初中數學微探究活動中的問題與思考

朱建明

(南京市教學研究室 210001)

初中數學微探究活動作為一種常態的教學活動，具有片段式和局部性的特點，相對于“綜合與實踐”活動，它的綜合性和挑戰性較弱.然而，微探究活動與教學內容緊密聯系，又能為學生開展適宜的探究學習提供有效載體，因此深受廣大教師和學生青睞.但在開展微探究活動過程中，或學情失察，或要素失配，或難易失度，或活動失當，或方法失調，使得教學效益不高甚至低下.下面以南京市初中數學課堂教學為例，談談初中數學微探究活動中的常見問題與思考.

1 學情失察

設計微探究活動，必須依據課程標準和教材的相關內容要求，需要了解學生的知識基礎和認知水平，如果學情失察，那么會使學生難以參與微探究活動，造成探究過程困難重重，式微難行.

案例1《5.4 二次函數與一元二次方程》(九年級下冊)

在本節課的例題教學后，教師提出問題：

二次函數y=x2+2ax+b2和y=x2+2bx+c2的圖象與x軸都有兩個不同的交點，問函數y=x2+2cx+a2的圖象與x軸是否相交？為什么？

本課主要研究二次函數圖像與一元二次方程的根之間的相互關系，由于教材中涉及的二次函數主要是數字系數的二次函數，而本例提出的探究問題是三個帶字母系數的二次函數之間的關系，這一要求超越了課程標準內容要求，造成過大的知識落差，使得全班學生難以下手.

案例2《2.5 直線與圓的位置關系(第5課時)》(九年級上冊)

在本節課的思維拓展階段，教師出示問題：

如圖1，在矩形ABCD中，AB的長為20 cm，BC的長為4 cm，點M以4 cm/s的速度從A開始沿折線A—B—C—D運動，點N以1 cm/s的速度從C開始沿CD邊運動，如果點M、N分別從A、C同時出發，當M、N中的一點到達D時，另一點也隨之停止運動.如果⊙M和⊙N的半徑都是2 cm，那么點M運動多少時間時，⊙M和⊙N有且只有一個交點？

圖1

本例是根據教學內容中的“閱讀”材料編制的探究問題.在現行的教學中，圓與圓之間的位置關系已經不作為學生的學習內容，所以本例中的“⊙M和⊙N有且只有一個交點”，也就是“兩圓外切”，給學生理解這個問題帶來了很大的困難，再加上本例的背景是動態變化的兩個圓，而在整個運動過程中兩圓共有三次外切的情況，解決問題過程又需將研究兩圓運動關系轉化為研究兩個圓心運動之間的關系，因此學生的探究活動確實難以為繼.

從上兩例可以看出，微探究活動的設計至關重要，如果教師罔顧課程標準的要求和學生的數學現實，選擇的微探究教學內容拓展得過寬過深，與學生的知識基礎落差過大，往往造成探究活動形同虛設，無法達成探究目的，同時也會對教學產生負面效應.而克服這種現象，需要教師在選擇內容時要注重適宜適切性，如案例1中減少數字系數，案例2中兩圓直接在直線上運行等.此外，還需要教師在教學時適時介入，搭設合理的“腳手架”，看到學生困難過大，可以采用課堂討論的形式進行點撥和啟發，將個人探究與師生共同探究的形式有機結合起來.

2 要素失配

數學微探究活動中包含了問題背景、數學知識、思維空間、活動程序、待解決問題等諸要素，各要素在目標統領下相互調適.而如果各要素之間配置錯位，與目標不相適應，則會使探究活動目標虛化，效果弱化.

案例3《10.5 用二元一次方程組解決問題(第3課時)》(七年級下冊)

在本節課的“數學實驗室”環節，教師出示問題：

(1)將10枚5角硬幣、10枚1元硬幣分別重合疊放在一起，用尺子量出厚度，分別算出1枚5角硬幣、1元硬幣的厚度；再用天平分別秤出10枚5角硬幣、10枚1元硬幣的質量，分別算出1枚5角硬幣、1元硬幣的質量.

(2)將5角硬幣和1元硬幣混合在一起的一把硬幣疊起來，用尺量出厚度.用天平秤出質量，利用二元一次方程組算出5角硬幣和1元硬幣的個數，并計算出總金額.

(3)分小組提出類似問題，并利用二元一次方程組解決.

本例中，學生分組使用天平秤物，由于初一學生以前從未使用過天平秤物，因此教師在指導學生使用天平秤硬幣上花費了大量時間，實際上，上述探究的主題偏向了測量硬幣的厚底與質量這個問題，這與二元一次方程組的知識關聯度并不大，即使直接告訴學生硬幣的厚度和質量也不影響本例的研究.因此本例中的探究有名無實.

微探究活動中把握目標方向十分重要，不能為了增加學生動手操作機會，也不管是否需要，盲目安排一些相關操作實驗活動，使得問題解決過程偏離主題，影響目標達成.而解決這些問題的關鍵是教師緊緊圍繞微探究課題的目標，預估可能出現的各種問題，化解各要素不匹配的種種情況，如上例中，先要明確相對于數學建模，天平秤物是解決問題中的輔助性活動，因此可以直接由教師演示天平秤物，或者教師指導一個動手能力較強的學生去做就可以了.

3 難易失度

數學微探究問題最難把握的是它的難度取舍問題，過易激發不了學生的探究興趣，過難則會阻擋大部分學生的探究步伐，因此過難過易均不利于學生開展探究活動，也會影響探究活動效果.

案例4《3.2 勾股定理的逆定理》(八年級上冊)

在本節課的“數學活動”階段，教師提出問題：

(1)勾股數有無數多組，你能說出100組勾股數嗎？

教師見學生只能說出3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25幾組勾股數，于是搭設解決問題的臺階：

(2)如果m、n是正整數，那么(m2+n2)2-(m2-n2)2=(2mn)2.令c=m2+n2，a=m2-n2，b=2mn，你能寫出多少組勾股數？

本例中，教師提出的第一個問題，由于要說出的勾股數組數量多，大部分學生均感到難度太大，無法找到構造勾股數的規律.為了降低難度，教師又提出了第二個問題，由于有了公式(m2+n2)2-(m2-n2)2=(2mn)2，因此這個問題又變成了非常容易的問題，失去了探究韻味.實際上，如何得到上述公式，是一個值得探究的好課題.另外，本題也可以從a2+b2=c2出發，利用a2=(b+c)(b-c)，如果令b-c=1，那么只要b+c是一個完全平方數，就可以構造出無數組勾股數了.

把握好微探究的難易度，需要從學生的實際出發，遴選適宜的探究課題，規劃適切的探究過程，這些均需要教師在教學中適時地調整改善.

4 活動失當

數學微探究活動常常與觀察、實驗等操作活動相結合，因此在開展數學微探究活動時，需要規劃活動實施的方案：學生要開展哪些與微探究相關的活動？活動有哪些要求？活動過程如何調控？活動結果如何應用？如果這些問題思慮不周，都會直接影響數學微探究活動的成效.

案例5《第6章 平面圖形的認識(一)的小結與思考》(七年級上冊)

課前教師要求每個學生自制一個測風儀：用量角器在紙上畫一個量角器，并且標上刻度，貼在一個硬紙板上，在量角器的中心點打個小孔；將細線的一端穿過這個小孔，細線的另一端系上一個乒乓球.

上課開始后，教師請多名學生用自制的測風儀對準打開的小電風扇，記錄下細線偏離鉛垂線的角度，并對照下表來測量的風速.結果由于風速太大，都沒能成功測量出電風扇的風速.

角度(°)速度(km/h)角度(°)速度(km/h)角度(°)速度(km/h)00.02520.85033.659.63024.05536.81013.03525.86041.61516.04028.86546.42019.24532.07052.8

本例原本是探究角度與風速關系的絕佳素材，也是很有創意的數學微探究活動，但由于學生自制測風儀忽略了材料規格要求、工藝要求，顯然教師在設計這個活動中也沒有考慮這些相關因素，并且角度與風速的對照表與測風儀制作規格、質量有關，而學生所制的測風儀，由于制作簡陋，實際上是無法使用這個對照表.因此這個微探究活動沒有發揮探究活動應有之義.

對于一些活動失當的微探究活動，既花費了較多時間，又無法提高教學效益，因此宜從求簡的角度改進活動載體，優化活動過程.上例中，教師可以提供一些制作材料，讓學生分幾個小組合作制作，把測風速改成同一風速下比較各組角度的大小，并探究建立一個風速與角度大致對應的模型.實際上，在學生學習與角有關的知識內容時，可以把時鐘、手表、臺球等作為道具開發微探究活動，既簡便易行，又實用有效.

5 方法失調

設置數學微探究活動的目的就是使學生經歷數學知識發生、發展和應用過程，在探究中感悟和理解數學，并在其中學習分析、解決問題的方法.但在教學實踐中，教師往往重視微探究活動內容設計，而忽視其中的數學思想方法的銜接和鋪墊，造成方法失調，使得微探究活動難以發揮應有的教學功能.

案例6《9.3 平行四邊形(第2課時)》(八年級下冊)

在本節課的思維拓展階段，教師出示問題：

如圖2，已知線段AB，請你只用圓規，畫出一點P，使得點在AB延長線上，并且BP=AB.

這個微探究活動是特殊工具畫圖問題，而只用圓規是不能畫出線段的，所以初見的學生常常會覺得無從下手，本例在教學中也確實給學生帶來極大困難.原因是這里缺失了方法的銜接和鋪墊.這里首先要思考的問題是：圓規畫圖可以構造的圖形有哪些？實際上，用圓規可以畫出兩個點C、D，使得△CAB≌△BDC，如圖3，這樣四邊形ABDC就是平行四邊形，同樣，可以再構造一個平行四邊形BPDC.所以，本例在畫出P點前，可以加上兩個問題：一是只用圓規畫出點C，使△CAB是等腰三角形；二是只用圓規再畫出點D，使四邊形ABDC是平行四邊形.

圖2

圖3

微探究活動中的方法教學，相對于其中蘊含的數學知識，其實是值得重視的一條暗線，需要教師在教學時認真思考、有序實施的.微探究活動中需要哪些特殊方法？需要哪些通性通法？方法的使用中，是引導學生從已掌握方法進行遷移類比？還是引導學生探究新的方法？多種方法的序列如何安排？只有厘清了這些問題，才能使學生通過微探究活動，達成探究過程中方法教學的本真價值.

總之，設計數學微探究活動，既要明晰學生的數學現實，也要選擇合適的材料，規劃恰當的探究途徑，滲透相應的思想方法，這些都需要教師的教學智慧，只有這樣，才能使數學微探究活動成為激發學習興趣、培養數學能力的有效載體，為發展學生的數學核心素養發揮積極作用.