一種快速收斂的固定時間非奇異終端滑?？刂品椒?/h1>
2020-03-01 06:43蔡遠利鄧逸凡
中國慣性技術學報 2020年5期
田 野，蔡遠利，鄧逸凡
（西安交通大學 電信學部 自動化科學與工程學院，西安 710049）
滑?？刂疲⊿liding Mode Control）是一種非線性控制方法，它通過使用非連續的控制信號來調節系統的動態性能，驅使系統狀態量在指定的滑模面上運動。其系統響應分為趨近模態[1]和滑動模態，通過合理設計可以使系統具有良好的穩定性和動態性能。與其他非線性控制方法相比，滑?？刂品椒ㄒ蚱湫问胶唵?、對系統參數變化的低敏感性以及對外部干擾的強魯棒性被廣泛研究并應用于眾多非線性系統的控制問題中，包括飛行器控制[2]、制導律設計[3]、容錯控制[4]和電力系統等。
傳統線性滑?？刂品椒ɑ诰€性超平面構造滑模面，在滿足李雅普諾夫穩定理論的條件下控制系統趨于平衡，但這種方式只能保證系統的全局漸近穩定。為了使系統狀態能夠在有限時間快速收斂，基于有限時間穩定概念提出了終端滑?？刂疲═erminal Sliding Mode Control）方法，在滑模面運動階段通過采用非線性超平面來實現快速有限時間收斂。然而，由于標準終端滑模中含有負指數冪次項，在某些系統狀態下會出現奇異問題。Yang[5]構建了非奇異快速終端滑模，使得系統狀態在全論域內都為有限時間收斂。各終端滑模方法均為有限時間控制下的方法，并未給出收斂時間的明確估計。有限時間穩定理論的關鍵問題之一是對收斂時間的估計，它一般為系統初始條件的函數，不同的初始狀態值會得到不同的收斂時間。由于實際系統的初始條件可能難以預先精確獲得，從而在某些情況下收斂時間無法準確估算，限制了其應用。
在有限時間穩定的基礎上，Polyakov[6]進一步提出了固定時間收斂的概念。與有限時間收斂相比，固定時間收斂理論可以在系統收斂時得到一個不依賴于系統初始條件的收斂時間上界。同時，研究了滑?？刂葡到y固定時間穩定性分析的數學方法，提出了用于穩定性分析和收斂時間估計的廣義Lyapunov 定理。Polyakov[7]討論了含有非線性不確定性的多輸入多輸出系統的有限時間和固定時間穩定的控制器設計問題。Zuo[8]針對一類二階非線性系統提出了一種固定時間收斂的終端滑?？刂品椒?，并應用于多智能體系統的協同控制中[9]，但是該方法在系統狀態某些區域存在奇異性問題。Li[10]基于文獻[7-9]設計了具有快速固定時間收斂特性的非奇異終端滑模。然而，Zuo[8]設計的固定時間系統及終端滑模收斂時間并不是最優的，且所設計的滑模面結構較復雜，不利于實際應用。Ni[11]提出了一種固定時間非奇異終端滑模方法，通過引入飽和函數來避免奇異問題，但所設計的方法未考慮外部干擾對控制性能的影響。
基于以上討論，針對已有方法存在的不足，本文結合固定時間穩定理論和終端滑?？刂评碚?，設計了一種新型的固定時間非奇異終端滑?？刂品椒?。主要創新點在于:1)對一類含匹配擾動的二階非線性系統，基于固定時間穩定理論提出了一種新型的固定時間收斂系統，其收斂速度快于已有文獻[6,8-11]中的固定時間收斂系統，收斂時間的對比驗證了所提出結論的正確性。2)基于提出的固定時間收斂系統，構造了一種新型的快速收斂固定時間非奇異終端滑模。所提出的方法避免了奇異現象，具有與初始狀態無關收斂時間上界，可由設計參數預先設定。與已有的幾種典型固定時間滑?？刂品椒ㄏ啾?，所設計的方法收斂速度更快，削弱了之前固定時間滑模存在的抖振，所需控制能量更小且控制曲線平滑，適于實際應用。最后將該方法應用于單級倒立擺和制導系統中進行了仿真分析，驗證了所提出方法的有效性和優越性。
1 問題描述
考慮如下非線性系統：
其中x∈Rn為系統狀態量，F（t,x）:R+×D→Rn為連續非線性函數，D為包含原點的開區域。系統(1)的解定義在Filippov 意義下，給定初始時間t0和初始狀態x0。
定義1[11]對于系統(1)，若1)原點為漸近穩定平衡點，且存在原點的開鄰域N?D；2)對所有x（0） ∈N ｛ 0｝，存在正定函數T（x0）:N→R，則原點是有限時間收斂平衡點。同時，原點的有限時間穩定意味著原點的漸進穩定性。當N=D=Rn時，原點為全局有限時間穩定的。
定義1 中的收斂時間T為系統初始狀態x0的函數，因此有限時間收斂依賴于系統的初始狀態。在此基礎上，Polyakov[6]提出了固定時間穩定的概念，相對于有限時間穩定系統，固定時間穩定系統可以保證系統的收斂時間與系統初始條件無關。
定義2[6]若系統(1)全局有限時間穩定，且收斂時間函數T（x0）存在實數上界Tmax＞0，即對任意?x0∈Rn，有T（x0）≤Tmax，則原點為固定時間收斂平衡點。
考慮一類具有匹配擾動的二階非線性系統
式中x=[x1,x2]T∈R2為系統狀態，f和b≠ 0為已知非線性光滑函數，u∈R為控制輸入，d為外部擾動。
假設1假設外部擾動d有界，對于x∈R2及t≥0，存在常數D＞0，滿足
論文的目標是設計固定時間終端滑?？刂坡?，使系統狀態x跟蹤參考模態，從而實現對輸入信號的期望響應。
2 固定時間非奇異終端滑?？刂?/h2>2.1 新型固定時間收斂系統
引理1[7]考慮一類非線性系統
控制系統收斂時間上界可通過選擇不同的參數l1、l2、m1、m2來確定而無需依賴系統初始狀態。
文獻[7-9]基于系統(4)設計了固定時間滑模面及控制律并取得了良好的控制效果，但是該系統的收斂速度仍可有改進之處?；谝陨嫌懻?，我們構造了一種新型的固定時間收斂系統，其收斂時間小于系統(4)的收斂時間Tf。
定理1對于一類非線性系統
證明：式(6)可寫為
當＞1時，令y=1+ln；當≤1時，令y=。則式(8)可化為
因此，可通過求解式(9)得到系統的收斂時間上界。
即
注1與引理1 給出的收斂時間Tf相比，由于及因此系統(6)的收斂速率快于系統(4)的收斂速率。在實際二階非線性系統中，z和z˙可代表角度和角速度等被控參數。系統(6)中使用了變指數冪次項 signk1z和 signk2z代替了(4)中的常值冪次項，＞1時，signk1z項轉換為signm1z形式，由于m1＞1，該項對系統收斂速度影響較大，使系統狀態以較快速度趨向平衡點；≤1時，signk2z項轉換為 signm2z形式，由于 1/ 2＜m＜1，該
2項起主導作用，保證了此區域內收斂的快速性。由上可知，相對于常值冪次項，變指數冪次項可在不同階段下進行自適應的調節，使系統具有全局快速固定時間收斂特性。
2.2 固定時間非奇異終端滑模設計
針對非線性系統(3)，文獻[5]提出的傳統快速終端滑模如下:
其中α＞0，β＞0，γ1＞1，0＜γ2＜1。
由文獻[5]可知終端滑模(13)具有快速有限時間收斂特性。進一步地，應用引理1 可得該終端滑模具有固定收斂時間上界
其中
然而，通過對該滑模面及控制律分析可知，式(14)中含有負冪次項，當x1=0，x2≠ 0時，會導致奇異現象。
為避免奇異并獲得較快的收斂速度，基于系統(13)的設計思想，結合設計的固定時間收斂系統(6)，構造了一種新型的快速收斂固定時間非奇異終端滑模
其中，
對s求導可得
選擇滑模趨近律
其中
控制律設計為
經分析可知，滑模面(16)及導數本質上連續。1)≥η時，滑模面轉化為與式(13)相似的結構，具有類似的收斂特性。系統狀態距平衡點較遠時，α1s ignk1x1起主導作用，保證了快速收斂；當系統狀態接近原點時，β1signk2x1起主導作用，系統在固定時間內穩定。系統在整個動態過程中保持了較快的收斂速度。2)在原點一個很小的鄰域＜η內，轉化為二次函數形式的一般滑?；Ｃ婕皩?19)不含負指數冪次項，避免了奇異發生。
定理2對于非線性二階系統(3)，使用本文設計的固定時間非奇異終端滑模(16)，選擇控制律(21)，則系統狀態x1，x2可在固定時間內到達平衡點，收斂時間具有僅與設計參數相關的上界
其中
證明，選取Lyapunov 函數為
對式(23)求導，同時結合(3)和(19)可得
≥1時，
＜1時，
該固定時間滑模面滿足李雅普諾夫穩定性理論。結合定理1 可得，系統狀態可在固定時間t1內到達滑模面s=0。
由上分析可知，系統狀態可由任意位置到達滑模面s=0。隨后沿著滑模面運動至平衡點的一個極小鄰域內，理想的滑動模態滿足如下方程
考慮如下李雅普諾夫函數
當≥η時，由式(17)可得滑模面為
對式(29)求導，結合(30)可得
系統狀態在固定時間t2內收斂
由式(31)及(32)可得，狀態變量x1在固定時間內進入區間＜η，并滿足
可得系統(3)的收斂時間為T＜Tmax=T1+T2。
當＜η時，可得滑模面為
可得
類似地，可得系統狀態在時間T內收斂。
綜上，收斂時間為T＜Tmax=T1+T2。
注2系統收斂時間上界取決于所設計的滑模面參數α1、β1、m1、m2、α2、β2、n1、n2和η，而與系統初始狀態無關。在實際使用中，可根據對收斂快速性和穩態跟蹤精度的權衡來合理選擇設計參數。
注3控制律(21)中符號函數 sign（s）的存在可能會引起抖振，為削弱抖振現象，使用如下連續函數代替符號函數。
λ取值越大越接近切換函數，通過選擇合適的λ，可以有效削弱抖振并減小穩態誤差。
3 仿真及分析
為了驗證所設計固定時間非奇異終端滑模的可行性和優越性，進行如下三種仿真。
3.1 不同滑模參數的對比仿真
為分析不同參數選取對所設計固定時間滑模收斂特性的影響，我們在相同的初始條件x1（0）=1下分別選取四種不同的滑模參數進行仿真，并進行對比分析。
各參數分別為：
圖1給出了不同滑模參數下的收斂速度對比。從Case 1 和Case 2 的曲線可以看出，當α1,β1增大時，收斂時間變短。比較Case 1 和Case 4 的結果可知，隨著m2增大，收斂速度變慢。從Case 1 和Case 3 的曲線可以看出，不同m1取值下的收斂曲線基本無變化，所設計的滑?？刂品椒▽2變化的靈敏度遠大于m1?？赏ㄟ^增大α1,β1和減小m2提高收斂速度。
從改變參數的仿真結果對比可以得知，式(21)中的各可調參數，其選擇應該兼顧考慮收斂速度、誤差、狀態曲線平滑程度和能量消耗等因素，以達到較優的控制效果。其中，α1和β1增大可以提高系統收斂速度，但是取值遠大于1 時會導致跟蹤曲線的不平滑和誤差變大，使系統失穩，控制性能下降；同時，更快的收斂速度要求更大的控制能量。設計的滑?？刂品椒▽2變化的敏感度大于m1，取值應滿足m1＞1，1/ 2＜m2＜1。m1可在靠近1 的范圍取值，取值過大會導致系統失穩；m2應在取值范圍內盡可能的小，滿足快速性的要求，但不能過分靠近取值下限，否則會使系統狀態曲線波動過大。α2，β2，n1和n2為趨近階段滑模面參數，其取值原則類似于上述。在控制律中引入ρ（λ,s）函數代替符號函數 sign（s）用以削弱抖振，其中可調參數λ取值越大越接近切換函數，本例選擇λ=100得到較好的效果。η為切換函數參數，取一個極小的正數，本例選擇0.01。在滑模面設計中可綜合以上以得到較優的控制效果。
圖1 不同滑模參數下的收斂速度對比Fig.1 Convergence rate under different sliding surface parameters
3.2 不同固定時間滑模方法的對比仿真
倒立擺(SIP)是一種非線性、強耦合的系統，可通過倒立擺仿真，分析控制理論中系統穩定性、可控性、魯棒性、隨動跟蹤等關鍵問題。因此，基于倒立擺系統對幾種典型的固定時間滑?？刂品椒ㄟM行對比，以檢驗所設計方法的有效性和優越性。動態模型如下
基于設計的快速固定時間非奇異終端滑模，我們構造了固定時間控制律來解決SIP 的跟蹤控制問題。定義跟蹤誤差e1=x1-x1d，e2=x2-，可得
相應的快速固定時間非奇異終端滑模面為
SIP 固定時間控制律為
為了驗證所設計控制律的魯棒性，選擇有界外部擾動d（x1,x2）=sin（10x1）+cos（x2）。SIP 期望軌跡為x1d（t）=sin（0.5πt），初始狀態x1（0）=1，x2（0）=0.5。
使用3 種典型的固定時間滑?？刂坡蛇M行仿真對比，分別為1) Polyakov[6]，2) Zuo[8]，3) Ni[11]。
Polyakov[8]設計的固定時間滑?？刂坡蔀?/p>
使用的滑模面為
對于式(41)(42)，原文獻中已合理地選擇參數以達到良好的控制效果；為保證比較的公平性，在對比中直接使用原文的參數值，其收斂時間上界為8s。
Zuo[11]設計的固定時間滑?？刂坡蔀?/p>
使用的滑模面為
類似地，滑模參數使用原文獻中的仿真參數，其收斂時間上界為6.142 s。
Ni[11]設計的固定時間滑?？刂坡蔀?/p>
使用的滑模面為
同理，滑模參數使用原文獻中的仿真參數，其收斂時間上界為5.63 s。
所設計的滑模面(39)及控制律(40)的參數選擇為α1=β1=1，α2=β2=1，m1=9/ 5，m 2=5/ 9，n1=9 /5，n2=5 /9，η=0.01及λ=100。計算得其收斂時間上界為4.881 s。
圖2給出了4 種固定時間滑?？刂坡傻母櫿`差收斂時間對比，從圖2可以看出，各控制律在給定的時變擾動下均能保證良好的控制性能。同時，所設計的控制律(40)下的收斂時間最短，約1.49 s，控制律(40)下的瞬態響應也是最快的。因此，所設計的控制律較其余三種具有更優的響應速度和收斂速度。圖3為不同控制律下的相平面軌跡，可以看出本文所設計方法的控制效果最佳。圖4給出了控制輸入曲線。本文所提出方法下的控制輸入曲線光滑無抖振，且控制的最大振幅明顯小于其余方法，證明了其控制效果較其他三種更優。
圖2 不同固定時間控制律下跟蹤誤差收斂時間對比Fig.2 Tracking error of each fixed-time controller
圖3 不同固定時間控制律下的相平面曲線Fig.3 Phase portraits of each fixed-time controller
圖4 不同固定時間控制律下的控制輸入Fig.4 Control inputs of each fixed-time controller
為了更有效地比較不同控制輸入的控制效果和能量消耗，我們使用以下方法進行評估：控制的性能可以通過輸入u（t）的總變化量(total variation/TV)進行評估[13]，它可以體現控制輸入信號的平滑度，其表達式如下
此外，控制能耗可以通過所需控制輸入信號的2 范數(2-norm)進行計算。對于所設計的固定時間控制方法，為了獲得理想的控制性能，控制能量應盡可能小。
表1中列出了控制效果的對比，可以看出本文設計的控制律平滑度較好，具有相對較小的輸入變化波動，并以最小的控制能量實現了較優的控制性能。
從以上仿真結果和分析可以看出，所設計控制器可對含有匹配時變擾動的二階非線性系統進行有效的控制。與現有的典型固定時間滑?？刂品椒ㄏ啾?，具有更快的收斂速度和更佳的穩態品質，以較小的控制能量實現了良好的控制性能，并避免了奇異問題。所設計的控制律是連續的，沒有抖振現象，保證了快速收斂和相對較高的精度。
表1 控制效果對比Tab.1 Input performance comparison for the four controllers
3.3 固定時間收斂制導仿真
末制導階段是導彈制導過程的重要部分，為了達到理想的毀傷效果，要求導彈能夠在期望時間內以設定的碰撞角度擊中目標。
為了驗證所設計固定時間非奇異終端滑模面的有效性，針對導彈攔截機動目標問題，設計三維固定時間末制導律，該制導律能夠確保彈目視線角及角速率在固定時間內收斂，滿足碰撞角約束的要求。與傳統的有限時間收斂滑模制導律相比，該制導律收斂時間獨立于制導初始條件，可以根據制導要求預先給定。
三維空間攔截機動目標的相對運動關系見圖5。
圖5 導彈-目標三維相對運動學關系Fig.5 3D interceptor-target geometry
其中vm，vt和r分別表示攔截彈和目標的速度及彈目相對距離，飛行器速度方向由視線坐標系下的彈道傾角θm,θt與彈道偏角φm,φt定義。θL和φL為俯仰視線角和偏航視線角，aym，azm，ayt，azt分別為攔截彈和目標彈的側向加速度。
使用視線角(line of sight LOS)的二階動態方程來描述導彈-目標相對運動關系，其形式為
式中
基于式(16)設計固定時間終端滑模面
固定時間制導律設計為：
其中=δQs為自適應律，（0）＞0，（0）＞0，常值系數δ＞1，，Q=diag （sign （s1）,sign （s2））。
仿真初始條件如表2所示。選擇導彈初始偏航視線角φm（0）=5°，使用不同的導彈初始俯仰視線角θm（0）進行仿真對比，分別為5 °，15 °和30 °。導彈的過載上限為aym_max=azm_max=40g。假設初始時刻起目標做勻速直線運動，在從t=4s開始持續地轉彎機動，側向機動加速度為ayt=azt=30m/s2。
制導律(55)中的參數選擇為:m1=n1=9/7，m2=n2=7/9，α1=β1=0.8，α2=200，β2=800，η=0.01，δ1=δ2=100。由設計參數計算得收斂時間上界為T=7.553s。
表2 仿真初始條件Tab.2 Initial parameters for the simulation
圖6(a)-(c)給出在不同初始條件下攔截仿真參數曲線圖。從圖6(a)可以看出，導彈在不同的初始俯仰視線角下均成功攔截了目標。圖6(b)(c)表明雖然仿真初始角度不同，但各視線角及視線角速率均在所設定的時間上界內收斂至零。圖6(d)表明滑模面在不同的初始俯仰視線角下都能夠在固定時間上界內快速收斂到0。圖中所示的各曲線較平滑，收斂速度快，具有較好的控制性能，驗證了所設計固定時間非奇異終端滑模面的正確性及有效性。
圖6 不同初始俯仰視線角下的攔截仿真Fig.6 Interception with different initial elevation angles under
4 結 論
針對一類具有匹配不確定性的二階非線性系統，設計了一種新型快速收斂的固定時間非奇異終端滑模方法。首先，提出了一類新型固定時間收斂系統，基于該系統構造了快速固定時間非奇異終端滑模，并給出了收斂時間上界。與傳統有限時間收斂終端滑模不同，本文所設計的終端滑模收斂時間與系統初始狀態無關，可以通過設計參數進行預先估算。將所設計方法用于兩個典型的非線性控制問題，驗證了所設計方法的有效性和優越性。本文建立的固定時間滑?？刂品椒ㄊ諗克俣容^快，能量消耗低，且無抖振現象，具有良好的控制品質，方便了實際應用。將結果擴展到高階非線性系統，是下一步值得研究的工作。
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滑?？刂疲⊿liding Mode Control）是一種非線性控制方法，它通過使用非連續的控制信號來調節系統的動態性能，驅使系統狀態量在指定的滑模面上運動。其系統響應分為趨近模態[1]和滑動模態，通過合理設計可以使系統具有良好的穩定性和動態性能。與其他非線性控制方法相比，滑?？刂品椒ㄒ蚱湫问胶唵?、對系統參數變化的低敏感性以及對外部干擾的強魯棒性被廣泛研究并應用于眾多非線性系統的控制問題中，包括飛行器控制[2]、制導律設計[3]、容錯控制[4]和電力系統等。
傳統線性滑?？刂品椒ɑ诰€性超平面構造滑模面，在滿足李雅普諾夫穩定理論的條件下控制系統趨于平衡，但這種方式只能保證系統的全局漸近穩定。為了使系統狀態能夠在有限時間快速收斂，基于有限時間穩定概念提出了終端滑?？刂疲═erminal Sliding Mode Control）方法，在滑模面運動階段通過采用非線性超平面來實現快速有限時間收斂。然而，由于標準終端滑模中含有負指數冪次項，在某些系統狀態下會出現奇異問題。Yang[5]構建了非奇異快速終端滑模，使得系統狀態在全論域內都為有限時間收斂。各終端滑模方法均為有限時間控制下的方法，并未給出收斂時間的明確估計。有限時間穩定理論的關鍵問題之一是對收斂時間的估計，它一般為系統初始條件的函數，不同的初始狀態值會得到不同的收斂時間。由于實際系統的初始條件可能難以預先精確獲得，從而在某些情況下收斂時間無法準確估算，限制了其應用。
在有限時間穩定的基礎上，Polyakov[6]進一步提出了固定時間收斂的概念。與有限時間收斂相比，固定時間收斂理論可以在系統收斂時得到一個不依賴于系統初始條件的收斂時間上界。同時，研究了滑?？刂葡到y固定時間穩定性分析的數學方法，提出了用于穩定性分析和收斂時間估計的廣義Lyapunov 定理。Polyakov[7]討論了含有非線性不確定性的多輸入多輸出系統的有限時間和固定時間穩定的控制器設計問題。Zuo[8]針對一類二階非線性系統提出了一種固定時間收斂的終端滑?？刂品椒?，并應用于多智能體系統的協同控制中[9]，但是該方法在系統狀態某些區域存在奇異性問題。Li[10]基于文獻[7-9]設計了具有快速固定時間收斂特性的非奇異終端滑模。然而，Zuo[8]設計的固定時間系統及終端滑模收斂時間并不是最優的，且所設計的滑模面結構較復雜，不利于實際應用。Ni[11]提出了一種固定時間非奇異終端滑模方法，通過引入飽和函數來避免奇異問題，但所設計的方法未考慮外部干擾對控制性能的影響。
基于以上討論，針對已有方法存在的不足，本文結合固定時間穩定理論和終端滑?？刂评碚?，設計了一種新型的固定時間非奇異終端滑?？刂品椒?。主要創新點在于:1)對一類含匹配擾動的二階非線性系統，基于固定時間穩定理論提出了一種新型的固定時間收斂系統，其收斂速度快于已有文獻[6,8-11]中的固定時間收斂系統，收斂時間的對比驗證了所提出結論的正確性。2)基于提出的固定時間收斂系統，構造了一種新型的快速收斂固定時間非奇異終端滑模。所提出的方法避免了奇異現象，具有與初始狀態無關收斂時間上界，可由設計參數預先設定。與已有的幾種典型固定時間滑?？刂品椒ㄏ啾?，所設計的方法收斂速度更快，削弱了之前固定時間滑模存在的抖振，所需控制能量更小且控制曲線平滑，適于實際應用。最后將該方法應用于單級倒立擺和制導系統中進行了仿真分析，驗證了所提出方法的有效性和優越性。
1 問題描述
考慮如下非線性系統：
其中x∈Rn為系統狀態量，F（t,x）:R+×D→Rn為連續非線性函數，D為包含原點的開區域。系統(1)的解定義在Filippov 意義下，給定初始時間t0和初始狀態x0。
定義1[11]對于系統(1)，若1)原點為漸近穩定平衡點，且存在原點的開鄰域N?D；2)對所有x（0） ∈N ｛ 0｝，存在正定函數T（x0）:N→R，則原點是有限時間收斂平衡點。同時，原點的有限時間穩定意味著原點的漸進穩定性。當N=D=Rn時，原點為全局有限時間穩定的。
定義1 中的收斂時間T為系統初始狀態x0的函數，因此有限時間收斂依賴于系統的初始狀態。在此基礎上，Polyakov[6]提出了固定時間穩定的概念，相對于有限時間穩定系統，固定時間穩定系統可以保證系統的收斂時間與系統初始條件無關。
定義2[6]若系統(1)全局有限時間穩定，且收斂時間函數T（x0）存在實數上界Tmax＞0，即對任意?x0∈Rn，有T（x0）≤Tmax，則原點為固定時間收斂平衡點。
考慮一類具有匹配擾動的二階非線性系統
式中x=[x1,x2]T∈R2為系統狀態，f和b≠ 0為已知非線性光滑函數，u∈R為控制輸入，d為外部擾動。
假設1假設外部擾動d有界，對于x∈R2及t≥0，存在常數D＞0，滿足
論文的目標是設計固定時間終端滑?？刂坡?，使系統狀態x跟蹤參考模態，從而實現對輸入信號的期望響應。
2 固定時間非奇異終端滑?？刂?/h2>2.1 新型固定時間收斂系統
引理1[7]考慮一類非線性系統
控制系統收斂時間上界可通過選擇不同的參數l1、l2、m1、m2來確定而無需依賴系統初始狀態。
文獻[7-9]基于系統(4)設計了固定時間滑模面及控制律并取得了良好的控制效果，但是該系統的收斂速度仍可有改進之處?；谝陨嫌懻?，我們構造了一種新型的固定時間收斂系統，其收斂時間小于系統(4)的收斂時間Tf。
定理1對于一類非線性系統
證明：式(6)可寫為
當＞1時，令y=1+ln；當≤1時，令y=。則式(8)可化為
因此，可通過求解式(9)得到系統的收斂時間上界。
即
注1與引理1 給出的收斂時間Tf相比，由于及因此系統(6)的收斂速率快于系統(4)的收斂速率。在實際二階非線性系統中，z和z˙可代表角度和角速度等被控參數。系統(6)中使用了變指數冪次項 signk1z和 signk2z代替了(4)中的常值冪次項，＞1時，signk1z項轉換為signm1z形式，由于m1＞1，該項對系統收斂速度影響較大，使系統狀態以較快速度趨向平衡點；≤1時，signk2z項轉換為 signm2z形式，由于 1/ 2＜m＜1，該
2項起主導作用，保證了此區域內收斂的快速性。由上可知，相對于常值冪次項，變指數冪次項可在不同階段下進行自適應的調節，使系統具有全局快速固定時間收斂特性。
2.2 固定時間非奇異終端滑模設計
針對非線性系統(3)，文獻[5]提出的傳統快速終端滑模如下:
其中α＞0，β＞0，γ1＞1，0＜γ2＜1。
由文獻[5]可知終端滑模(13)具有快速有限時間收斂特性。進一步地，應用引理1 可得該終端滑模具有固定收斂時間上界
其中
然而，通過對該滑模面及控制律分析可知，式(14)中含有負冪次項，當x1=0，x2≠ 0時，會導致奇異現象。
為避免奇異并獲得較快的收斂速度，基于系統(13)的設計思想，結合設計的固定時間收斂系統(6)，構造了一種新型的快速收斂固定時間非奇異終端滑模
其中，
對s求導可得
選擇滑模趨近律
其中
控制律設計為
經分析可知，滑模面(16)及導數本質上連續。1)≥η時，滑模面轉化為與式(13)相似的結構，具有類似的收斂特性。系統狀態距平衡點較遠時，α1s ignk1x1起主導作用，保證了快速收斂；當系統狀態接近原點時，β1signk2x1起主導作用，系統在固定時間內穩定。系統在整個動態過程中保持了較快的收斂速度。2)在原點一個很小的鄰域＜η內，轉化為二次函數形式的一般滑?；Ｃ婕皩?19)不含負指數冪次項，避免了奇異發生。
定理2對于非線性二階系統(3)，使用本文設計的固定時間非奇異終端滑模(16)，選擇控制律(21)，則系統狀態x1，x2可在固定時間內到達平衡點，收斂時間具有僅與設計參數相關的上界
其中
證明，選取Lyapunov 函數為
對式(23)求導，同時結合(3)和(19)可得
≥1時，
＜1時，
該固定時間滑模面滿足李雅普諾夫穩定性理論。結合定理1 可得，系統狀態可在固定時間t1內到達滑模面s=0。
由上分析可知，系統狀態可由任意位置到達滑模面s=0。隨后沿著滑模面運動至平衡點的一個極小鄰域內，理想的滑動模態滿足如下方程
考慮如下李雅普諾夫函數
當≥η時，由式(17)可得滑模面為
對式(29)求導，結合(30)可得
系統狀態在固定時間t2內收斂
由式(31)及(32)可得，狀態變量x1在固定時間內進入區間＜η，并滿足
可得系統(3)的收斂時間為T＜Tmax=T1+T2。
當＜η時，可得滑模面為
可得
類似地，可得系統狀態在時間T內收斂。
綜上，收斂時間為T＜Tmax=T1+T2。
注2系統收斂時間上界取決于所設計的滑模面參數α1、β1、m1、m2、α2、β2、n1、n2和η，而與系統初始狀態無關。在實際使用中，可根據對收斂快速性和穩態跟蹤精度的權衡來合理選擇設計參數。
注3控制律(21)中符號函數 sign（s）的存在可能會引起抖振，為削弱抖振現象，使用如下連續函數代替符號函數。
λ取值越大越接近切換函數，通過選擇合適的λ，可以有效削弱抖振并減小穩態誤差。
3 仿真及分析
為了驗證所設計固定時間非奇異終端滑模的可行性和優越性，進行如下三種仿真。
3.1 不同滑模參數的對比仿真
為分析不同參數選取對所設計固定時間滑模收斂特性的影響，我們在相同的初始條件x1（0）=1下分別選取四種不同的滑模參數進行仿真，并進行對比分析。
各參數分別為：
圖1給出了不同滑模參數下的收斂速度對比。從Case 1 和Case 2 的曲線可以看出，當α1,β1增大時，收斂時間變短。比較Case 1 和Case 4 的結果可知，隨著m2增大，收斂速度變慢。從Case 1 和Case 3 的曲線可以看出，不同m1取值下的收斂曲線基本無變化，所設計的滑?？刂品椒▽2變化的靈敏度遠大于m1?？赏ㄟ^增大α1,β1和減小m2提高收斂速度。
從改變參數的仿真結果對比可以得知，式(21)中的各可調參數，其選擇應該兼顧考慮收斂速度、誤差、狀態曲線平滑程度和能量消耗等因素，以達到較優的控制效果。其中，α1和β1增大可以提高系統收斂速度，但是取值遠大于1 時會導致跟蹤曲線的不平滑和誤差變大，使系統失穩，控制性能下降；同時，更快的收斂速度要求更大的控制能量。設計的滑?？刂品椒▽2變化的敏感度大于m1，取值應滿足m1＞1，1/ 2＜m2＜1。m1可在靠近1 的范圍取值，取值過大會導致系統失穩；m2應在取值范圍內盡可能的小，滿足快速性的要求，但不能過分靠近取值下限，否則會使系統狀態曲線波動過大。α2，β2，n1和n2為趨近階段滑模面參數，其取值原則類似于上述。在控制律中引入ρ（λ,s）函數代替符號函數 sign（s）用以削弱抖振，其中可調參數λ取值越大越接近切換函數，本例選擇λ=100得到較好的效果。η為切換函數參數，取一個極小的正數，本例選擇0.01。在滑模面設計中可綜合以上以得到較優的控制效果。
圖1 不同滑模參數下的收斂速度對比Fig.1 Convergence rate under different sliding surface parameters
3.2 不同固定時間滑模方法的對比仿真
倒立擺(SIP)是一種非線性、強耦合的系統，可通過倒立擺仿真，分析控制理論中系統穩定性、可控性、魯棒性、隨動跟蹤等關鍵問題。因此，基于倒立擺系統對幾種典型的固定時間滑?？刂品椒ㄟM行對比，以檢驗所設計方法的有效性和優越性。動態模型如下
基于設計的快速固定時間非奇異終端滑模，我們構造了固定時間控制律來解決SIP 的跟蹤控制問題。定義跟蹤誤差e1=x1-x1d，e2=x2-，可得
相應的快速固定時間非奇異終端滑模面為
SIP 固定時間控制律為
為了驗證所設計控制律的魯棒性，選擇有界外部擾動d（x1,x2）=sin（10x1）+cos（x2）。SIP 期望軌跡為x1d（t）=sin（0.5πt），初始狀態x1（0）=1，x2（0）=0.5。
使用3 種典型的固定時間滑?？刂坡蛇M行仿真對比，分別為1) Polyakov[6]，2) Zuo[8]，3) Ni[11]。
Polyakov[8]設計的固定時間滑?？刂坡蔀?/p>
使用的滑模面為
對于式(41)(42)，原文獻中已合理地選擇參數以達到良好的控制效果；為保證比較的公平性，在對比中直接使用原文的參數值，其收斂時間上界為8s。
Zuo[11]設計的固定時間滑?？刂坡蔀?/p>
使用的滑模面為
類似地，滑模參數使用原文獻中的仿真參數，其收斂時間上界為6.142 s。
Ni[11]設計的固定時間滑?？刂坡蔀?/p>
使用的滑模面為
同理，滑模參數使用原文獻中的仿真參數，其收斂時間上界為5.63 s。
所設計的滑模面(39)及控制律(40)的參數選擇為α1=β1=1，α2=β2=1，m1=9/ 5，m 2=5/ 9，n1=9 /5，n2=5 /9，η=0.01及λ=100。計算得其收斂時間上界為4.881 s。
圖2給出了4 種固定時間滑?？刂坡傻母櫿`差收斂時間對比，從圖2可以看出，各控制律在給定的時變擾動下均能保證良好的控制性能。同時，所設計的控制律(40)下的收斂時間最短，約1.49 s，控制律(40)下的瞬態響應也是最快的。因此，所設計的控制律較其余三種具有更優的響應速度和收斂速度。圖3為不同控制律下的相平面軌跡，可以看出本文所設計方法的控制效果最佳。圖4給出了控制輸入曲線。本文所提出方法下的控制輸入曲線光滑無抖振，且控制的最大振幅明顯小于其余方法，證明了其控制效果較其他三種更優。
圖2 不同固定時間控制律下跟蹤誤差收斂時間對比Fig.2 Tracking error of each fixed-time controller
圖3 不同固定時間控制律下的相平面曲線Fig.3 Phase portraits of each fixed-time controller
圖4 不同固定時間控制律下的控制輸入Fig.4 Control inputs of each fixed-time controller
為了更有效地比較不同控制輸入的控制效果和能量消耗，我們使用以下方法進行評估：控制的性能可以通過輸入u（t）的總變化量(total variation/TV)進行評估[13]，它可以體現控制輸入信號的平滑度，其表達式如下
此外，控制能耗可以通過所需控制輸入信號的2 范數(2-norm)進行計算。對于所設計的固定時間控制方法，為了獲得理想的控制性能，控制能量應盡可能小。
表1中列出了控制效果的對比，可以看出本文設計的控制律平滑度較好，具有相對較小的輸入變化波動，并以最小的控制能量實現了較優的控制性能。
從以上仿真結果和分析可以看出，所設計控制器可對含有匹配時變擾動的二階非線性系統進行有效的控制。與現有的典型固定時間滑?？刂品椒ㄏ啾?，具有更快的收斂速度和更佳的穩態品質，以較小的控制能量實現了良好的控制性能，并避免了奇異問題。所設計的控制律是連續的，沒有抖振現象，保證了快速收斂和相對較高的精度。
表1 控制效果對比Tab.1 Input performance comparison for the four controllers
3.3 固定時間收斂制導仿真
末制導階段是導彈制導過程的重要部分，為了達到理想的毀傷效果，要求導彈能夠在期望時間內以設定的碰撞角度擊中目標。
為了驗證所設計固定時間非奇異終端滑模面的有效性，針對導彈攔截機動目標問題，設計三維固定時間末制導律，該制導律能夠確保彈目視線角及角速率在固定時間內收斂，滿足碰撞角約束的要求。與傳統的有限時間收斂滑模制導律相比，該制導律收斂時間獨立于制導初始條件，可以根據制導要求預先給定。
三維空間攔截機動目標的相對運動關系見圖5。
圖5 導彈-目標三維相對運動學關系Fig.5 3D interceptor-target geometry
其中vm，vt和r分別表示攔截彈和目標的速度及彈目相對距離，飛行器速度方向由視線坐標系下的彈道傾角θm,θt與彈道偏角φm,φt定義。θL和φL為俯仰視線角和偏航視線角，aym，azm，ayt，azt分別為攔截彈和目標彈的側向加速度。
使用視線角(line of sight LOS)的二階動態方程來描述導彈-目標相對運動關系，其形式為
式中
基于式(16)設計固定時間終端滑模面
固定時間制導律設計為：
其中=δQs為自適應律，（0）＞0，（0）＞0，常值系數δ＞1，，Q=diag （sign （s1）,sign （s2））。
仿真初始條件如表2所示。選擇導彈初始偏航視線角φm（0）=5°，使用不同的導彈初始俯仰視線角θm（0）進行仿真對比，分別為5 °，15 °和30 °。導彈的過載上限為aym_max=azm_max=40g。假設初始時刻起目標做勻速直線運動，在從t=4s開始持續地轉彎機動，側向機動加速度為ayt=azt=30m/s2。
制導律(55)中的參數選擇為:m1=n1=9/7，m2=n2=7/9，α1=β1=0.8，α2=200，β2=800，η=0.01，δ1=δ2=100。由設計參數計算得收斂時間上界為T=7.553s。
表2 仿真初始條件Tab.2 Initial parameters for the simulation
圖6(a)-(c)給出在不同初始條件下攔截仿真參數曲線圖。從圖6(a)可以看出，導彈在不同的初始俯仰視線角下均成功攔截了目標。圖6(b)(c)表明雖然仿真初始角度不同，但各視線角及視線角速率均在所設定的時間上界內收斂至零。圖6(d)表明滑模面在不同的初始俯仰視線角下都能夠在固定時間上界內快速收斂到0。圖中所示的各曲線較平滑，收斂速度快，具有較好的控制性能，驗證了所設計固定時間非奇異終端滑模面的正確性及有效性。
圖6 不同初始俯仰視線角下的攔截仿真Fig.6 Interception with different initial elevation angles under
4 結 論
針對一類具有匹配不確定性的二階非線性系統，設計了一種新型快速收斂的固定時間非奇異終端滑模方法。首先，提出了一類新型固定時間收斂系統，基于該系統構造了快速固定時間非奇異終端滑模，并給出了收斂時間上界。與傳統有限時間收斂終端滑模不同，本文所設計的終端滑模收斂時間與系統初始狀態無關，可以通過設計參數進行預先估算。將所設計方法用于兩個典型的非線性控制問題，驗證了所設計方法的有效性和優越性。本文建立的固定時間滑?？刂品椒ㄊ諗克俣容^快，能量消耗低，且無抖振現象，具有良好的控制品質，方便了實際應用。將結果擴展到高階非線性系統，是下一步值得研究的工作。
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