偏序集的內蘊拓撲連通性

徐羅山, 唐照勇

(1.揚州大學數學科學學院,江蘇揚州225002;2.揚州大學廣陵學院,江蘇揚州225127)

§1 引 言

按Bourbaki學派的觀點,序結構,拓撲結構和代數結構是數學中的三大母結構,這些結構相互交叉與滲透且可派生更多的數學結構[1-2].Domain理論[2],或更一般的連續偏序集理論主要研究偏序集,體現了序,代數與拓撲的相互滲透.其中一個基本而重要的的結果是:一個偏序集是連續的當且僅當它上面的Scott拓撲是完全分配格[3-4].這說明,一方面利用內蘊拓撲可研究偏序結構,另一方面利用偏序結構也可研究相關的拓撲結構[3-6].Domain理論受到了計算機科學和數學領域諸多學者的關注,且不斷地向信息科學,邏輯學,分析學及各種應用學科滲透.

偏序集的連通性直觀性很強,這一性質在文獻[7]和[8]中有所研究.這些研究純粹是從序的方面直接考量的,稱這種連通為序連通.本文則從序與拓撲的交叉考慮,進一步研究偏序集在多種內蘊拓撲下的連通性和局部連通性.結果表明,偏序集的序連通與它的Alexandrov拓撲連通,它的Scott拓撲連通均是等價的.本文還證明了每一偏序集賦予Alexandrov拓撲和賦予Scott拓撲均是局部連通的.構造了反例說明偏序集的下拓撲連通不能保證偏序集本身是序連通的.

§2 預備知識

下面給出預備知識,具體內容詳見文獻[2],[9]和[10].

設P為集合,則P上的自反,反對稱且傳遞的二元關系稱為P上的偏序關系,記作.設為P上一個偏序關系,則稱(P,)為一個偏序集,此時也簡稱P為偏序集.P的對偶偏序集(P,)記為Pop.

設P為偏序集.D為P的非空子集.若對任意a,b∈D,存在c∈D使ac且bc,則稱D為P的定向集.

設A?P,記↓A={y∈P|?x∈A,yx},↑A={y∈P|?x∈A,xy}.如果A=↑A,則稱A為上集;如果A=↓A,則稱A為下集.簡記↓{y}為↓y及↑{y}為↑y,并分別稱之為P中由y決定的主理想和P中由y決定的主濾子.元素z∈P稱為A的一個下界,若A?↑z.集A的全體下界之集記作lb(A).對偶地,稱z∈P為A的一個上界,若A?↓z.集A的全體上界之集記作ub(A).用supPA或A表示A在P中的最小上界(也稱上確界),簡記為A或sup A.對偶地,P用infPA或PA表示A在P中的最大下界(也稱下確界),簡記為A或inf A.若偏序集P中任意有限子集都有下確界(上確界),則稱P是交半格(并半格).若P中任意有限子集都有下確界和上確界,則稱P是格.

引理2.1設P是偏序集,U?P為非空上集,A?U.則supUA=supA.

證當supUA存在時,supUA為A在P中的上界.又若A在P中另有上界y∈P,則由U?P為上集知y∈U為A在U中的上界,從而supUA6y.這說明supUA是A在P中的最小上界,即supA=supUA.

類似地,當supA存在時也有supUA存在且supUA=supA.

定義2.1[2,9]設P為是偏序集,A?X.如果(1)A=↓A;(2)對任意定向集D?A,當上確界supD存在時便有supD∈A,則稱A為P的Scott閉集.P上的全體Scott閉集記為σ?(X).P上Scott閉集的補集稱為Scott開集,P上全體Scott開集形成的拓撲稱為P的Scott拓撲,記作σ(P).

易知U?P為Scott開集當且僅當:(1)U=↑U;(2)對P中任一定向集D,當supD存在且supD∈U時,有D∩U?.偏序集上的Scott拓撲均為T0拓撲.又若P是有限偏序集,則σ(P)={↑A|A?X}為P的全體上集構成.

引理2.2設P是連續偏序集,U?P為非空Scott開集.則U上的Scott拓撲與U繼承的P的Scott子空間拓撲相等,即σ(U)={U∩V|V∈σ(P)}.

證設V∈σ(P),W=U∩V,要證W∈σ(U).若W=?,則W∈σ(U).下面設W?.作為兩上集的交,W自然是上集.又對U的任一定向集D當supUD∈W=U∩V時,由引理2.1,supD=supUD∈W=U∩V,特別supD∈V∈σ(P).于是D∩V?,從而由D?U得D∩V=(D∩U)∩V=D∩W6?.這說明W∈σ(U),故σ(U)?{U∩V|V∈σ(P)}.

反過來,設W∈σ(U),要證W∈σ(P).首先(1)由U?P為上集且W?U又為U的上集知,W也為P的上集.又對P的任一定向集D,當supD∈W?U時,由U∈σ(P)得D∩U?,從而D∩U為U中定向集且有sup(D∩U)=supD∈W.由引理2.1,supU(D∩U)=sup(D∩U)∈W.由W∈σ(U)得(D∩U)∩W=D∩W?,故Scott開集條件(2)對W也成立.于是W∈σ(P),從而W=U∩W∈{U∩V|V∈σ(P)}.綜合得σ(U)={U∩V|V∈σ(P)}.

定義2.2[2,9]拓撲空間X上的特殊化序s定義為xsy當且僅當x∈{y}?,其中{y}?為獨點集{y}的閉包.當X為T0空間時,s是X上一個偏序,稱偏序集(X,s)為X的特殊化偏序集.

易知,在特殊化序下,拓撲空間X的開集一定是上集;閉集一定為下集;點x的主理想就是該點的閉包{x}?.

定義2.3[2,9]設P為偏序集.則P的全體上集形成P的一個拓撲,稱為P的Alexandrov拓撲,記作α(P).而P的全體下集形成的拓撲稱為對偶Alexandrov拓撲,記作α?(P).P的以集族{P?↑x|x∈P}(分別地,{P?↓x|x∈P})為子基生成的拓撲稱為P的下拓撲(分別地,上拓撲),記作ω(P)(分別地,ν(P)).

定義2.4[10]設X是拓撲空間.如果X中不存在兩個非空閉集A,B使A∪B=X且A∩B=?,則稱X是連通空間.如果X的子集A作為子空間是連通空間,則稱A是X的連通子集.

眾所周知,拓撲空間X是連通空間當且僅當X中不存在兩個非空開集A,B使得A∪B=X且A∩B=?.

§3 偏序集的序連通性

文獻[7-8]研究了偏序集的連通性,為了與后文的拓撲連通性區分,稱偏序集的這種連通性為序連通性.本節對序連通性做進一步探討.

定義3.1[8]設P是偏序集,a∈P.集合列稱為a的步集列.令,并稱為a在P中的序連通分支.

定義3.2[8]設P是偏序集,如果每一a∈P,a的序連通分支,則稱P是序連通的.不是序連通的偏序集稱為不連通偏序集.

命題3.1設P是偏序集,a,b∈P.則

(3)偏序集P是序連通的充要條件為其對偶偏序集Pop是序連通的;

(4)如果偏序集P有最小元,或有最大元,則P是序連通的;

(5)如果偏序集P是一個交半格,或并半格,則P是序連通的;特別任一全序集,任一格均是序連通的.

證(1)設.則存在i使得,這樣,從而得知是下集.對偶地可得也是上集.

(3)對任意a∈P,由定義3.1,在對偶偏序集Pop=(P,)中定義的與在(P,6)中定義的相等,故結論(3)成立.

(4)若a∈P為P的最小元,則,從而成立,故P是序連通的.如果P有最大元,則Pop有最小元從而是序連通的.由(3)知P是序連通的.

(5)以交半格為例證之.若偏序集P是一個交半格,則任意a,b∈P,存在由(2),知,即P只有一個序連通分支,故P是序連通的.

定理3.1設P是偏序集.則P不序連通當且僅當存在P的兩個非空子集A,B?P使得A∩B=?,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.

證=?:設P不序連通.任取a∈P,令則A,B均為P的真子集,A∩B=?,A∪B=P.由命題3.1(1),知A既是上集又是下集,作為A的補集,B也既是上集又是下集.

?=:設P有兩個非空子集A,B使得A∩B=?,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.任取a∈P,則a∈A或a∈B.不妨設a∈A.則,從而由a∈P的任意性得P不序連通.

§4 內蘊拓撲的連通性

本節考慮偏序集賦予諸如(對偶)Alexandrov拓撲,Scott拓撲,上拓撲,下拓撲等內蘊拓撲后所得拓撲空間的連通性.

定理4.1設P是偏序集.則下列各條件等價.

(1)P序連通;

(2)(P,α(P))連通;

(3)(P,α?(P))連通;

(4)(P,σ(P))連通.

證(1)?(2):用反證法.如(P,α(P))不是連通空間,則存在兩個非空開集A,B?P使得A∩B=?,A∪B=P.則A,B均是上集.此時,易證A,B也均是下集.于是由定理3.1得P不序連通,矛盾于(1).

(2)?(3):直接由拓撲空間連通性的一般刻畫定理推得.

(3)?(4):用反證法.如(P,σ(P))不是連通空間,則存在兩個非空Scott閉集A,B?P使得A∩B=?,A∪B=P.此時作為Scott閉集,A,B均是下集,矛盾于(3).

(4)?(1):用反證法.若P不序連通,由定理3.1得P中存在兩個非空子集A,B?P使得A∩B=?,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.此時,對A中任一定向集D,當supD存在時,由A是上集得supD∈A.又由A也是下集得A是Scott閉集.同理B是Scott閉集,這樣便得(P,σ(P))不連通,矛盾于(4).

集合X上拓撲τ粗于η是指τ?η,此時也稱η細于τ.細的拓撲連通則較粗的拓撲必連通.

命題4.1設P是偏序集,若(P,σ(P))連通,則空間(P,ν(P))和(P,ω(P))均連通,反之不成立.

證由定理4.1, 當(P,σ(P))連通時,(P,α(P))和(P,α?(P)均連通.由于α(P)和α?(P)分別細于ν(P)和ω(P),故(P,ν(P))和(P,ω(P))均連通也都連通.但反之不成立.取兩個平行放置的開線段H={0}×(0,1)∪{1}×(0,1)作成偏序集使得不同線段上的兩點不可比較,同一線段上的兩點按第二坐標決定大小.則顯然H不是序連通的,從而由定理4.1,(H,σ(H))不是連通空間.然而,注意到非空的ν(H)?開集均含有兩平行開線段的上部的一小段,從而兩非空開集均相交不空.于是(H,ν(H))是連通空間.同理,(H,ω(H))也是連通空間.

當P是有限偏序集時,由定理4.1及命題4.1立得:

推論4.1設P是有限偏序集.則下列各條等價.

(1)P序連通;

(2)(P,α(P))連通;

(3)(P,α?(P))連通;

(4)(P,σ(P))連通;

(5)(P,ν(P))連通,和(或)(P,ω(P))連通.

定理4.2設(X,τ)是拓撲空間,s是空間X上的特殊化序.若偏序集(X,s)是序連通的,則拓撲空間(X,τ)是連通的.

證用反證法.如(X,τ)不是連通空間,則存在兩個非空開集A,B?X使得A∩B=?,A∪B=X.此時作為開集,A和B均是特殊化偏序集(X,s)的上集.這樣關于偏序集(X,s),Alexandrov空間(X,α(X))便不連通.從而由定理4.1得(X,s)不序連通,矛盾.

需要注意的是,如果拓撲空間(X,τ)是連通的,一般得不到特殊化偏序集(X,s)序連通.例如實數空間是連通的,而其特殊化序是離散序,不是序連通的.

§5 內蘊拓撲的局部連通性

本節考慮偏序集賦予諸如(對偶)Alexandrov拓撲,Scott拓撲等內蘊拓撲后所得拓撲空間的局部連通性.

定義5.1[10]設(X,τ)是拓撲空間,x∈X,如果x的任一鄰域均含有x的一個連通鄰域,則稱拓撲空間(X,τ)在x處局部連通.如果(X,τ)在每點都局部連通,則稱(X,τ)是局部連通空間.

按這一定義,連通空間不必局部連通.值得注意的是,雖然細的拓撲連通能得到粗的拓撲一定連通,但細的拓撲(例如離散拓撲)局部連通卻推不到粗的拓撲也局部連通.

定理5.1任一偏序集P,空間(P,α(P))和(P,α?(P))是局部連通的.

證以空間(P,α(P))為例證之.對任一x∈P及任一含x的上集U,有↑x?U且↑x有最小元從而是序連通的.又由定理4.1,賦予Alexandrov拓撲↑x是連通的,從而(P,α(P))在X處是局部連通的.由x的任意性得空間(P,α(P))局部連通.

為研究偏序集賦予Scott拓撲的局部連通性,先回憶一下連通分支的概念和性質.

定義5.2[10]設(X,τ)是拓撲空間,x,y∈X,如果存在X的一個連通集A使x,y∈A,則稱點x,y在拓撲空間(X,τ)中是連通的.容易證明X中點的上述連通關系是X上的等價關系,這個等價關系的每個等價類稱為空間X的連通分支.

引理5.1[10]設(X,τ)是拓撲空間.則下列結論成立.

(1)空間X的連通分支是X的極大連通子集;

(2)空間X的每一連通分支都是X的閉集;

(3)空間X的不同連通分支不相交,且X的全體連通分支之并為X.

定理5.2任一偏序集P,空間(P,σ(P))是局部連通的.

證對任一x∈P及任一含x的Scott開集U,由引理2.2,(U,σ(U))是(P,σ(P))的開子空間.設子空間(U,σ(U))的連通分支全體為{Ci}i∈J.由引理5.1(3),存在i使得x∈Ci.再由引理5.1(1)得Ci?U是U的含x的連通子集,從而也是空間(P,σ(P))的連通子集.又任一y∈Ci及z∈P,當yz時,由U是上集得z∈U.這樣存在(U,σ(U))的連通分支Cj使z∈Cj.由引理5.1(2)得Cj為U的閉集,從而是U的下集,于是y∈Cj成立.再由不同連通分支不相交知z∈Ci∩Cj=Cj=Ci.這說明Ci為上集.又對P的任一定向集D,當supD存在且supD∈Ci?U時,由U是Scott開集,得D∩U?.取y∈D∩U,則ysupD∈Ci.由Ci為U的閉集從而是下集得y∈Ci?U.這說明Ci?U為P的含x的連通的Scott開集.于是(P,σ(P))在任一點x處局部連通,從而是局部連通空間.