應用Gauss-Bonnet定理研究Janis-Newman-Winicour蟲洞的光線引力偏折

李宗海，周 霞，王 霞，李偉軍，賀觀圣

(1. 西南交通大學物理科學與技術學院，成都610031；2. 西華師范大學物理與空間科學學院，南充637009；3. 四川大學計算機學院，成都610065；4. 南華大學數理學院，衡陽421000)

1 引 言

引力透鏡是引力理論的重要研究課題之一. 早在1921年，Eddington 及合作者[1]便借助于光線在太陽引力場中的偏折實驗對愛因斯坦的廣義相對論進行了驗證. 目前，引力透鏡在天文學與宇宙學中有極重要的應用，如探測黑洞、蟲洞、引力單極子、暗物質和暗能量等[2-4].

引力透鏡效應的傳統研究方法是測地線法[5-7]. 該方法因其直觀性被廣泛應用于研究各種時空中的引力透鏡效應. 這種方法不能展現引力偏折角的整體效應，且該方法的相關計算往往較繁瑣. 最近，Gibbons 和 Werner[8]倡導了一種新幾何方法 (GW法). 他們將 Gauss-Bonnet (GB) 定理應用于史瓦西時空對應的光學度規上，得到了計算引力偏折角的有效公式，并表明了引力偏折角是一種整體效應. 其后，Werner[9]將此方法推廣到研究穩態時空中的引力透鏡效應. Gibbons 和 Werner 所發展的這套方法既適用于廣義相對論，也適用于其他引力理論[10-14]，這使得引力透鏡效應的研究成果也層出不窮. 其中，Jusufi 及合作者[10-17]將該方法用于研究蟲洞、宇宙弦等所致的光線引力偏折效應. Ishihara 及合作者[18-19]將 GW 法應用于研究有限距離情形下的光線引力偏折效應. Crisnejo 和 Gallo[20]將 GW 法推廣至研究具有非零靜質量粒子的引力偏折效應. 之后，Jusufi 及合作者[21-22]優化了文獻[20]的方法，借助于引力透鏡效應來區分裸奇點和黑洞及蟲洞.

文獻[11]指出，GW 法關于 JNW 蟲洞中光線的二階引力偏折的計算結果與測地線法的相應計算結果在二階項上存在差異. 我們發現，這種差異源自作者對高斯曲率積分時采用了零階光線軌道方程. 事實上，要正確計算光線的二階引力偏折，必須考慮一階引力效應對光線傳播軌道的擾動. 本文以文獻[11]的研究思想為基礎，采用 GW 法將 JNW 蟲洞引力場中的光線偏折效應計算至三階. 本文也將證明，在史瓦西時空情形下，JNW 蟲洞所致的三階光線引力偏折角將簡化成廣義相對論中光線的三階史瓦西偏折角，從而說明 GW 法與測地線法對引力偏折高階貢獻的計算結果仍然是一致的. 由于諧和規范能較大地簡化計算[5]， 本文將在諧和坐標系中開展研究.

本文結構如下：第2節推導 JNW 蟲洞的諧和規范解；第3節推導 JNW 蟲洞諧和度規對應的光學度規，并計算其高斯曲率；第4節將 GB 定理應用到 JNW 光學度規上，得到計算偏折角的一般式，從而解析計算 JNW 蟲洞所致的三階光線引力偏折角；第5節對本文做出總結.

本文采用幾何單位制G=c=1，并約定希臘字母值域為 {0,1,2,3}，拉丁字母值域為 {1,2,3}.

2 Janis-Newman-Winicour蟲洞的諧和規范解

JNW蟲洞在標準坐標系(t,R,θ,φ)中的線元為[11]:

(1)

其中，γ=M/m. M是ADM質量，m為一常數，兩者與漸近標量電荷q的關系為M2=m2-kq2/2，其中 k(>0) 為物質-標量場耦合常數.

(2)

(3)

(4)

對于上式，一類方便的解為

R=c′r+m

(5)

其中c′為常數. 將方程(5)代入方程(3)，可得

(6)

令γ=1，方程(6)應為史瓦西時空線元. 對比文獻[5]中的史瓦西諧和規范解，可知常數 c′=1. 因此，JNW蟲洞的諧和規范解可表示為：

(7)

3 光學度規及其高斯曲率

由于JNW蟲洞時空是球對稱的，不失一般性，本文僅研究光線在其赤道面 (z=0) 內的引力偏折效應.令ds2=0，可得方程(7)對應的光學度規[8]：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

將方程(10)～(12)代入(9)中，可得

(13)

4 Gauss-Bonnet定理和偏折角

設(D,gij)為二維緊、可定向微分流形. D?S，gij為D的黎曼度規，相應的高斯曲率為K. ?D:{t}→D是D的邊界，由分段光滑的曲線圍成，其測地曲率為κ. 那么，Gauss-Bonnet定理可陳述為[8,11]：

(14)

其中，χ(D)為D的歐拉示性數，αi為曲線交點的外角，如圖1所示.

區域D由分段光滑的曲線?D1，?D2，…,?Dn圍成，α1，α2，… ，αn為曲線交點的外角.

Fig.1 The diagram of the Gauss-Bonnet theorem

The domain D is formed by the piecewise smooth curves ?D1, ?D2, …, and ?Dn, while α1, α2, …, and αnare the exterior angles of the intersections of these curves, respectively.

圖2 Gauss-Bonnet 定理在透鏡幾何中的應用

S、O、L分別表示光源、觀測者和引力透鏡. L在區域DR0外，DR0由光線測地線γg和曲線CR0圍成

Fig.2 The application of the Gauss-Bonnet theorem to the lensing geometry

S, O and L denote the light source, the observer, and the gravitational lens, respectively. L is located outside the domain DR0which is bounded by the light geodesic γgand the curve CR0

下面將GB定理應用于JNW蟲洞的光學度規上. 如圖2所示，考慮由光線軌道γg和一條曲線CR0：r=R0=constant圍成的不包含引力源L的區域DR0. γg與CR0的交點分別為光源S和觀測者O，其交點外角分別為αs和αo，α為光線引力偏折角. 因DR0不包含引力源L，有χ(DR0)=1. 又因光線軌道為測地線，故κ(γg)=0. 由于JNW光學幾何是漸近歐幾里得的，在弱極限近似下，若令R0→，則有αs+αo→π， κ(CR0)→1/R0和dt→R0dφ. 故GB定理可表示為：

(15)

即

α=-?DKdS

(16)

方程(16)說明引力偏折角α是一種整體效應，其與坐標系的選擇無關[8-9].

最后，考慮到方程(10)和(13)，可由方程(16)獲得JNW蟲洞赤道面內精確至3PM量級的光線引力偏折角：

(17)

其中，函數N的2PM解析式可由文獻[7, 23]所倡導的后閔可夫斯基迭代技術來推導，結果如下所示：

(18)

方程(17)是本文的主要結果. 下面討論該式的三種特殊情形：

(1) γ=2 時，對應q為復數的JNW蟲洞. 在此情形下，方程(17)簡化為：

(19)

(2)γ=1/2 時，對應q為實數的JNW蟲洞. 此時方程(17)簡化為：

(20)

(3)γ=1 時，對應史瓦西時空. 此時方程(17)簡化為：

(21)

根據上面的結果可知如下兩點：第一，方程(17)右邊的偏折角一階貢獻項與文獻[11]的結果一致，而二階項與文獻[11]的結果存在差異. 這種差異來源于文獻[11]在計算偏折角二階貢獻時忽略了一階引力勢對光線傳播方程的擾動效應. 正是這種近似處理誤導了作者，使其在該文獻中做出GW法和測地線法對于引力透鏡效應的計算僅在一階偏折近似下一致的結論. 第二，由方程(21)可知，對于史瓦西時空這種特殊情形 (γ=1)，本文用GB定理所得到的三階光線引力偏折角與測地線法的結果[24]完全一致. 這說明GW法與測地線法在計算高階引力透鏡效應時也是自恰的.

5 結 論

本文借助于Gauss-Bonnet定理計算了JNW蟲洞赤道面光線的弱場引力偏折效應. 主要結論如下：(1) 獲得了JNW蟲洞引力場中光線的三階偏折角. 其中，該偏折角的二階貢獻項和三階貢獻項的上述解析式均屬于首次出現. (2) 本文的計算證明了GW法與測地線法在計算高階 (如二階和三階) 引力偏折效應時也是自恰的. (3) 獲得了JNW蟲洞在諧和坐標系下的嚴格度規.