傳統的采用窗函數法的子帶濾波器設計中，線性相位濾波器設計一般基于SinC函數或升余弦函數：

a) 對基于SinC函數的濾波器SinC-Filter，其線性相位濾波器的頻域表達式為

(1)

b) 對基于升余弦函數的濾波器RC-Filter，其線性相位濾波器的頻域表達式為

(2)

式中：B表示子帶帶寬，?B表示預留頻帶(tone-offset)，Δ表示滾降帶寬，α表示滾降系數，ω表示頻率。

綜上，如圖1所示，設計滿足目標頻率響應的可自由調節滾降帶寬的帶有通帶邊緣截止幅度δ的線性相位濾波器：

(3)

圖1 TMRC-Filter的線性相位濾波器的幅度響應Fig.1 Magnitude response of linear phase filter for the TMRC-Filter

相比于線性相位濾波器(1)和(2)中的預留頻帶?B，所設計的線性相位濾波器(3)中?B不再由經驗值設置，而是可以進行確定性設置，設置方法見1.4節，從而可以避免預留頻帶?B設置過大或者過小帶來的性能損失問題。x(|ω|,α,B)表示滾降函數，為便于與RC-Filter和SinC-Filter進行對比分析，此處滾降函數取為升余弦函數，即

(4)

式中：Δ表示滾降帶寬，可以自由調節。與RC-Filter的線性相位濾波器(2)不同的是，線性相位濾波器(3)的滾降帶寬Δ不再由B和α決定，而是可以自由調節；δ=x(|B+?B+Δ|)表示截止幅度，受滾降帶寬Δ控制，可以通過調節滾降帶寬Δ來調節截止幅度δ，特別地，當Δ=0時，δ=1，此時線性相位濾波器(3)與(1)等價；當Δ=απ時，δ=0，此時線性相位濾波器(3)與(2)等價。線性相位濾波器(3)的時域沖激響應為

=(B+?B+Δ)sinc((B+?B+Δ)n)+

(B+?B)sinc((B+?B)n)+

(5)

1.2 線性相位濾波器的時域色散度分析

由文獻[25]可知，可以用Δn來衡量濾波器能量在時間上的散布情況：

(6)

(7)

為評估滾降帶寬Δ對時域色散值Δn的改善程度，定義參數ηΔn

(8)

取α=0.015 ，ηΔn隨滾降帶寬Δ和子帶帶寬B的變化如圖2所示。

圖2 滾降帶寬和子帶帶寬對時域色散值的影響Fig.2 Influences of rolled-off bandwidth and subband bandwidth on time localization

由圖2可知，ηΔn隨著滾降帶寬Δ的增加而增加，當Δ∈[0.01π,0.015 π]時，ηΔn增加較為緩慢，且ηΔn(Δ)不受子帶帶寬B影響。

1.3 軟截斷生成TMRC-Filter

根據窗函數法[3]，由合適的窗函數w(n)軟截斷線性相位濾波器(3)的時域沖激響應fd(n)得到TMRC-Filterf(n)，即

f(n)=fd(n)w(n),0≤n≤L-1,

(9)

式中：L為濾波器的階數，可選擇的窗函數w(n)有漢寧窗、布萊克曼窗、凱澤窗、哈明窗等[14-18]。

TMRC-Filter的幅度響應為

=S(ω)+R(ω),

(10)

其中，W(ω)是窗函數的幅度響應

R(ω)=R0(B+?B+ω);

(11)

由式(10)、式(11)可知，TMRC-Filter幅度響應可以表示為S(ω)和R(ω)的和；其中S(ω)等價于SinC函數子帶濾波器的幅度響應，R(ω)等價于滾降函數與窗函數的卷積結果，對SinC函數子帶濾波器的幅度特性S(ω)進行修正，從而降低TMRC-Filter的通帶波紋系數，增大阻帶衰減。由于增加了滾降帶寬Δ，相比于SinC函數子帶濾波器，TMRC-Filter的過渡帶增大，因此，Δ不可設置過大。

1.4 預留頻帶設置方法

預留頻帶?B=0和預留頻帶?B≠0兩種情況下的線性相位濾波器與窗函數卷積后生成的子帶濾波器的幅度響應如圖3所示。由圖1可知，當?B=0時，線性相位濾波器的通帶截止頻率為B，線性相位濾波器與窗函數卷積后生成的子帶濾波器的幅度響應如圖3實線所示，子帶濾波器的通帶邊緣處最后一個正肩峰G所對應的頻率為ωg，但為了既節省頻帶資源又避免通帶波紋對邊緣子載波的影響，子帶濾波器的通帶邊緣最后一個正肩峰應盡量出現在B處，如圖3虛線所示，因此?B的設置保證子帶濾波器通帶邊緣處的最后一個正肩峰G所對應的的頻率為B，則此時線性相位濾波器的通帶截止頻率B+?B必須滿足

(12)

即

(13)

圖3 ?B=0和?B≠0情況下子帶濾波器幅度響應Fig.3 Magnitude responses of the filter at ?B=0 and ?B≠0

本章設計可自由調節滾降帶寬的帶有通帶邊緣截止幅度的線性相位濾波器，用窗函數軟截斷該線性相位濾波器的時域沖激響應生成TMRC-Filter，并提出預留頻帶?B的設置方法。

2 仿真分析

濾波器的技術指標主要有通帶截止頻率、阻帶截止頻率、阻帶衰減、過渡帶帶寬以及通帶波紋，為便于對TMRC-Filter進行性能仿真分析，對技術指標定義見表1。

表1 濾波器性能指標定義Table 1 Definitions of performance parameters of the filter

本文將TRMC-Filter與SinC-Filter，RC-Filter進行對比。為了增加所設計線性相位濾波器的普適性，仿真中改變不同的窗函數進行分析。本仿真實驗設置仿真參數見表2。

表2 仿真系統參數列表Table 2 System parameter settings

2.1 TMRC-Filter的通帶波紋和阻帶衰減

以漢寧窗函數為例，取α=0.015 ，由式(13)得到TMRC-Filter(Δ=0,δ=1)、TMRC-Filter(Δ=0.006 π,δ=0.654 5)、TMRC-Filter(Δ=0.010 6π,δ=0.197 7)、TMRC-Filter (Δ=0.015 π,δ=0)的預留頻帶?B分別為0.013 5B、0.006 65B、0.009 4B、0.009 4B。不同Δ下，TMRC-Filter幅度響應如圖4所示，其相應的通帶波紋系數和最小阻帶衰減如表3所示。其中，當Δ=0時，δ=1，此時TMRC-Filter與SinC-Filter等價；當Δ=απ=0.015 π時，δ=0，此時TMRC-Filter與RC-Filter等價。

由表3和圖4(a)可知，當Δ取值0、0.006π、0.0106π、0.015π時，TMRC-Filter最小阻帶衰減As分別為-44、-47、-55、-68 dB，即TMRC-Filter的最小阻帶衰減幅度隨著Δ的增大而變大，與RC-Filter，SinC-Filter相比，TMRC-Filter的最小阻帶衰減幅度處于兩者之間；Δ越小，TMRC-Filter的過渡帶帶寬度越小，且TMRC-Filter的過渡帶帶寬度小于RC-Filter的過渡帶帶寬度。

圖4 濾波器的幅度響應隨Δ的變化Fig.4 Magnitude response vs. Δ

由表3和圖4(b)可知，TMRC-Filter和RC-Filter的通帶波紋達到10-3量級，明顯小于SinC-Filter的通帶波紋值。

表3 TMRC-Filter性能指標Table 3 Performance of the proposed TMRC-Filter

由表3和圖4的結果分析可知，Δ的存在顯著降低了通帶波紋系數。通過Δ的調節，可自由調節濾波器的阻帶衰減和過渡帶帶寬。Δ的取值有兩個要求：Δ應盡可能小以獲得較窄的過渡帶；Δ又應盡可能大以獲得較小的時域色散值和較大的阻帶衰減。因此，這兩個要求是相互矛盾的，不可能同時滿足。Δ的取值應該在較窄的過渡帶、較小的時域色散度及較大的阻帶衰減之間進行折衷。由2.2節圖2可知，當Δ=0.010 6π時，ηΔn=0.75，相比于SinC-Filter，TMRC-Filter時域色散度改善較大，并結合圖4(a)可知其通波紋系數較小，阻帶衰減較大，且相比于 RC-Filter，其過渡帶帶寬較小。

2.2 TMRC-Filter的過渡帶

以漢寧窗函數為例，取α=0.015,Δ=0.010 6π，不同期望阻帶衰減Ag下，3種子帶濾波器的期望過渡帶帶寬U見表4。

表4 TMRC-Filter性能指標Table 4 Performance of the proposed TMRC-Filter

由表4可知，當期望阻帶衰減Ag大于等于-60 dB時，3個濾波器的過渡帶帶寬度關系為URC>UTMRC>USinC，此時TMRC-Filter的過渡帶UTMRC較RC-Filter有較大的改進，定義濾波器的帶寬改進率為

(14)

不同參數下的TMRC-Filter的帶寬改進率如表5所示。

表5 TMRC-Filter帶寬利用的改進率Table 5 Improvement rate of bandwidth utilization of TMRC-Filter

由表5可知，當期望阻帶衰減大于等于-60 dB時，TMRC-Filter較RC-Filter有超過7%的帶寬改進率。但相比于SinC-Filter，TMRC-Filter的過渡帶寬度仍然較寬。

2.3 改變不同的窗函數進行性能分析

當窗函數為文獻[16]所提出的窗函數時，不同子帶濾波器的性能指標見表6(其中，☆表示濾波器性能達不到要求)。

表6 TMRC-Filter性能指標Table 6 Performance of the proposed TMRC-Filter

由表6可知，此窗函數下，TMRC-Filter、RC-Filter和SinC-Filter 3種濾波器的通帶波紋相當；TMRC-Filter和RC-Filter的最小阻帶衰減明顯大于SinC-Filter，且當期望阻帶衰減小于等于-85 dB時，SinC-Filter已失去其過渡帶較窄的優勢；當期望阻帶衰減大于等于-94 dB時，3個濾波器的過渡帶關系為URC>UTMRC>USinc，此時TMRC-Filter的過渡帶UTMRC較RC-Filter有較大的改進，利用公式(14)，計算其帶寬改進率見表7，可以看出，當期望阻帶衰減大于等于-94 dB時，TMRC-Filter較RC-Filter超過7%的帶寬改進率。當期望阻帶衰減大于等于-80 dB時，TMRC-Filter的過渡帶寬度略大于SinC-Filter。因此當Filtered-OFDM系統對帶外輻射要求不高時，SinC-Filter整體性能較好；當系統對帶外輻射要求較高時，TMRC-Filter更能滿足性能需求。

表7 TMRC-Filter帶寬利用的改進率Table 7 Improvement rate of bandwidth utilization of TMRC-Filter

2.4 誤碼率分析

使用濾波器對子帶進行濾波，其中，TMRC-FOFDM使用TMRC-Filter對子帶進行濾波，RC-FOFDM使用RC-Filter對子帶進行濾波，SinC-FOFDM使用SinC-Filter對子帶進行濾波。將濾波后的發送信號經過高斯信道，得到其對應的誤碼率(bit error rate, BER)見圖5。

圖5 高斯信道中系統誤碼率Fig.5 BER performance in Gaussian channel

由圖5可知，TMRC-FOFDM、RC-FOFDM誤碼率近似，且接近于傳統的OFDM的誤碼率，說明所設計的濾波器對信號未造成明顯的失真。對于高信噪比下，TMRC-FOFDM、RC-FOFDM相比于SinC-FOFDM誤碼率較小，說明帶有滾降帶的子帶濾波器TMRC-Filter、RC-Filter的通帶波紋小于SinC-Filter的通帶波紋。

2.5 與其他FIR濾波器對比分析

為體現所設計濾波器優勢，本節將對 TMRC-Filter和文獻[8]所提出FIR濾波器的性能進行對比分析。文獻[8]所設計的濾波器為基于高斯函數近似(Gaussian-based approximation, GBA)的迭代濾波器，該濾波器易于實現，且可控制過渡帶帶寬，本文將該濾波器命名為GBA-Based-Filter。

仿真實驗子帶帶寬為0.585 9π，濾波器長度為513。對于TMRC-Filter，其滾降帶寬Δ=0.010 6π，對應的截止幅度為δ=0.197 7，滾降系數α=0.015；由于GBA-Based-Filter是通過優化過渡帶帶寬度來進行迭代實現，因此不同過渡帶帶寬的濾波器性能不同，取目標過渡帶帶寬度分別為0.01 π、0.025 π、0.04 π，得到與TMRC-Filter的性能對比結果分別如圖6所示。

圖6 GBA-Based-Filter與TMRC-Filter的幅度響應Fig.6 Magnitude responses of GBA-Based-Filter and TMRC-Filter

由圖6可知，當GBA-Based-Filter的過渡帶帶寬優化到0.01π時，雖然其過渡帶帶寬窄于TMRC-Filter，但其性能在通帶波紋和阻帶衰減方面均差于TMRC-Filter；當GBA-Based-Filter的過渡帶帶寬優化到0.025 π時，其過渡帶帶寬和TMRC-Filter相似，雖然其通帶波紋略優于TMRC-Filter，但其阻帶衰減略差于TMRC-Filter；當GBA-Based-Filter的過渡帶帶寬優化到0.04π時，雖然其性能在通帶波紋方面略優于TMRC-Filter，但過渡帶帶寬較寬，且兩種濾波器在阻帶衰減方面性能相當。

3 總結

本文針對Filtered OFDM系統設計一種子帶濾波器。為滿足Filtered OFDM系統對帶寬分配靈活、較高時頻效率以及非同步傳輸的要求，所設計的子帶濾波器可通過調節滾降帶寬，實現較大的阻帶衰減、較窄的過渡帶帶寬、較小的通帶波紋以及較大的時域色散程度，且實現較為簡單。但本文并未給出滾降帶寬與4個性能指標的理論數學關系，因此，推導出滾降帶寬與4個性能指標的閉合表達式是接下來要進行的工作。