畢達哥拉斯定理證明2500年的文化史趣談①
——以E.S.Loomis的《Pythagorean Proposition》為例

張冬莉 代 欽

(內蒙古師范大學科學技術史研究院 010022)

盧米斯(E.S.Loomis,1852—1940)，是美國俄亥俄州的數學老師，他用畢生精力來收集所有已知的畢達哥拉斯定理的證明方法，并整理出版了著作《Pythagorean Proposition》，其中收錄了367種證明方法.該書的初稿是在1907年完成.1927年初版，1940年第二版.1986年全美數學教師委員會重印了這本著作，這是數學教育領域中第一部“傳世之作”.后來盧米斯又收到許多新的證明，但他沒有補全匯編.至今為止，畢達哥拉斯定理的證明方法已經達到500多種.

盧米斯(E.S.Loomis,1852—1940)

1 前言

畢達哥拉斯定理是一個著名的定理，被譽為“幾何中的瑰寶”.在歷史上稱為“第47個命題”，這是源于歐幾里得的《幾何原本》的第47個命題.由于它在三角學、測量術、導航和天文學等領域的廣泛應用，使它成為平面幾何中最基本且最有趣的定理之一.在數學文獻中被各種各樣的命名，如它被稱為“木匠定理”；又由于它的證明靈活、困難而被稱為“傻瓜的橋梁”或者“愚人之橋”；在法國它被稱為“驢橋定理”；在中世紀，這個定理也被稱為“百牛定理”，據說這是畢達哥拉斯為了慶祝這偉大的發現，宰了一百頭牛來祭奠.關于畢達哥拉斯的具體證明方法我們仍然不知道，畢達哥拉斯本身是否發現了這個直角三角形的這個特征，還是從埃及神父或者從巴比倫學習到的，也沒有公認的說法.根據最廣泛的流傳，畢達哥拉斯從埃及神父那里學習到了三角形的特征，出于這個原因，三角形本身也被命名為埃及三角形或畢達哥拉斯定理.

勾股定理是我國古代數學的一項偉大發現，因此畢達哥拉斯定理在中國稱為“勾股定理”.勾股定理最早出現在《周髀算經》中.《周髀算經》原名《周髀》，約成書于公元前2世紀西漢時期，書中涉及數學、天文知識等.《周髀算經》主要成就是分數運算、勾股定理以及天文測量中的應用，其中關于勾股定理的論述最為突出.《周髀算經》中周公和商高，以對話形式給出勾股定理.三國時期吳國人趙爽為《周髀算經》作注，其中趙爽的“勾股圓方圖”是運用數形結合的思想方法——“等面積原理”，給出了勾股定理的證明.

2 367個證明中一些著名的證明方法及其特征

除了像歐幾里得(Euclid)、萊布尼茲(Leibniz)、赫頓(Hutton)、加菲爾德(Garfield)、惠更斯(Huygens)等這樣著名的數學家為定理的證明做出貢獻以外，其他不同階層的人員，比如一些高中數學老師，大學數學教授和天文學教授，或者是坐在扶手椅上的老年哲學家，還有戰壕里的年輕戰士，都在為畢達哥拉斯定理的證明尋找方法而耗去時光.可見這條定理是多么地吸引人.

在收集的367個證明中，有的十分精彩，發人深思；有的十分簡潔，耐人尋味；有的因為證明者身份特殊而非常著名.我們將畢達哥拉斯定理的論證方法主要分四種，第一種是線性關系的代數證明，例如，從類似直角三角形的線性關系可以證明直角三角形的斜邊的平方等于其他兩邊的平方和；可以借助使用一個圓或者兩個圓，利用弦、割線和切線的方法證明定理；還可以通過相似三角形的性質、面積的比、極限的理論、代數幾何的綜合法證明定理.第二種是幾何證明，可以通過三個正方形構建在外部或者內部的不同情況，例如，三個正方形構建在外部、三個正方形都在內部等十種形式進行分類，利用等面積轉換法證明，所有幾何證明的結果都來自區域的比較，其基本原理是疊加.后來又根據操作原理分成了第三和第四種：“向量證明”和“動態證明”.

2.1 代數證明

2.1.1法國數學家勒讓德(Legendre，1752-1833)——最短的證明

如圖1所示，在直角三角形ABH中，作HC⊥AB，直角三角形ABH，ACH和HCB相似.為了表示方便，分別用a，b，h，x，y和h-y代表BH，HA，AB，HC，CB和AC.因為通過三個三角形相似，可以得到三邊的比例關系.一共可以寫出9個等式：

圖1

(1)a∶x=b∶h-y,∴ah-ay=bx；

(2)a∶y=b∶x,∴ax=by；

(3)x∶y=h-y∶x,∴x2=hy-y2；

(4)a∶x=h∶b,∴ab=hx；

(5)a∶y=h∶a,∴a2=hy；

(6)x∶y=b∶a,∴ax=by；

(7)b∶h-y=h∶b,∴b2=h2-hy；

(8)b∶x=h∶a,∴ab=hx；

(9)h-y∶x=b∶a,∴ah-ay=bx.

從上述的九個等式中，沒有一個方程可以確定所需要的關系，但是可以由(5)和(7)兩個等式組合，就能得到h2=a2+b2.這應該是畢達哥拉斯定理的最短的證明，通過兩個等式即可完成.

2.1.2萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)的證明方法

如圖2，如果(1)HA2+HB2=AB2，然后(2)HA2=AB2-HB2，由此(3)HA2=(AB+HB)·(AB-HB).取BE，BC的長度等于AB，以B作為圓心畫半圓CA′E，連結AE，AC，作BD垂直AE.現在有(4)HE=AB+HB，(5)HC=AB-HB，(4)×(5)可以得到HE×HC=HA2，當△AHC與△EHA相似的時候，以上的結論才是正確的.

圖2

∴(6)∠CAH=∠AEH，(7)HC∶HA=HA∶HE；因為∠HAC=∠E，然后∠CAH=∠EAH，∴∠AEH+∠EAH=90°，∴∠CAH+∠EAH=90°，∴∠EAC=90°，∴頂點A在半圓上，A與A′重合，∴△EAC在半圓內且是一個直角三角形.由于方程(1)可以導出數量關系是直角三角形，然后從這樣的三角形，轉換到我們的論點就有h2=a2+b2.

三角形與圓有著密切的聯系，每個三角形都有一個外接圓和一個內接圓.萊布尼茲的證明方法主要是構造輔助圓的證法.

2.1.3赫頓(Hutton，1726-1797)的證明方法

∴h2=a2+b2.

圖3

該證法中，AD正方形實際就是我國《周髀算經》中的“趙爽弦圖”.弦圖是以弦為方邊的正方形，再在其內作四個全等的勾股形，各以正方形的邊為弦.趙爽稱勾股弦形的面積為“朱實”，稱中間小正方形的面積為“黃實”或“中黃實”.

2.1.4書中第101個代數證明

如圖4，讓AD=AG=x，HG=HC=y,BC=BE=z,然后AH=x+y，HB=y+z.以A為中心，AH為半徑畫弧HE，以B為中心，BH為半徑，畫弧HD，以B為中心，BE為半徑畫弧EC，以A為中心，AD為半徑，畫弧DG.然后畫出平行線.通過觀察這個數字，就可以明顯看出如果y2=2xz(1)AH2=AR×AD=(x+y)2=x·(x+2y+2z)=x2+y2+2xy=x2+2xy+2xz=y2=2xz，那么定理就成立了. 現在，因為AH是一個切線，AR是同圓的一個弦.AH2=AR×AD(切割線定理)，或(x+y)2=x(2y+2z)=x2+2xy+2xz，因y2=2xz，

∴正方形AK=[(x2+y2+2xy)=正方形AL]+[(z2+2yz+(2xz=y2))]=正方形HP，

∴h2=a2+b2.

圖4

從三邊分別向外作正方形，并進行分割，將各個小矩形塊的面積寫其內部.再構造輔助圓的證法，使用切割線定理證明.這個證明是幾何靈活性的一個很好的例證.其價值在于，不是在多次確立的事實上重復證明，而是需要更好的洞察力，在證明元素的有效編組和使用中，呈現出各種幾何定理的相互依賴和轉化.

2.2 幾何證明

2.2.1歐幾里得(Euclid，約公元前330年-約公元前275年)的證明方法

如圖5，作HL垂直CK，連接HC，HK，AD和BG，AB的平方=矩形AL+矩形BL=2三角形HAC+2三角形HBK=2三角形△GAB+2三角形△DBA=正方形GH+正方形HD，∴AB上的正方形=BH上的正方形+AH上的正方形.

圖5

該方法是幾何證明里的第33個證明.歐幾里得采用的是分析法，大約公元前300年，發現了上述證明，從邏輯上講沒有比歐幾里得更好的證明.該證明也反映了古希臘人的分析思維方法.

2.2.2惠更斯(Huygens，1629-1695)的證明方法

圖6

2.2.3蘇格拉底(Socrates，公元前469-公元前399年)的證明方法

所謂的畢達哥拉斯定理，最簡單的形式就是兩條直角邊相等.偉大的蘇格拉底通過畫圖讓奴隸孩子回答問題.將他的木棒作為指南，在地上畫圖，使奴隸孩子看到了三角形HAB中，HB邊上的正方形與HA邊上的正方形的和，正好等于AB邊上的正方形.如圖7所示.

圖7

該圖形并不是蘇格拉底給奴隸孩子講解的原圖，而是將原圖進行了轉化.蘇格拉底的這種證明方法和他的用兩個相同正方形制作一個大正方形的思想方法有著密切關系.蘇格拉底用“產婆術”指導求出新正方形的方法，除了對一般教學法有重要啟示以外，對數學教學也有重要的借鑒作用.例如，我們把問題倒過來說就是：用兩個相同的正方形構造一個新正方形．我們將問題變化為：能否用兩個不同正方形構造一個正方形？答案是肯定的，由勾股定理直接可以引證：a2+b2=c2，即兩個正方形面積之和等于第三個正方形的面積.可以用古希臘數學家歐幾里得的證明方法或中國古代數學家劉徽的證明方法直觀地表達出來，也可以用折紙方法(或實驗幾何方法)進行制作.

如果把兩個不同正方形當做一般情形的話，那么前面的問題就是其特殊情形.我們進而可以提出：能否用n個相同(不相同亦可)的正方形構造一個正方形嗎？答案也是肯定的，可以用數學歸納方法來說明.據了解，現實數學教學中存在的問題是，初中數學教師教授勾股定理時，從來不考慮學生在小學所學相關平面圖形知識，更不考慮勾股定理的實驗幾何特性及其擴展(2)代欽.可視的數學文化(三)——蘇格拉底的數學教學智慧[J].數學通報，2016，55(08):3-4..

2.2.4美國總統加菲爾德(Garfield，1831-1881)的證明

1876年4月1日，加菲爾德(3)Garfield J A.Pons Asinorum.New England J Educ，1876，3(161)在《新英格蘭教育日志》上發表了證明勾股定理的方法.

如圖8所示，延長HB到點D，使得BD=AH，過D點作DC平行于AH并且等于BH，然后連接CB，CA.

梯形CDHA的面積=△ACB+2ABH.

∴h2=a2+b2

圖8

2.2.5畢達哥拉斯定理——神奇的魔方

如圖9，AK正方形中，所有的數字和是625，等于HD正方形中數字的和441加上HG正方形中數字的和184.在AK正方形中間數為25，有1×(1×25)；周邊小正方形的數字和為3×(3×25)；選取大正方形AK中的數字和為5×(5×25)的數字作為元素.正方形HD中有1×(1×49)；3×(3×49)，作為元素.HG正方形中有1×46和3×46作為元素.

圖9

該證明方法我們可以稱它為“數字游戲”.在特定邊長為“3,4,5”的神奇的正方形中，編入特定的數字，我們可以發現AK正方形中所有數字和等于HD正方形中數字和加上HG正方形中數字的和.正方形AK的任意一行、一列和兩條對角線上的數字總和均為125，因此總和為625.正方形HG的每一行、每一列和兩條對角線上數字和均為46，正方形HD的則為147，因此，HG里所有數的和是184，HD里所有數的和是441.因此，魔方AK(625)=魔方HD(441)+魔方HG(184).

2.3 向量的證明

向量的發展大致分為三個階段：首先是實例中的向量，用平行四邊形法則得到力的合成，在此階段，向量僅僅是物理力學的一個應用,并沒有形成一門獨立的學科,更沒有受到重視.其次為分解向量階段，力的分解是無法靠加減乘除的運算進行的,這樣就引入了新的運算——“數乘”.最后一個階段，向量中引入“數量積”.

如圖10，完成矩形HC，連接HC.矢量AB=AH+HB或者a=b+g(1)，HC=HA+AC，或者a′=-b+g(2).則(1)的平方加上(2)的平方有a2+a′2=2b2+2g2，或者看作AB2+HC2=2AH2+2HB2，但是HC=AB，∴AB2=AH2+HB2，∴h2=a2+b2.

圖10

2.4 基于力的概念——動態證明(符合“力偶矩”(4)力偶是兩個相等的平行力，它們的合力矩等于平行力中的一個力與平行力之間距離(稱力偶臂)的乘積，稱作“力偶矩”.的理論)

如圖11，如果FH和AG代表兩個相等的力，它們形成力偶矩FH×AH，或者b2.如果HE和DB代表另外兩個相等的力，它們形成力偶矩DB×HB，或者a2.

圖11

存在這樣的兩對力.即加入兩個力AG和HE,使得AM=HE=a，AG和AM的兩個力的合力為平行四邊形的對角線AN，AN=CA=h.加入FH和DB兩個力，使得BO=DB=a，即平行四邊形的對角線BK是BO和BP的合力(BP=FH=b)，力偶矩的第二個分量就是CK×BK，或者h2. ∴h2=a2+b2.

3 為什么沒有利用三角函數、解析幾何、微積分的方法證明勾股定理

通過之前的證明方法，有的人會提出這樣的問題，十七世紀，變量數學問世之后，有沒有基于三角函數、解析幾何和微積分的證明呢？答案是沒有這類的證明方法.因為三角函數的基本公式本身就是畢達哥拉斯定理的真理，因為這個定理，我們說sin2A+cos2A=1.

例如：如圖12，在直角△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b.

圖12

因為a=c·sin∠A,b=c·cos∠A,(sin∠A)2+(cos∠A)2=1，

a2+b2=(c·sin∠A)2+(c·cos∠A)2

=c2[(sin∠A)2+(cos∠A)2]=c2,

所以a2+b2=c2.

該證明是錯誤的.觀察這個證明方法，從結論開始檢查每一步證明，似乎沒有錯誤.那么問題究竟出在哪里呢？具體情況主要是因為(sin∠A)2+(cos∠A)2=1是勾股定理的特殊形式，不能做條件來使用.這里犯了循環論證的錯誤.

在解析幾何中，笛卡兒把勾股定理作為他的解析幾何方法的基礎，所以在這里不會出現獨立的證明.解析幾何是以代數方法處理的歐幾里得幾何學，因此涉及的解決方法，都是已經建立的原理.因此，在解析幾何中關于直角三角形三邊的關系，都直接暗含著畢達哥拉斯定理，如公式：x2+y2=r2.

4 小結

沒有哪個幾何定理能夠像畢達哥拉斯定理的簡單二次公式那樣，對其他數學分支產生如此多的影響.的確，古典數學和現代數學的大部分歷史都是圍繞著這個定理而寫成的(5)[英]M. I.芬利.The Legacy of Greece [M].張強，譯.上海：上海人民出版社，2016:95.一些古老重要的數學工作都有著永恒的品質，就像任何領域的經典.作為數學中兩大瑰寶之一的畢達哥拉斯定理，貫穿在整個古代和中世紀兩個漫長的歷史時期中，到今天仍不失其價值.它是人類發現的第一定理、第一個不定方程、證法最多的定理.它引發了第一次數學危機，開始把數學由計算與測量的技術轉變為論證與推理的科學.

對于剛剛開始學習幾何的學生來說，勾股定理的證明是他們遇到最難的證明之一.現在的中學數學教學中由于幾何證明的直觀性，在學習定理時經常使用幾何證明方法便于學生理解.但是勾股定理的教學僅僅讓學生知道結論并會套用是遠遠不夠的，應讓學生通過勾股定理的學習更好地掌握數學思想方法、激發學習興趣、培養探索精神、經受歷史的熏陶.除此之外，使用拼圖的方法也廣泛使用，注重培養學生動手操作能力.在教學中通過設計探究活動，使勾股定理的教學成為再創造和再發現的教學，進而發展學生發現、提出問題與分析、解決問題的能力.另外勾股定理的變式，即在可變傾斜的三角形的三邊上構建正方形也應該值得我們的關注，有利于培養學生思維的靈活性.總之，證明定理的方法和數量并不是僅限于此，代數、幾何證明的數量是無限的.以上方法的歸類，可以有助于新知識的產生，吸引著未來的研究人員不斷的探索.

致謝：本文原始文獻E.S.Loomis《Pythagorean Proposition》在我國買不到的情況下，日本數學教育家松宮哲夫教授贈送了該書.這里表示衷心感謝！