多種多翼吸引子共存的新型三維分數階混沌系統

徐昌彪，何穎輝，吳 霞，莫運輝

(1.重慶郵電大學 光電工程學院,重慶 400065; 2.重慶郵電大學 通信與信息工程學院,重慶 400065)

分數階微積分已有300多年的歷史，自然界的物理現象大多以分數階的形式存在，整數階微分方程正好是分數階微分方程的特例.與整數階模型相比，分數階模型更接近真實的世界，具有更誘人的發展前景，近年來已得到了越來越多的關注[1-2].值得注意的是，與只有固定翼混沌吸引子的分數階混沌系統相比，具有多種多翼混沌吸引子共存的分數階混沌系統顯示出更復雜的動力學行為和更好的性能[3-4].在安全通信[5]和圖像加密[6]中，此類分數階混沌系統具有更高的序列復雜度以及更大的密鑰空間，提高了系統安全性能.因此，發現和構造具有多種多翼混沌吸引子共存的低維分數階混沌系統具有更大的價值.Zhou等人基于四翼整數階憶阻混沌系統，構造了相應的分數階憶阻系統，出現三翼與三翼、三翼與四翼混沌吸引子的共存[7]；Borah和Roy設計了一種新的分數階混沌系統，此系統具有三翼和四翼混沌吸引子共存[8]；Xian等人構造了一個雙翼與四翼混沌吸引子共存的分數階混沌系統[9].目前，構造具有更多種多翼混沌吸引子共存的分數階混沌系統仍然存在一定挑戰.在已有文獻中，能夠產生雙翼到四翼混沌吸引子共存的三維分數階混沌系統還比較少見.

本文設計了一個新型三維分數階混沌系統，對其進行了動力學分析.在q=0.98時，出現雙翼、雙翼、四翼等混沌吸引子的共存；q=0.83時，出現雙翼、三翼、四翼等混沌吸引子的共存，表明系統具有豐富的混沌特性.與文獻[10]和文獻[11]相比，此系統不存在不光滑的非線性函數，更易于用硬件電路實現.對系統進行了Multisim模擬電路設計和仿真，仿真結果與數值分析相符，進一步驗證了系統的混沌行為.基于分數階Lyapunov穩定理論，設計了一個自適應同步控制器，仿真結果表明了所設計控制器的有效性.

1 系統模型及其特性

1.1 分數階系統模型

增廣Lü系統[12]狀態方程為

(1)

將式(1)中第一個方程右邊添加非線性項-kx-9yz-d，第3個方程右邊添加非線性項-9xy+y2.再根據Caputo分數階積分定義，構建了一個新型三維分數階混沌系統，系統狀態方程為

(2)

式中:x，y，z為系統狀態變量，a，b為系統參數，q為系統階數.

固定參數a=2，b=1，c=-0.78，取q=0.98，其最大Lyapunov指數(MAXLE)為1.065 96.利用預估-校正數值計算方法[13]，結合matlab軟件，得到系統的仿真相圖.初始值為[2,1,1]、[5,1,1]和[6,1,1]時，分別得到兩個孤立的雙翼混沌吸引子和一個四翼混沌吸引子，其x-y面和y-z面如圖1所示.其中，圖1(a)和(b)中的藍色部分為初始值[2,1,1]誘發的雙翼混沌吸引子，紅色部分為初始值[5,1,1]誘發的四翼混沌吸引子.

圖1 q=0.98時系統的相

取q=0.83，其MAXLE為1.494 3.初始值為[2,1,1]、[5,2,1]和[11,1,1]時，分別得到雙翼、三翼和四翼混沌吸引子，其x-y面和y-z面如圖2所示.

圖2 q=0.83時系統的相

由此可見，系統階數q=0.98時，系統有雙翼、雙翼、四翼等混沌吸引子共存；q=0.83時，系統有雙翼、三翼、四翼等混沌吸引子共存，表明了階數q對系統的混沌特性具有較大影響.

1.2 平衡點及其穩定性

參數不變，令系統(2)方程式的左邊等于0，即

(3)

求得平衡點，如表1所示.

表1 系統的平衡點

令det(λE-J)=0，得到其特征多項式為

f(λ)=λ3+A2λ2+A1λ+A0.

(4)

其中

A2=1.78,

若平衡點穩定，其特征值滿足Re[λ]<0.依據Routh-Hurwitz判據，當且僅當A2>0，A0>0，A2A1-A0>0時，平衡點穩定[14-15].求得每個平衡點所對應的特征值及平衡點的穩定性如表2所示.

表2表明，平衡點S1是第一類鞍點，S0，S2，S3和S4是第二類鞍點.混沌吸引子的環圍繞第二類鞍點產生，第一類鞍點起到連接環的作用[16-17].

設λ是第二類鞍點的共軛復根，為使分數階系統存在混沌吸引子，λ必須保持在不穩定區域.由文獻[18]可得，需滿足

|arg(λ)|<0.5πq.

(5)

其中arg(λ)是特征值λ的輻角，所以有

(6)

表2 系統的平衡點穩定性

由此，a=2，b=1，c=-0.78時，可得分數階系統(2)存在混沌吸引子的必要條件，即q>0.822 4.

1.3 時序圖

參數不變，取q=0.83,初始值為[5,2,1]，得到相應的時序圖，如圖3(a)所示，從圖中能直觀地看出系統的混沌行為.

1.4 最大Lyapunov指數譜和分岔圖

系統階數的變化會改變平衡點的穩定性,引起系統狀態的變化.參數不變，選擇階數q為控制變量.采用Adams-Bashforth-Moulton數值算法的改進版本[19]，初始值為[5,2,1]時，得到系統變量z隨系統階數q變化的最大Lyapunov指數譜和分岔圖，如圖3(b)和圖3(c)所示.最大Lyapunov指數譜和分岔圖可以比較直觀地反映非線性動力學系統隨階數變化的動態特性.當最大Lyapunov指數>0的時候，系統處于混沌狀態.由圖3(c)可知，當q∈[0.5，0.819]時，系統處于周期狀態；當q∈(0.819，1]時，系統處于混沌狀態.q從0.5向1增加的過程中，結合圖3(c)可知，系統通向混沌的道路為倍周期分岔道路，進一步驗證了q對系統具有較大影響.

2 系統的電路仿真

參數不變，取初始值為[5,2,1]，根據文獻[20]，當q=0.83時，分數階算子逼近

(7)

文獻[19]中的分數階等效串并聯RC模塊電路單元如圖4所示.

其中Ra=44.310 6 MΩ，Rb=1.307 8 MΩ，Rc=0.085 4 MΩ，Rd=0.005 9 MΩ，Ca=1.709 7 μF，Cb=2.215 7 μF，Cc=1.298 μF，Cd=0.724 5 μF.

圖3 系統的基本動力學分析

圖4 分數階算子的等效電路模塊

Fig.4 Equivalent circuit module of the fractional order operator

采用線性電阻、電容、LM2924N型運算放大器、MULTIPLIER模擬乘法器，其中乘法器的輸出增益為1，從而設計出了系統的模擬電子電路，如圖5所示.運算放大器U1A相當于加法器，其輸出端電壓為vU1A=-(R3/R2)x-(R3/R1)yz，U2A相當于積分器，利用分數階算子單元模塊，得到

D0.83x=vU1A=-(R3/R2)x-(R3/R1)yz,

(8)

同理

D0.83x=vU4A=(R9/R7)xz+(R9/R8)y,

(9)

D0.83x=vU6A=-(R14/R13)z-(R14/R12)xy+
(R14/R11)y2.

(10)

根據式(2)中的系數，a=2，b=1，c=-0.78，令R1=100 Ω，R2=500 Ω，R3=R7=R8=R9=1 kΩ，R5=R6=R16=R17=10 kΩ，R4=R10=R15=100 kΩ，R11=R14=1.56 kΩ，R12=195 Ω，R13=2 kΩ，Ra1=Ra2=Ra3=44.310 6 MΩ，Rb1=Rb2=Rb3=1.307 8 MΩ，Rc1=Rc2=Rc3=0.085 4 MΩ，Rd1=Rd2=Rd3=0.005 9 MΩ，Ca1=Ca2=Ca3=1.709 7 μF，Cb1=Cb2=Cb3=2.215 7 μF，Cc1=Cc2=Cc3=1.298 μF，Cd1=Cd2=Cd3=0.724 5 μF.

圖5 系統的電路原理

圖6為示波器上觀察到的結果，可以看出實驗結果與數值仿真結果完全相符，進一步驗證了系統的混沌行為.

圖6 電路實驗結果

3 系統的自適應同步

采用自適應控制方法[21-23]實現分數階混沌系統的同步.令驅動系統為

(11)

其中x1，x2，x3為系統變量.響應系統為

(12)

其中y1，y2，y3是狀態變量，u1，u2，u3是自適應控制器.

令驅動系統(11)和響應系統(12)的同步誤差為ei=yi-xi(i=1,2,3)，則同步誤差系統為

(13)

參數估計誤差定義為

(14)

對參數估計誤差(14)求q階導，得

(15)

設計系統的自適應控制器為

(16)

式中k1,k2,k3為正的增益常數.

定義參數更新定律為

(17)

式中λ1,λ2,λ3為正的增益常數.

對于分數階混沌系統，由參考文獻[24]給出的分數階Lyapunov穩定性理論，得出引理1.

引理1對于分數階系統DqX(t)=f(X)，其中X=(x1,x2,…,xn)T為系統狀態變量.當系統階數q∈(0,1)時，如果存在實對稱正定矩陣P，使對任意狀態變量矩陣X，恒有J=XPDqX≤0成立，則分數階系統漸近穩定.

定理1在自適應控制器(16)和參數更新定律(17)的作用下，同步誤差系統(13)漸近穩定.

證明構造J函數如下:

J=ePDqe=[e,ea,eb,ec]P[Dqe,Dqea,Dqeb,Dqec]T

其中，e為同步誤差，ea,eb,ec為參數估計誤差，P為實對稱正定矩陣，選擇正定矩陣P=diag(1,1,1,1/λ1,1/λ2,1/λ3)，λ1,λ2,λ3為特征值.

將同步誤差系統(13)、參數估計誤差(14)、自適應控制器(16)和參數更新定律(17)代入上式，簡化可得

J=[e,ea,eb,ec]P[Dqe,Dqea,Dqeb,Dqec]T=

e1Dqe1+e2Dqe2+e3Dqe3+(1/λ1)eaDqea+

(1/λ2)ebDqeb+(1/λ3)ecDqec=

(1/λ1)eaDqea+(1/λ2)ebDqeb+(1/λ3)ecDqec=

(1/λ1)eaDqea+(1/λ2)ebDqeb+(1/λ3)ecDqec=

顯然，J≤0，據引理1誤差系統漸近穩定.

證畢.

圖7 同步誤差和未知參數收斂曲線

Fig.7 Convergence curves of synchronization errors and unknown parameters

4 結 論

本文設計了一個新型三維分數階混沌系統，分析了此系統的動力學特性，系統具有復雜的動態行為，能夠出現雙翼、三翼、四翼等不同類型多翼混沌吸引子共存.對系統進行了Multisim模擬電路設計與仿真，仿真結果與數值分析相符，進一步驗證了系統的混沌行為.基于分數階Lyapunov穩定理論及定理1，設計了一個自適應同步控制器，仿真結果表明了所設計控制器的有效性.