磨課:初中數學課堂教學的實踐探索
——以“關于函數的銷售問題”為例

■劉冬艷

課堂教學是教師教學實踐的主要途徑。教師要上出適應學情的好課，為課堂注入新的血液，賦予課堂新的生命，就要經歷磨課。課堂教學應具有創新性、藝術性，磨課就是課堂教學煥發活力的不竭源泉。課堂教學在集體智慧的推敲中更加完美，教師的專業素養在磨課中也不斷提升。2019年5月，筆者參加了泰州市初中數學優質課評比觀摩研討活動，執教的課題是“關于函數的銷售問題”，下面談談此次磨課的過程與感受。

一、初次備課

教學目標：利用關鍵詞、句，找等量關系或不等量關系；把方程轉化為函數；求一次、二次函數的極值。教學重點：利用關鍵詞、句，找等量關系或不等量關系。教學難點：求一次、二次函數的極值。

教學過程：

1.知識回顧，重梳理。

復習回顧一：（1）利潤=售價-成本；（2）總成本=單件成本×數量；（3）總銷售額=單件售價×銷量；（4）總利潤=（單件售價-單件進價）×銷量。

復習回顧二：

（1）函數的極值。

（2）一次函數：①當k＞0 時，y隨x的增大而增大。當x取最小值時，y有最小值；當x取最大值時，y有最大值。②當k＜0 時，y隨x的增大而減小。當x取最小值時，y有最大值；當x取最大值時，y有最小值。

2.牛刀小試，巧轉化。

牛刀小試：五一期間，某商場計劃購進甲、乙兩種商品，甲商品每件進價30元，乙商品每件進價70 元。商場決定甲商品以每件40 元出售，乙商品以每件90 元出售。為滿足市場需求，需購進甲、乙兩種商品共100 件。該商場要獲利1200元，應如何進貨？

團隊智慧：請每個小組根據以上實際問題，設計一道用一次函數解決的實際問題。

團隊智慧展示：挑選有代表性的小組進行成果展示。

3.中考體驗，顯身手。

（1）（2017·泰州）怡然美食店的A、B兩種菜品，每份成本均為14 元，售價分別為20 元、18元。這兩種菜品每天的營業額共為1120 元，總利潤為280元。

①該店每天賣出這兩種菜品共多少份？

②該店為了增加利潤，準備降低A種菜品的售價，同時提高B種菜品的售價。售賣時發現，A種菜品售價每降0.5 元可多賣1 份；B種菜品售價每提高0.5 元就少賣1 份。如果這兩種菜品每天銷售總份數不變，那么這兩種菜品一天的總利潤最多是多少？

（2）（2018·揚州）“揚州漆器”名揚天下。某網店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系，如圖1所示。

①求y與x之間的函數關系式；

②如果規定每天漆器筆筒的銷售量不低于240 件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大？最大利潤是多少？

③該網店店主熱心公益事業，決定從每天的銷售利潤中捐出150 元給希望工程。為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600 元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍。

4.融會貫通，談總結。

本節課的收獲：（1）掌握的知識技能；（2）掌握的思想方法。

二、磨課

專家和同行對教案提出以下幾個問題：

1.教學目標，教學重、難點不準確。

本節課重在引導學生建立函數模型，借助函數模型利用函數的性質解決問題，因此教學目標應更改，教學重、難點應做相應調整。

2.課堂增加第二授課人，實現名師進課堂。

增加環節，播放優秀“泰微課”：講解無錫市2018年數學中考第25題。此微課引導學生如何利用題目中的關鍵詞、語句，找等量、不等量關系，并利用自變量x的取值范圍分類討論，最后以總結解題方法的形式結束。雖然只有簡短的6 分19 秒，但可以實現學生對一次函數的基本知識、技能和常用解題經驗及思想方法的整體認知。

3.課堂容量偏小，課堂難度設置偏低。

播放優秀“泰微課”后，增加最值問題，旨在提高學生將表格中蘊含的信息與已知條件融會貫通的能力。通過本環節的訓練，學生加深了對自變量的取值范圍在最值問題中的重要地位的認識和體會，逐步養成分類討論的習慣。

4.課堂總結，問題設置要有針對性、實用性。

課堂總結不能只關注學生掌握的知識技能、思想方法，還應關注學生在解決問題過程中的學習體驗。學生通過印象深刻的學習體驗可以有效躲避易錯點。學生在每節課的學習體驗中都會有或多或少的困惑，談談困惑可以為后續復習與能力提升服務。

三、最終教案

1.教學目標更改為：

（1）感受如何將方程問題轉化為函數問題。

（2）感受建立一次或二次函數模型解決問題的必要性。

（3）借助函數及其圖像解決實際問題，感悟數形結合、函數建模、分類討論、轉化、方程等數學思想。

2.教學重點更改為：結合實際問題建立一次或二次函數模型。

3.教學難點更改為：如何建立函數模型。

設計說明：中考數學復習課重在促進學生數學核心素養的發展，引導學生從更高的視角看問題，以便整合零散的、瑣碎的問題，從而本質地看待所學過的內容。方程、函數是初中代數領域的主要數學模型，這些模型有利于學生形成建模的素養。因此本節課的教學目標、重難點應更改為“結合實際問題建立一次或二次函數模型”“如何建立函數模型”。數學建模中，“建”的過程比“用”更重要。

4.增加“名師授課提素養”教學環節，課堂增加第二授課人，實現名師進課堂。

播放優秀“泰微課”——解答無錫市2018 年數學中考第25 題：一水果店是A酒店某種水果的唯一供貨商，水果店根據該酒店以往每月的需求情況，本月初專門為他們準備了2600kg 的這種水果。已知水果店每售出1kg 該水果可獲利潤10 元，未售出的部分每千克將虧損6 元。以x（單位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月對這種水果的需求量，y（元）表示水果店銷售這批水果所獲得的利潤。

（1）求y關于x的函數表達式；

（2）問：當A酒店本月對這種水果的需求量如何時，該水果店銷售這批水果所獲的利潤不少于22000元？

設計說明：“微課”作為一種新的教學形式走進課堂，具有形式“微”、內容“精”、整體“妙”等特點。雖然只解決一個或兩個問題，但它短小精悍，就像是課堂教學這盤知識大餐的招牌菜，學生可品嘗到泰州名師燒出的各種知識美味，數學課堂也因“泰微課”的出現豐滿起來。

5.增加“泰微課”的配套練習（連云港市2018年數學中考第24題）：

某村在推進美麗鄉村活動中，決定建設幸福廣場，計劃鋪設相同大小規格的紅色和藍色地磚。經過調查，獲取信息如下：

紅色地磚藍色地磚購買數量不低于5000塊以八折銷售以九折銷售購買數量低于5000塊原價銷售原價銷售

如果購買紅色地磚4000 塊，藍色地磚6000塊，需付款86000 元；如果購買紅色地磚10000塊，藍色地磚3500塊，需付款99000元。

（1）紅色地磚與藍色地磚的單價各多少元？

（2）經過測算，需要購置地磚12000 塊，其中藍色地磚的數量不少于紅色地磚的一半，并且不超過6000塊，如何購買付款最少？請說明理由。

設計說明：“泰微課”的講解實際上是以點帶面，從而喚醒學生對解題策略的思考，充分滿足學生嘗試用“模式識別”解答中考題的興趣。教師要引導學生在“模式識別”的過程中，注意運用分類討論、轉化與化歸的數學思想對模式加以重組。中考復習，解題教學不僅要引導學生梳理舊知，形成網絡，更要引導學生在解題過程中積累經驗，最終提高學生分析問題、解決問題的能力。

6.課堂總結更改為：

（1）如何結合實際問題建立一次或二次函數模型？需要注意什么？（2）本節課你學到了哪些數學思想方法？（3）本節課你有哪些學習體驗？關于方程、函數的銷售問題，你還存在哪些困惑？

設計說明：課堂總結既要關注學生掌握的知識技能、思想方法，還應關注學生在解決問題過程中的學習體驗，通過印象深刻的學習體驗可以有效躲避易錯點。

四、磨課效果及反思

增加“名師授課提素養”教學環節后，學生對新型的教學形式充滿好奇，在好奇心的驅動下，對“泰微課”配套練習產生了濃厚的興趣。通過小組合作交流，學生嘗試從已有的學習經驗出發，先進行“模式識別”，再類比學習名師講授的數學模型，尋找數學知識之間的內在聯系。雖然配套練習具有挑戰性，但學生很享受建立數學模型并求解的學習體驗。這個教學環節的增加不僅提高了學生解決問題的能力，還給予學生解決問題的鑰匙。

課堂總結對于數學課堂而言就是“收口”“點睛”的優化作用。更改后的課堂總結不僅可以幫助學生形成完整的知識體系，深化學生的思維水平，還能培養學生積累學習體驗、善于提出問題的良好習慣，提高了學生的數學核心素養。