一類高分數階微分方程邊值問題解的存在性

禾丁予

(天津大學數學學院， 天津 300350)

(2010 MSC 34A08,34B15)

1 引 言

分數階微分方程在粘彈性力學、非牛頓流體力學、高分子材料和自動控制理論等領域有著廣泛的應用[1-2].近年來，國內外學者對分數階微分方程邊值問題解的存在性研究也取得了重大進展[3-10].如，文獻[8]研究了以下分數階微分方程邊值問題

2 預備知識

定義2.1[1]函數y:(0，)→R的階數為α>0的Riemann-Liouville分數階積分定義為

定義2.2函數y:(0，)→R的階數為α>0的Caputo分數階導數定義為

y(t)=C0+C1t+…+Cn-1tn-1，

其中 Ci∈R,i=0,1,…,n-1,n如定義2.2所述.

引理2.4設y∈Cn(0,1)∩L(0,1)有α>0階分數階導數.則

Cn-1tn-1，

其中 Ci∈R,i=0,1, …, n-1,n如定義2.2所述.

記

(2)

其中h=0,1,…,n-1. 選取適當的λ,使得

(3)

引理2.5設y∈C[0,1]，n-1<α≤n，n≥3，λ∈R+，m∈{1,2,…,n-2}.若(3)式成立，則邊值問題

有唯一解

(7)

證明 設u為方程(4)的解.由引理2.4知

Cn-1tn-1，Ci∈R，0≤i≤n-1

(8)

(8)式可以變形為

Cn-1tn-1]eλt.

上式兩邊在0到t上積分可得

(9)

由(5)式可得

Ci=0,i=0,1,2,…,m-2,m+1,…,n-2,

且λCm-1-mCm=0.將上式代入(9)式可得

由Ph(t)的表達式(2)計算得

所以

(10)

由邊值條件(6)可得

因此

證畢.

證明 僅證(ii).

證畢.

引理2.8(Banach壓縮映像原理[10]) 設(X,‖·‖)是一個Banach空間，Ω?X是一個非空閉集，且T:Ω→Ω.若存在α∈[0,1)使得對任意的x,y∈Ω，有‖Tx-Ty‖≤α‖x-y‖，則有唯一的x*∈Ω，使得Tx*=x*，即 x*是算子T的唯一不動點.

3 主要結果

令E=C1[0,1].取范數

則(E，‖·‖)為Banach空間.定義

令

引理3.1算子T:E→E為全連續算子.

證明 由函數f的連續性可知，算子T連續.設Ω?E為有界集，則存在常數N>0，使得對任意的u∈Ω，有‖u‖≤N.記

L=max{|f(t,u,v)|,(t,u,v)∈[0,1]×[0,

N]×[0,N]}.

由引理2.6，對任意的u∈Ω，有

所以T(Ω)一致有界.

另一方面，設0≤t1

所以T(Ω)等度連續.由Arzela-Ascoli定理知，算子T全連續.證畢.

記

2+M2}.

定理3.2設f:(0,1)×R×R→R是連續函數，且存在非負連續函數ρ0，ρ1，ρ2使得

|f(t，u，v)|≤ρ0(t)+ρ1(t)|u|+ρ2(t)|v|，

t∈[0,1]，u，v∈R，

且滿足

則邊值問題(1) 至少存在一個解.

證明 由引理3.1知算子T:E→E為全連續算子.下證集合V={u∈E:u=μTu，0≤μ≤1}有界.對任意的u∈V，t∈[0,1]，有

u(t)=μTu(t)，u′(t)=μ(Tu)′(t).

放縮得

|u(t)|+ρ2(t)|u′(t)|)，

|u(t)|+ρ2(t)|u′(t)|).

因此，

‖u‖≤

所以集合V是有界的.由引理2.7，算子T至少有一個不動點，即邊值問題(1)至少存在一個解.證畢.

定理3.3設f:(0,1)×R×R→R是連續函數，且存在非負連續函數γ1，γ2，使得

|f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)|≤

γ1(t)|u1-u2|+γ2(t)|v1-v2|，

t∈[0,1]，ui，vi∈R，i=1，2.

且滿足

則邊值問題(1)有唯一解.

Br={u∈E:‖u‖≤r}，

其中

先證T(Br)?Br.對任意的u∈Br，有

同理

因此‖Tu‖≤r.

另一方面，對任意的u,v∈Br，t∈[0,1]，有

同理

則

4 例 子

例4.1考慮邊值問題

f(t，u，u′)=k1(t)sinu+k2(t)sinu′+g(t).

計算可得

M1=1，M2=1.6150，

A1=1.3823，A2=2.2384.

又因為

|f(t，u，u′)|≤|k1(t)||u|+

|k2(t)||u′|+|g(t)|，

由定理3.2，只要

該邊值問題就至少存在一個解.

例4.2考慮邊值問題

計算可得

M1=1，M2=1.3540.

A1=0.3893，A2=0.5442.

另外，我們有

|f(t，u，u′)-f(t，v，v′)|≤

取

則有

0.6601<1.

由定理3.3，該邊值問題有唯一解.