基于Bessel過程的波動率障礙期權定價

張繼超，周 航，馬 輝

(1.北華大學數學與統計學院，吉林 吉林 132013；2.長春大學經濟學院，吉林 長春 130022；3.吉林農業科技學院，吉林 吉林 132101)

0 引 言

障礙期權[1](Barrier option)是一種最終收益為原生資產價格在整個期權有效期內是否達到某一規定水平(障礙)的歐式期權合約，它較普通歐式期權的價格便宜，因此在金融市場中受到更多投資者的關注.根據原生資產價格與規定水平的期權狀態可以分為敲出期權和敲入期權.敲出期權是指原生資產價格在有效期內達到障礙，期權終止有效； 敲入期權是指原生資產價格在有效期內達到障礙，期權開始有效.目前在金融市場中關于原生資產價格設定障礙水平的衍生品類型較為完整，如障礙期權及其演化出的敲出障礙期權和敲入障礙期權、巴黎期權(Paris options)[2]等.一般在投資決策中準確預測原生資產價格的變化趨勢更為重要，即對波動率的刻畫.2007年[3]，法國興業銀行推出一種關于累積波動率的認購計時期權，該期權是一種預判股價或指數未來的波動趨勢進而設定累積波動率閾值，當實際波動率累積達到預先設定閾值時才可執行的期權.與傳統的歐式、美式期權等基礎衍生品相比，這種期權提供了一種更為有效的控制標的資產風險暴露的方法.因此，計時期權產品不僅可以作為一種獲取原生資產收益的重要方法，同時也是控制標的資產的波動率風險的有效工具之一.以上期權都為路徑依賴期權，經典期權求解定價方法是以定價核或者轉移概率為目標得到解析定價公式，但某些復雜期權只能得到數值解.期權定價理論的起源要追溯到1900年，Bachelier[4]首次運用隨機游走描述股票價格變化，雖然不夠成熟，甚至某些假設條件違背了市場實際情況，但他給出了波動率為常數情況下的歐式期權的解析定價公式.最近十幾年，具有隨機波動率的期權的研究已經成為金融衍生品定價研究的熱點.為了更準確地描述金融市場，有效地對期權進行定價，許多學者開始關注隨機波動率模型，例如Hull-White隨機波動率模型[5]、Heston波動率模型[6]等.目前，隨機波動率模型下期權定價的研究主要集中在歐式型期權定價問題，而對于路徑依賴期權[7]定價的研究較少.因此，本文研究具有Hull-White波動率模型下的一種特殊的歐式障礙期權的定價問題.

1 相關知識

在期權定價中，經典的Black-Scholes公式[8]給出了標準歐式認購期權的價格如下:

V(S，t)=SN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)，

通過對資產價格時間序列的數據分析可知，資產價格波動率σ不是常數，而是一個隨機變量. 1987年，Hull和White[5]首次提出了擴散波動率模型(Hull-White模型)，在風險中性概率測度P下，假設標的資產價格St和標的資產的方差vt滿足如下隨機微分方程：

假設Rt服從指數為γ(≥0)的Bessel過程[10]，且R(0)>0，

(1)

其中B(t)是標準一維布朗運動.

其中，Px是以x起始點確定的概率測度.

命題1構造投資組合Πt=U(t)-Δ1G(t)-Δ2S(t)，在風險中性定價理論下，則Hull-White模型下的波動率障礙期權價格U(t)滿足下面的偏微分方程

本文簡化考慮ψ=0情形.波動率障礙期權價格U(t)滿足非拋物型偏微分方程，比普通障礙期權多出第3項vUI，它是關于累計實際波動率的導數.

2 定價公式

(2)

(3)

由式(2)得

(4)

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

由此，我們得到：

定理1假設標的資產對數價格xt和隨機波動率vt滿足Hull-White隨機波動率模型變換過程式(2)和式(3)，在到期時刻的期權收益為U(T)=(ST-K)+ΙτB>T，則波動率障礙期權價格U0表示為式(4)，且條件期望中聯合密度函數為式(5)～(8).

3 小 結

現實金融市場中波動率衍生品的價格或是基于離散樣本股票的價格，或是由連續價格的二次變差得到實際方差后的價格，本文利用Bessel過程給出解析定價公式可有效應對連續時間條件下隨機波動率模型的期權定價問題.特別地，Bessel過程的性質是我們得到關于累積波動率的特殊障礙期權閉型解析解的關鍵.本文提出的波動率障礙期權也豐富了金融交易產品.