問題導學，助力學生思維生長

■黃秀旺

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用?！碧K聯心理學家馬丘斯金認為，問題是思維的起點，問題的解決過程也就是創造性思維的產生過程。因此，在數學課堂上，教師只有用問題激發學生思考，引導他們進行自主學習，才能讓學生在獲取知識與技能的同時發展思維能力，從而實現數學教育的目的?！盎诔踔猩季S力生長的問題導學式課堂”就是要通過問題驅動，展示數學思維過程，為學生的思維力生長創造必要條件。那么，該如何結合教學內容，設置有利于學生思維生長的問題呢？

一、關注知識點，基于整體設計問題

課標指出：“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性……”據此，我們在實際教學中，嘗試把每一節課的教學內容都置于整體知識的體系下設計問題，通過問題引導、問題分析、問題解決等環節，幫助學生建構新知識，掌握新方法。在一系列問題的引領下，學生的思維的深刻性、廣闊性、靈活性可得到明顯提升。

案例1“分式的乘方”問題設計。

“分式的乘方”為人教版數學教材八（上）第15章第2節“分式的運算”第2課時的教學內容。在傳統教學中，教師通常帶領學生先復習分式的乘除運算法則，然后從例4導入第2課時的學習；接下來，通過帶領學生思考如何探索分式的乘方，過渡到例5。這樣的教學過程不免出現了以訓練為主的現象，學生的思維沒有得到很好的拓展。實際上，如果我們將“分式的乘方”置于“數與式的運算”的知識體系中來思考，就會產生許多疑問：為什么本節課要學習這些內容？如何研究“分式的乘方”？之前學習過類似的方法嗎？許多教師沒有思考過這些問題，只是根據教材按部就班地進行教學。而正是因為沒有進行思考，才使得我們在課堂上看不到學生的“真正學習”。學生不知道數學家是如何探究數學知識的，就不會產生思辨的興趣并進行積極探索。而當我們將“分式的乘方”置于“數與式的運算”的知識體系中思考時，以上疑問就會迎刃而解。學習有理數運算，我們會依次經歷有理數的加減法、乘除法、乘方與開方，代數式的運算也是如此。以此類推，分式運算的學習也應是從加減、乘除，再到乘方。探究“分式的乘方”，既可以從具體的例子歸納出一般性的結論，也可以進行類比分析。在學習過程中，學生完全可以運用已經積累的經驗，進行自主探究。

基于以上分析，筆者給出的“分式的乘方”的問題設計如下：

環節1：提出問題。

問題1：我們已經學習了分式的乘除運算，接下來，大家認為該學習什么運算？

環節2：探究分式乘方的法則。

問題2：怎么研究分式的乘方運算？

追問1：分式的乘方是一個什么樣的形式？不妨寫一寫。

追問2：寫出探究分式乘方運算法則的過程，并說說你是如何想到的。

環節3：分式的乘除、乘方的運用。

問題3：至此，我們學習了分式的乘除法和分式的乘方。按照運算的級數劃分，它們有哪些情形？請舉例說明。

環節4：課堂小結。

問題4：通過本節課的學習，大家有哪些收獲？

以上問題設計，力求將“分式的乘方”置于分式運算，乃至“數式運用”的整體知識體系中，以便于學生進行知識點的自然勾連，從而實現思維的延展。在許多課堂上，教師總是抱怨學生不能積極思考和主動參與，造成課堂氣氛壓抑。其實，教師有沒有設計出精彩的問題，才是課堂氣氛活躍與否的關鍵。

二、前后一致，基于過程設計問題

章建躍老師認為：“教學中，要以數學地認識問題和解決問題為核心任務，以數學知識的發生發展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索，為學生構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數學知識的過程中學會思考?！币虼?，在進行問題設計時，我們也要注意堅持前后一致、邏輯連貫的理念。

案例2“立方根”問題設計。

“立方根”為人教版數學教材七（下）第6章“實數”第2節的教學內容。學生在第1節課學習了“平方根”，經歷了提出問題、研究問題、獲得結論的全過程。如果教師在教學“立方根”時，不考慮讓學生進一步鞏固、提升前面掌握的學習方法，那就喪失了一次讓學生的思維生長的好機會。因此，要想讓學生在學習“立方根”時，體驗前后一致、一以貫之的學習過程，教師不妨思考以下問題：（1）研究“平方根”時，我們是如何提出問題的？研究“立方根”時，也可以這樣提問題嗎？（2）“平方根”的教學方式屬于哪種類型？“立方根”的教學方式可以和“平方根”的一樣嗎？（3）給“平方根”下定義后，“平方根”的符號表示是何時提出的？對于許多數學概念，我們下定義后就可以給出符號表示，而“平方根”卻不是這樣，為什么？“立方根”相應的情況又是怎樣的？（4）我是如何讓學生掌握“平方根”的特征及性質的？“立方根”的特征及性質的教學，我是不是也可以這樣處理呢？解答了以上問題，其實就解答了“平方根”這一數學概念的發生、發展過程，以及學生理解“平方根”的心理過程。而教師在教學“立方根”時，也可以參照以上問題進行教學設計：

環節1：問題情境。

問題1：要制作一個容積為27m3的正方體形狀的包裝箱，包裝箱的棱長應該是多少？

追問1：你打算怎樣解決這個實際問題？請簡要說出過程。

追問2：你是怎么想出來的？

追問3：有沒有其他解法？

環節2：探究活動。

問題2：請回顧學習平方根的過程，思考以下問題：（1）平方根的學習是基于一個什么現實問題而提出的？它又引出了哪一個數學問題？（2）平方根的學習包含哪些內容？建議畫圖表示。（3）剛剛提出的問題，實際上就是研究當x3=a時，x是什么數。你打算如何展開研究？請結合下圖，畫出研究路線圖。

問題3：（1）什么叫作a的立方根？用式子如何描述a的立方根？（2）什么叫開立方？它與立方有何關系？請舉例說明。

追問1：定義a的立方根的合理性。

追問2：a的立方根為什么不像a的平方根（當a為正數時）一樣，在根號前面加上±號（表示為）呢？

問題4：你能求出下列各數的立方根嗎？8，27，0.125，0.08，0，-1，-125，-8

追問1：你發現了什么？

追問2：你能說出數的平方根與數的立方根有什么不同嗎？

追問1：你發現了什么？能用一個式子來表示其中的規律嗎？

問題6：請你結合立方根的學習路線圖，回顧整個探索過程及每一個探索環節，說出成功與不足之處。

問題7：說出探索平方根與立方根的過程中的異同點。

以上問題引領學生經歷概念學習的基本過程：舉例子（給情境）—建規則—下定義—再運用。實際教學效果反映，體現前后一致、一以貫之的學習過程的問題設計，可以提升學生的思維探究能力及學科核心素養。

三、尋求聯系，基于類比設計問題

數學課程的總目標是讓學生能“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。因此，在進行問題導學時，我們也要注意尋求知識點之間的聯系，基于類比思維來設計問題。

案例3“一元一次不等式組”問題設計。

“一元一次不等式組”為蘇科版數學教材七（下）第11章“一元一次不等式”第6節的教學內容?！胺匠探M”與“不等式組”是不同的知識，但是上升到“數量關系”層面后，它們會有許多相似之處。比如，“一元一次方程”和“一元一次不等式”的定義、解，“二元一次方程組”和“二元一次不等式組”的解，都有類似之處。因此，本節課就可以通過尋求“方程（組）”與“不等式（組）”之間的聯系來設計問題，引導學生運用聯想、類比、對比等數學思維方式，自主建構新知。具體設計如下：

環節1：問題導學。

問題1：一個長方形的周長為16cm，長比寬多2cm。設長、寬分別為xcm、ycm，試列出二元一次方程組表示這個長方形的長與寬之間的數量關系。

追問1：基于以上信息，你將提出哪些問題，又將如何解決？

追問2：你建立方程或方程組的根據是什么？

問題2：二元一次方程x-y=2的解有多少個？二元一次方程2x＋2y=16的解有多少個？二元一次方程組的解有多少個？是如何確定的？

環節2：探索活動。

活動1：構建一元一次不等式組的概念。

問題：小麗早晨7時30分騎自行車上學，要在7時50分至7時55分之間到達離家3400m的學校。小麗騎自行車的速度應在什么范圍內？

追問1：問題中包含的數量關系是什么？

追問2：如果設小麗騎自行車的速度為xm/min，那么，如何表示以上數量關系呢？

追問3：問題中的未知數x應該滿足什么條件？

活動2：解不等式組。

問題：類比二元一次方程組的求解過程，請你思考，如何確定使一元一次不等式組中兩個一次不等式都成立的未知數x的值。

問題1是“從問題到方程（組）”的問題設計，問題2是“確定二元一次方程組的解”的問題設計。案例3告訴我們，學習不等式，可以尋求它與方程的聯系。以此類推，學習任何知識點，教師都可以引導學生尋求相應的聯系，從而培養前后貫通、舉一反三的思維方式。

總之，“基于初中生思維力生長的問題導學式課堂”的核心是問題。在教師精心設計的問題的引導下，在解決問題的過程中，學生獲得了知識與技能，發展了數學思維能力，提高了學科核心素養。