一類非自治三階常微分方程周期解的存在性

楊虎軍, 韓曉玲, 羅 強

(西北師范大學數學與統計學院, 蘭州 730070)

(2010 MSC 34B15)

1 引 言

具有周期解的常微分方程在物理學,天文學,生物數學等領域中有廣泛應用[1-2].最近幾十年，許多學者致力于研究常微分方程周期解的存在性并取得了豐富的結果[3-10].如Araujo[7]討論了非自治二階常微分方程

x″+a(t)x-b(t)x2+c(t)x3=0

(1)

正周期解的存在性,其中a(t),b(t),c(t)是連續的T-周期函數,滿足0

受上述工作的啟發,本文將此方程推廣到三階情形,并運用Mawhin延拓定理研究了非自治三階常微分方程

x?-a(t)x+b(t)x2-c(t)x3=0

(2)

正周期解的存在性,其中a(t),b(t),c(t)是連續的T-周期函數,滿足0

2 預備知識

設C1([0,T])為定義在[0,T]上的1次連續可微實值函數在范數‖x‖C1=max{|x|,下的Banach空間,其中|x|

定義2.1[11]設X和Y為實Banach空間，L:D(L)?X→Y是一個線性映射.如果L滿足

(i) Im(L)是Y的閉子空間;

(ii) dimKerL=codimIm(L)<+,

則稱L是一個零指標的Fredholm映射.

下面給出本文的主要工具定理Mawhin延拓定理.

(i) Lx≠λNx, ?x∈?Ω∩D(L),λ∈(0,1);

(ii) QNx≠0, ?x∈KerL∩?Ω;

(iii) deg{JQN, Ω∩KerL, 0}≠0,

3 主要結果

定理3.1設a(t),b(t),c(t)是連續的T-周期函數, 滿足

0

0

(3)

這里a,A,b,B,c,C是正常數,滿足

(4)

周期T滿足

(5)

證明 考慮Banach空間X=Y={x∣x∈C(R,R),x(t+T)=x(t),?t∈R},其范數為‖x‖Y=|x|,這里|x|定義線性算子L:D(L)?X→Y

Lx=x?, x∈D(L)

(6)

其中 D(L)={x|x(i)(0)=x(i)(T), i=0,1,2, x?∈C(R,R)}.

定義非線性算子N:Y→Y如下:

Nx=a(t)x-b(t)x2+c(t)x3

(7)

不難驗證KerL=R，且

因此算子L是一個零指標的Fredholm映射.

其中

則算子QN:X→Y和KP(I-Q)N:X→X為

記

(8)

是Y中的開集,這里

(9)

(10)

由(4)式可知,J和S的定義是合適的.由(3),(4)式可知,對任意t∈[0,T],有

(11)

(12)

由(3),(11),(12)式可知

即

(13)

由(3),(11),(12)式可知

a(t)-b(t)S+c(t)S2=

即

a(t)-b(t)S+c(t)S2<0

(14)

設0<λ<1 且存在x使得

x?-λa(t)x+λb(t)x2-λc(t)x3=0

(15)

將(15)式兩邊同時乘以x′并且在[0,T]上積分得

λc(t)x3x′]dt=0

(16)

由分部積分法得

(17)

將(17)式代入(16)式得

λc(t)x3x′]dt=0.

由(8)式可知,若x∈?Ω1/2,則有S≤|x|≤J1/2.由(3),(11),(12)式可知,于是

這里γ是H2(0,T)嵌入到C1([0,T])中的嵌入常數.矛盾.從而對Ω=Ω1/2,定理2.3的條件(i)成立.

取x∈?Ω1/2∩KerL.則x=S或x=J1/2.由(13),(14)式可知,?x∈?Ω1/2∩KerL，有

(18)

因此，對Ω=Ω1/2,定理2.3的條件(ii)成立.

由(18)式可知

H(x,μ)≠0, ?x∈KerL∩?Ω1/2.

由拓撲度的同倫不變性有

deg(QN,KerL∩Ω1/2,0)=

KerL∩Ω1/2,0)=

下證方程(2)存在第二個解.記

(19)

是Y中的開集.由(12)式可知,存在足夠小的ε,使得對t∈[0,T]有

(20)

于是

(21)

由(14)式可知

a(t)-b(t)S+c(t)S2<0

(22)

設0<λ<1且存在x使得

x?-λa(t)x+λb(t)x2-λc(t)x3=0

(23)

將(23)式兩邊同時乘以x′并且在[0,T]上積分得

λc(t)x3x′]dt=0

(24)

將(17)式代入(24)式得

λc(t)x3x′]dt=0.

由(19)式知,若x∈?Ωε,則有Jε≤|x|≤S.由(3),(20)式可知,A+BS+CS2>0.于是

這里γ是H2(0,T)嵌入到C1([0,T])中的嵌入常數.矛盾.因而對Ω=Ωε,定理2.3的條件(i)成立.

取x∈?Ωε∩KerL.則有x=S或x=Jε.由(21),(22)式可知,?x∈KerL∩?Ωε,有

(25)

因此對Ω=Ωε,定理2.3的條件(ii)成立.

由(25)式可知

H(x,μ)≠0, ?x∈KerL∩?Ωε.

由拓撲度的同倫不變性, 有

deg(QN,Ωε∩KerL,0)=

Ωε∩KerL,0)=-1≠0,

b2-4AC=100-80=20>0,

若周期T滿足

則定理3.1保證了方程

至少有兩個正的T-周期解.