一類帶變號權函數的二階差分方程Dirichlet邊值問題正解的存在性

張亞莉

(西北師范大學數學與統計學院, 蘭州 730070)

(2010 MSC 26A33)

1 引 言

近年來,微分和差分方程邊值問題正解的存在性引起了許多學者的關注[1-11].然而,就我們所知,相應的差分方程邊值問題的研究工作卻相對較少.特別地, Zhang等[1]運用臨界點理論研究了二階差分方程Dirichlet邊值問題

Δ2u(t-1)+λf(u(t))=0, t∈[1, T]Z,

u(0)=u(T+1)=0

(1)

Δ2u(t-1)+λa(t)f(u(t))=0, t∈[1, T]Z,

u(0)=u(T+1)=0

(2)

文獻[1-2]分別在權函數a(t)=1和a(t)≥0情形下研究了非線性差分方程邊值問題正解的存在性.我們自然要問:當二階差分方程權函數變號時,正解的存在性又將如何?本文在權函數變號的情況下研究問題(2)的正解的存在性，所用方法為Leray-Schauder不動點定理.

記G(t,s)為問題Δ2u(t-1)=0, t∈[1, T]Z, u(0)=u(T+1)=0的Green函數，a+(t)=max{0,a(t)}, a-(t)=max{0,a(t)},t∈[1,T]Z.本文總假定:

(H1) λ是一個正參數;

(H3) a:[1,T]Z→R,a不恒為0,且存在常數μ>1使得

t∈[0,T+1]Z.

本文主要結果如下:

定理1.1假設條件(H1)～(H3)成立.則存在λ*>0,使得當0<λ<λ*時問題(2)至少存在一個正解.

2 預備知識

引理2.1(Leray-Schauder 不動點定理[12]) 設E是Banach空間,算子A:E→E全連續.若集合{x|x∈E,x=θAx,0<θ<1}是有界的,則A在閉球T中必有不動點,其中T={x|x∈E,‖x‖≤R},R=sup{‖x‖|x=θAx,0<θ<1}.

引理2.2設h:[1,T]Z→R.則二階線性差分方程Dirichlet邊值問題

Δ2u(t-1)=-h(t), t∈[1, T]Z,

u(0)=u(T+1)=0

(3)

證明 只需驗證u(t)滿足問題(3).事實上,

所以

Δ2u(t-1)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1)=

s(T-t))h(s)+(t-1)(1+T-s)h(t-1)+

t(T-t)h(t)-2(t-1)(1+T-t)h(t-1)+

(t-1)(1+T-s))h(s)-2t(1+

T-t)h(t)+(t-1)(2+T-t)h(t-1)+

(t-1)(1+T-t)h(t))=

-h(t).

另一方面,易證u(0)=u(T+1)=0.因而u(t)滿足問題(3).

Δ2u(t-1)+λa+(t)f(u(t))=0, t∈[1, T]Z

u(0)=u(T+1)=0

(4)

t∈[0,T+1]Z

(5)

顯然，A(X)?X,A是全連續算子，且A的不動點就是問題(4)的解.由于f連續,f(0)>0,取充分小的ε>0使得

f(u)≥δf(0), 0

(6)

(7)

所以

(8)

證畢.

3 主要結果的證明

定理1.1的證明 令

即

(9)

q(t)|f(u)|≤γp(t)f(0), 0

(10)

固定δ∈(γ,1)并設λ*>0,使得當0<λ<λ*時有

(11)

(12)

對于0<λ<λ*,設vλ(t)是問題

(13)

對任意的w∈X,由引理2.2定義算子

w(s))),t∈[1,T]Z

(14)

顯然T(X)?X,T是全連續算子,且T的不動點就是問題(13)的解.由引理2.1,設v∈X,0<θ<1,滿足v=θTv.則

(15)

我們斷言

‖v‖≠λδf(0)‖p‖

(16)

反設‖v‖=λδf(0)‖p‖.則

(17)

且

‖p‖≤λ*δf(0)‖p‖

(18)

由(12)式知

(19)

結合(15)和(19)式得

根據引理2.1,T存在一個不動點vλ(t)滿足‖vλ‖≤λδf(0)‖p‖,且

從而uλ(t)是問題(2)的一個正解.證畢.