再議加法交換律和結合律

劉裕良

[摘要]加法交換律和結合律是四則運算里的基礎定律，為學生以后學習簡算奠定了理論基礎，但是，加法結合律與交換律之間卻有著微妙的關系，要想徹底厘清兩者，需要從定義開始追溯。

[關鍵詞]加法;乘法;結合律;交換律;算序

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0056-02

筆者閱讀《中小學數學》2012年第7、8期刊登的崔海華老師的論文《厘清思考原點 關注運算順序》（以下簡稱“崔文”）和2013年第12期杜欽坤老師的教研論文《惹禍的括號》（以下簡稱“杜文”）后，感慨良多。在經年累月的執教生涯中，上述崔老師和杜老師憂思的問題隨處可見，同事也經常為此爭得面紅耳赤。下面筆者就談談個人淺見。

一、運算律引起的辯論

問題爭論的焦點集中在三個題目上。

【例1】25+38+75=（25+75）+38，在這個簡算變形中，運用了（ ）。

A.加法結合律

B.加法交換律

C.加法交換與結合律

崔老師和杜老師一致認為，這道簡算題單一地運用了加法交換律，選項B是對的。而崔文中又補敘：“假若堅持認為使用的是加法結合律，簡算過程的確改變了算序，即先求出第一個和第三個加數的和，再求出與第二個加數的和。然而，一、三兩個加數結合起來相加的同時，勢必調換了數序，客觀上38與75調換了次序。從主次來分，兩種運算律的運用，先用的是加法結合律，后用的是加法交換律，因此，若嚴格來講，必須設計這樣一個選項：加法結合律和加法交換律兩相結合。這樣看，選項C似乎有些勉強，因為詞序顛倒?！弊髡叩囊馑际?，這個題目應該這樣應答：加法結合律和加法交換律。認定B選項是沒辦法的辦法，因為原題實在沒有如愿提供“加法結合律和加法交換律”這個選項。

【例2】（1）125×7×8=（125×8）×7=1000×7=7000;（2）125×7×8=7×（125×8）=7×1000=7000。這道題中，針對后一種簡算法，兩位作者提出的觀點與大多數教師的看法不謀而合，即先用乘法交換律，再用乘法結合律。出現分歧的是前一種算法，有觀點認為單用乘法交換律，有觀點認為乘法交換律和乘法結合律兩者并用，而上述兩位作者則堅持單用乘法交換律的觀點。杜文指出：業界之所以普遍認定第一種方法綜合運用了兩種運算律，是因為因數7和因數8交換位置后，125和8用上了括號，假如不帶括號，就是依序計算，添加括號就標志使用乘法結合律，“難道是括號在作怪？”前種簡算法下，7和8交換位置后，先算125×8是自然順序，是通則，四則運算的自然順序不含結合律，因此只有交換作用，沒有結合作用;在（a×b）×c=a×（b×c）中，就算左邊的式子無括號，仍不改變先算a×b的既成事實，左邊式子中的小括號起到強調重申先算的作用。

二、數序變而算序不變

【例3】23+（45+55）=（45+55）+23運用了什么運算定律？

崔文得出結論：這道題綜合運用了加法交換律和加法結合律。論據有三：三個加數的順序發生巨大變化，全部調整，因此，交換律是不言而喻的;再看算序，雖然都是先算（45+55），但是，左式中，它們分處2、3位，在右式中，分處1、2位，顯然，排序發生變化，因此兩種運算定律都運用其中。如果先分析算序，先相加后兩數，則變成了先相加前兩數。因此，毫無疑問用到了加法結合律，而與此同時，三個數的數序打亂了，由此交換律也不可避免非用不可。不管從哪方面說，加法的兩個運算律赫然在列，一個都省不了?！倍盼恼J為：“宏觀看，兩種運算律兼而有之?！苯o出的論據是：“23+（45+55）=（45+55）+23，不僅三個數的次序統統打亂，而且先求和的（45+55）的次序也由二、三位遞進為一、二位，算序發生改變，因此兩者都用到。兩種運算律息息相關，是第一種變化附帶導致第二種改變，算序變化是數序變化引起的副反應、副產物，可以不必糾結，其實左右兩個式子，算序都是45+55優先，并沒有被其他的算式捷足先登，算序未變，從宏觀層面看，單用了加法交換律?！睘榱俗C明這一點，先來回顧乘法交換律和乘法結合律的定義。（1）乘法交換律：兩數相乘，交換因數的位置，積保持不變，用字母表達式表示就是a×b=b×a。（2）乘法結合律：三數相乘，先求出前兩個數的積，再計算與第三個數的積，或者先求出后面兩個數的乘積，再計算與第一個數相乘的積，結果不發生改變，用字母表達式表示就是（a×b）×c=a×（b×c）。加法交換律和結合律與乘法的類似，不再贅言。通過溫習舊知，需要重申以下幾點：（1）結合律中左式中的括弧，對算序沒起作用，只是為了美觀對稱，書寫時一般不輕易省掉;（2）隨著數域的擴展，公式的字母可以表示各種數型，整數、小數、分數均無不可，當然，這些字母既能代表數值，也可表示一個抽象的式子;（3）交換律只改變數序，不改變計算順次;（4）結合律的作用僅僅是改變算序，而不改變數序。下面就按此邏輯來研磨上述三題。在例1中，左式預定的是求三個數的和，按照正常順序，要求出25+38的和值63，再用這個和值63與75求和，得到138。而右式（25+75）+38是左式變換之后得到的，變形經過是這樣的：25+38+75=25+（38+75）（運用了加法結合律）=25+（75+38）（括號里運用了加法交換律）=25+75+38（去括號）=（25+75）+38，因此這道題綜合運用了兩種定律。流行觀點認為，最后一步用到結合律，筆者不敢茍同，此處沒有運用任何定律，只是按正規程序計算，是對加法結合律書寫美觀需要所致，是習慣問題;第一步才是結合律的落腳點，一般情況下，這一步被自動忽略了。這里，的的確確使用了加法結合律，但這也僅僅屬于38和75的結合，而絕非崔文所言第一個和第三個加數結合。38和75先結合起來，再交換位置，兩種運算律使用上有先后之別，卻無主次之分。

三、加括號原為對稱美

對于例2（1），筆者覺得邏輯應該是這樣的：125×7×8=125×（7×8）（運用了乘法結合律）=125×（8×7）（運用了乘法交換律）=125×8×7（去括號），之后原式=（125×8）×7=1000×7=7000，所以這道題依然是綜合運用了兩種運算律。在例2（2）中，顯現的是粗線條，而不是整個來龍去脈，但是不能因為出示了粗線條而曲解它，其中（125×8）×7一步，將前面兩個因數括起來，有人就想當然覺得是用了乘法結合律。正如前文所言，是為了造成美觀效應，按照慣例行事，與運算律一概無關，說是括號引起的誤會，實在是冤枉了括號。對于例3，崔文提出，這道題是合用了兩種運算律，在引言中，作者是站在三個數的視角來探析;杜文也是如出一轍，分析后說：“……，所以運用了交換律和結合律……”最后又說：“宏觀來看，單獨使用了乘法交換律?！边@段話讓人摸不著頭腦，莫名其妙。前后矛盾的說法，讓人無所適從。其實這個問題也很好解釋：23+（45+55）不應視為三個數，而應該把（45+55）視為一個數，也就是一個基礎的加法算式（因為原式中把45+55括起來，已然是一個整體），在這里就只涉及加法交換律，沒有其他?？闯扇齻€數，是站不住腳的，沒有看透加法運算本質，浪費時間，最后走進迷宮，只有原地打轉，無法逃脫。

以上是筆者個人的分析，望能拋磚引玉，引發廣大教師更深入的探討。

（責編 黃春香）