基于DPL模型對超短脈沖激光輻照金屬薄板傳熱行為的漸進分析

王穎澤, 昝 晨

(江蘇大學 能源與動力工程學院, 江蘇 鎮江 212013)

隨著超短脈沖激光加熱技術的飛速發展(超短脈沖激光通常是指脈沖時間寬度小于10-12s的激光),其熱作用的周期時間極短.超短脈沖激光憑借其具有極高的光脈沖峰值功率、較高的能量密度、較短的脈沖持續時間、高精度處理微結構以及在材料熱加工中高精度控制加熱時間和加熱位置等諸多優點,廣泛應用于現代工業中[1].其中超短脈沖激光加熱技術的大部分應用都涉及到材料的熱效應,如激光醫學手術、激光微加工、激光燒結過程和激光鉆孔技術等,為了確保應用過程的安全和提高應用效率,必須對其熱傳導過程進行充分準確的研究[2-5],并完整表達其熱傳導過程.而超短脈沖激光加熱引起的微納米尺度的導熱規律仍有待進一步探索[1],準確描述時間極短、尺度微觀的超急速傳熱過程顯得日益重要.

傅里葉于1822年在大量常規傳熱實驗的基礎上發表了其著名論著《熱的解析理論》,奠定了導熱的理論基礎,該定理認為熱是以擴散的方式傳播的,并假設了熱擾動傳播速度無限大.在常規熱傳導問題中,其結果是正確的.但在超短脈沖激光加熱金屬薄板的過程中,由于其響應時間極其短暫、薄板的特征尺度非常小,必須考慮其熱波傳遞速度的有限性,傳統的傅里葉導熱定理已無法對這一導熱過程進行準確描述.研究人員[1,5-9]在傅里葉定理的基礎上,通過不同的物理現象,構建了各種基于熱擾動傳播速度有限的非傅里葉熱傳導模型.其中包括考慮系統中介質的弛豫時間的CV熱傳導模型,分別考慮電子氣和金屬晶格熱傳導的拋物兩步模型及雙曲兩步模型,以及提出了包含熱通量和溫度梯度相位延遲時間的并且能夠在同一框架內描述宏觀或微觀熱傳遞現象的雙相滯后熱傳導模型(DPL模型)等.

采用雙相滯后熱傳導模型相關學者圍繞超短脈沖激光加熱金屬薄膜(薄板)的傳熱問題進行了大量的研究,并取得了諸多有價值的理論成果[7-10].但值得注意的是,之前的研究人員大多采用的是有限元方法或積分變換法進行分析求解.利用積分變換法的時候,在積分反演時通常采用數值模擬的方法進行近似求解[8-11].在數值求解時,計算精度高度依賴于所使用的數值模擬方法及相應的求解格式,不利于進行定性分析,且難以進行進一步的物性分析[11-16].

文中采用了一種解析漸進求解的方法求解熱傳導方程.將雙相滯后熱傳導模型聯合能量守恒方程得出薄板的熱傳導偏微分控制方程,然后利用Laplace正、逆變換的技術,推導了金屬薄板受超短脈沖激光沖擊下的溫度響應的近似解析表達式,并與數值方法結果進行比較,驗證了計算結果的準確性.同時還研究了熱通量相位滯后值和溫度梯度的相位滯后值以及金屬薄板板厚對熱傳遞行為的影響.

1 問題的數學描述

金屬薄板受超短脈沖激光輻照的熱傳導行為如圖1所示.

圖1 金屬薄板受超短脈沖激光輻照示意圖

考慮板長為L的薄板,板內初始溫度為T0,其中邊界壁面溫度保持恒定,邊界都是絕熱的(不計熱量從邊界的流失).假定其物性參數都為常數且保持不變.考慮到薄板的長度和寬度遠大于其厚度,可假定其溫度只隨橫向坐標x發生變化,這樣就可以退化為一維問題.故參考文獻[9]選用一維DPL控制方程:

(1)

式中:τq為熱通量的相位滯后值;τT為溫度梯度的相位滯后值;k是導熱系數;q是熱通量;T是溫度.

在局部能量平衡中,激光能量的作用形式以體積內熱源的形式計入能量方程中,給出了當前問題的單次能量方程:

(2)

在本研究中,為便于計算,選用改進的高斯激光束,則激光能量吸收速率為

(3)

(4)

式中:tp激光脈沖寬度最大持續時間的一半;J是激光能量密度;R是輻射反射率;a是一個常數.

將方程(1)與方程(2)聯立,可得到計入激光作用的溫度控制方程:

(5)

初始條件為

(6)

邊界條件為

(7)

2 問題求解

2.1 變換域內控制方程的求解

這里選用Laplace變換進行解析求解,根據Laplace變換公式:

(8)

式中:p為Laplace變換因子;上標“-”表示對該變量進行Laplace變換.

在這里為方便表述及計算,假定

T(x,t)=T(x,t)-T(0,t).

(9)

對上述方程(5)進行Laplace變換,可以得

(10)

式中

(11)

方程(5)的通解可表示為

(12)

2.2 解析域內求解

根據Laplace終值定理可得

(13)

當響應時間t取小值時,其影像p取大值,當p→∞時,可以對特征根R進行近似處理:

(14)

利用冪級數的展開公式可得到相關系數A1(p),A2(p),A3(p)的近似處理:

方程的通解可以寫成:

A(m4)]+b3[B(m1)+B(m3)]-

b1[B(m2)+B(m4)]+F,

(15)

式中:A(m),B(m)是關于m的函數,則

F=b6(p1-p2)+b7(p2-p3)exp(-2ptp).

其中:

m2=[(2n+2)L-x]·k1,m3=[(2n+1)L+x]·k1,

m4=[2nL+x]·k1.

T(x,t)=b4[A*(m1)+A*(m3)]-b2[A*(m2)+

A*(m4)]+b3[B*(m1)+B*(m3)]-

b1[B*(m2)+B*(m4)]+F*,

(16)

式中:

A*(m)=L-1(A(m))=

B*(m)=L-1(B(m))-H(t1)·

其中:

3 分析與討論

3.1 結果驗證

為了驗證解析方法結果的準確性,文中采用與文獻[11]中相同的參數來預測金質薄板的溫度變化情況.采用的參數如下:J=13.4 J·m2,δ=15.3×10-9m,a=1.992,tp=100×10-15s,L=100 nm,k=315 W·m-1·K-1,R=0.93,τq=8.5×10-12s,τT=90×10-12s,α=1.2×10-4m2·s-1.

解析解與數值解的比較如圖2所示,從圖中可以看出,采用解析求解得到的數據與文獻[11]中數值模擬方法所得到的數據在描述溫度場的過程中基本一致,驗證了解析求解的正確性.采用解析求解能更好地反映溫度場變化與各參數的關系,可以更好地定性分析,為下一步的物性參數分析奠定了基礎.

圖2 解析解與數值解的比較

3.2 結果分析

通過與數值計算的對比,驗證了此解析漸進求解方法的正確性,并在此基礎上研究了τq/τT,τT/τq及板厚對溫度變化的影響.利用上述漸進解析表達式,取τT=90 ps,t=0.6 ps,其他物性參數不變的條件下,計算了不同τq/τT值下相對溫度沿x方向的變化情況.τq的定義是熱流梯度q的相位滯后時間.如圖3所示,圖中縱坐標為相對溫度,沿著x方向,隨著x的增大,相對溫度在不斷的降低.當τq/τT越大,金屬薄板左邊界上相對溫度T的值就越大,即τq的增大趨向于在金屬薄板中引起更多的熱波，并且隨著τq的增加,該熱波的波峰值越高,溫度變化率越大.

同時在保持τq=10 ps,t=0.6 ps不變的情況下,計算了不同τT/τq值下沿x方向上的T的變化情況,τT的定義是溫度梯度的延遲時間.如圖4所示,圖中縱坐標為相對溫度,在較大的τT/τq的情況下,金屬薄板左邊界上T的值就越小.可以得出,τT通過促進熱傳導而使τq產生的較高的溫度變化率和左邊界上的相對溫度降低.由于激光內熱源保持不變,即激光加熱的能量保持不變,τT的增加使得沿x方向的溫度變化率降低,在金屬薄板的右邊界,相對溫度趨近于,所以熱信號在金屬薄板中的穿透深度也隨之增大.

圖3 不同τq/τT值下的溫度變化

同時還研究了金屬薄板的長度對于溫度場的影響,如圖5所示,選取板厚為60,80,100,150 和200 nm的金屬薄板,分析其溫度場的變化,采用與圖2一樣的物性參數,并與圖2中的第1張圖進行了對比.從圖中可以看出板厚對溫度場的波形影響較小,由于采用的模型中兩邊界絕熱,所以當板厚過小時會產生回彈現象.

圖4 不同τT/τq值下的溫度變化

圖5 不同L值下的溫度變化

4 結 論

1) 在DPL模型中,τq和τT的變化是引起非傅里葉熱傳導效應的主要原因之一.因此,在超短脈沖激光輻照金屬薄板中,當τq越大,金屬薄板左邊界上相對溫度T的值就越大.τq的存在往往會引起更多的熱波,并且隨著τq的增加,該熱波的波峰值越高,溫度變化率越大.相反,隨著τT的增加,熱波的波峰值越小,溫度變化率越低,同時增大了熱波在金屬薄板中的穿透深度.

2) 在一維雙相滯后模型(DPL模型)下金屬薄板的厚度對溫度場的波形影響較小.

3) 通過近似解析的求解方法得出超短脈沖激光輻照金屬薄板的瞬態熱傳遞過程,為下一步的物性分析提供了參考.