軟黏土中裙板式條形基礎的不排水極限承載力

方舟，趙志峰，馬青

（南京林業大學土木工程學院，南京 210037）

1 問題的提出

基礎設計必須滿足地基承載力要求，即基底壓力不能超過地基土的允許承載力。當上部結構產生的基底壓力較大時，可能面臨地基承載力不足的問題。根據地基承載力理論，增大基礎埋深可提高地基承載力。但由于淺基礎多為實體結構，自重較大，埋深增加后基礎和回填土產生的自重壓力也隨之增大。在保證埋深的前提下，減少基礎結構的自重，對于滿足地基承載力要求具有實際意義。

裙板式基礎（如圖1 所示）通過在淺基礎下方設置裙板，起到增大基礎埋深并減輕基礎自重的作用［1-2］。裙板式基礎首先在海洋平臺建設領域得到了成功應用，國外學者研究了不同荷載條件、不同尺寸的裙板式基礎極限承載力，證明了裙板式基礎對于提高地基承載力具有積極作用［3-5］。但海洋平臺建設中使用的主要是圓形或桶形裙板基礎，對其他形狀裙板式基礎的地基承載力研究成果較少。筆者對黏性土中裙板式條形基礎的不排水極限承載力開展研究，分析裙板的設置對地基承載力的影響，以探討承載力的理論計算方法。

圖1 裙板基礎與實體基礎示意圖Fig.1 Schematic diagram of skirted and embedded footings

2 裙板式條形基礎的數值模擬

2.1 研究方案

2.1.1 基本參數

地基土為均質黏性土，重度取18 kN／m3。采用摩爾庫侖本構模型，不排水抗剪強度cu為常數，內摩擦角為零。黏性土的變形模量取不排水強度的500 倍［1，6］，即E／cu=500?；A材料為C30 混凝土，用線彈性模型模擬，彈性模量取30 GPa，泊松比取0.2?；A板的厚度取0.4 m，裙板的厚度取0.2 m。

2.1.2 參數變量

根據已有對裙板基礎承載力影響因素的研究［7-8］，本次模擬中考慮了3 個參數。

1）不排水強度cu：取值20，30，50 kPa ；

2）基礎寬度b：取值1，2，5 m；

3）裙板相對高度d／b：取值0.2 和0.5。

2.2 數值模型的建立

使用有限元軟件對實體基礎和裙板淺基礎進行數值模擬，裙板基礎和實體深基礎的幾何模型如圖1 所示?；A寬度為b，裙板高度為d，相對高度用d／b來表示。土與基礎底面和裙板間均設置接觸面，基礎底面和裙板與土完全粗糙接觸，土體與基礎不會脫開。為了避免邊界條件的影響，將地基土水平建模范圍設置為從基礎中心向兩側各延伸6b，豎向范圍為從基底向下延伸5b以上。給模型底部施加完全約束，給兩側豎直邊界施加水平約束［9］。建模時不考慮地下水。

為提高數值計算準確性，對裙板基礎深度范圍進行了網格的局部加密。計算時先生成自重地應力場，然后通過在基礎上施加指定位移的方法來確定極限承載力。有研究表明，相較于荷載控制法，位移控制法能更好地給出地基破壞條件下的結果。為了便于比較不同基礎寬度時的承載力，施加的位移取相對值，即制定位移為0.2b。

2.3 數值計算結果

采用有限元計算軟件建立裙板式條形基礎的數值模型，然后通過施加指定位移研究地基極限承載力。為了驗證數值計算的合理性，建立了無裙板（即d=0）的基礎模型，并計算得到當不排水強度cu=20 kPa 時，其極限承載力pu為102 kPa，與不排水條件下的理論極限承載力5.14cu（102.8 kPa）非常接近。

施加制定位移后，地基土顯示出明顯的整體剪切變形趨勢。圖2 為cu=20 kPa、d／b=0.2 時，不同基礎寬度時的變形情況。如圖2 所示，裙板下方形成了類似“剛性核”的三角形區域，該區域的地基土同基礎一起向下位移、擠壓兩側土體，使塑性變形區延伸至地表，達到整體剪切破壞狀態。裙板內的地基土受到裙板的約束也成為“剛性核”的一部分，這說明裙板式基礎的變形模式與相同埋深的實體基礎類似，但使用的材料更少。

相比平板式基礎，裙板式基礎的地基承載力有明顯的提高。當土體強度不變時，影響承載力的主要因素是裙板的相對高度d／b。當b=1 m、cu=20 kPa 時，d／b=0.2 時的極限承載力pu為126 kPa，比不設裙板時（d／b=0）提高了24%；d／b=0.35 時，pu比不設裙板時提高32%；當d／b=0.5 時，pu為143 kPa，pu提高了40%。

3 地基極限承載力的理論分析

3.1 承載力計算公式的推導

已有關于不同形狀裙板式基礎承載力的研究多是采用數值計算方法，得到統計性的經驗公式［10-11］。數值計算的結果表明，裙板基礎的變形破壞模式與相同埋深的實體基礎近似，因此可以通過理論分析實體基礎的極限承載力以得到裙板基礎的承載力。

地基承載力作為土力學的經典問題，眾多學者對其開展了理論研究，其中普朗德爾和太沙基極限承載力理論應用較廣。兩個理論在推導條形基礎的極限承載力時，都認為滑動面沒有延伸至地表，而是將滑動面的終點限制在基底平面上，并且不考慮基礎兩側土的抗剪強度對承載力的貢獻。這對于有埋深的基礎并不符合實際。梅耶霍夫對此進行了修正，認為應考慮地基土中塑性區隨基礎埋深的變化，并且應計入基礎兩側土的強度對承載力的影響。因此，可以利用梅耶霍夫的求解思路來分析裙板式條形基礎的極限承載力。

圖3 為地基承載力分析示意圖。梅耶霍夫認為當地基發生整體剪切破壞時，其滑動面一直延伸至地表的E 點，滑動面由直線AC、對數螺旋曲線CD 和直線DE 組成，其中AC 與水平面的夾角為（45°+φ／2）?；A側面BF 作用在土上的應力σa和τa以及基礎兩側BEF 土重的影響，可由等代自由面BE 上的應力σ0和τ0來代替［12］。BE 面與水平面的夾角為β，BD 面與BE 面的夾角為η?；A寬度為b、埋深為d，地基土的黏聚力為c、摩擦角為φ、重度為γ、靜止側壓力系數為K0。

圖3 地基承載力分析示意圖［12］Fig.3 Schematic diagram of bearing capacity analysis

根據力的平衡條件可求出σ0：

其中，δ為基礎側面與土之間的摩擦角。

BE 面上的切向應力為：

式中，m為抗剪強度動用系數，在0～1 之間取值。在求解式（1）時需要確定β值，β無法直接計算求出，需要迭代求解。

根據推導可求出地基極限承載力pu：

式中，Nc、Nq、Nγ為承載力系數，可通過下列公式確定［11］：

式中，θ為對數螺旋曲線CD 的中心角，θ=3π/4+β -η -φ/2。承載力系數Nγ需通過試算采用經驗公式［13］確定：Nγ=(Nq -1) tan 1.4φ。

從上述分析可以看出，梅耶霍夫雖然考慮因素比較全面，但涉及的參數較多，且承載力系數與內摩擦角相關［14］，有些無法直接求解需要迭代計算，計算比較復雜。但當地基土為不排水軟黏土時，φ=0、黏聚力為cu，靜止側壓力系數K0=1，承載力系數Nγ=0、Nq=1，此時公式（3）可簡化為：

公式（7）的求解需要確定承載力系數Nc，根據公式（4）計算Nc需要確定出角度θ和η，求解不便。但當φ=0 時，若BE 面上的抗剪強度全部發揮（即m=1），則η=0（BE 與BD 面重合），此時θ=3π／4+β。在這種特定情況下，承載力系數Nc的值可通過羅必塔法則求解，得到：

將式（8）代入式（7），可得到：

當φ=0 時，對數螺旋曲線半徑不變，即BG 的長度與BC 相同。此時β角的數值由基礎埋深d和寬度b確定。根據幾何關系可得：

由式（10）可得到β角，然后根據經驗確定出基礎側面與土之間的摩擦角δ，此時使用公式（9）可計算出不排水條件下裙板基礎的極限承載力。

關于埋深對地基承載力的影響，有些學者在進行了大量計算統計的基礎上，提出采用經驗公式計算。例如Skempton、Salagado 等學者［15］建議用以下經驗公式計算Nc：

根據式（11）得到的地基土極限承載力為：

3.2 理論解與數值計算結果對比

為了驗證公式（9）、（10）的有效性，將根據公式得到的理論解與數值計算結果進行對比。在應用公式（9）、（10）時，基礎側面與土之間的摩擦系數取0.5（數值計算發現此摩擦系數對結果影響很?。?。

圖4 為基礎寬度b=1 m、裙板相對高度d／b為0.2 和0.5 時，理論解和數值計算的結果對比。其中本文公式解指的是用公式（9）、（10）的計算結果，經驗公式解是使用公式（11）、（12）的解答。從圖4A 可以看出，d／b=0.2 時，裙板基礎的極限承載力隨著不排水強度cu的增大而提高。當不排水強度cu=20 kPa 時，3 種方法得到的結果非常接近；cu增大到30 kPa 時，本文公式的解答同數值計算結果仍很接近，而經驗公式的結果略低；當cu為50 kPa 時，經驗公式的解答偏低更明顯。d／b=0.5時，不同黏聚力下本文公式計算出的承載力同數值計算解接近，而經驗公式得到的解答低于前兩種方法。這主要是由于經驗公式（11）是僅通過承載力系數Nc來考慮基礎埋深對承載力的貢獻，計算公式偏簡單；之前的系數0.27 是通過對計算結果的統計得到的，缺乏理論意義，導致計算出的Nc和極限承載力qu偏低，而且當不排水強度cu較大時，這種偏低的趨勢會更加明顯。

圖4 基礎寬度b=1 m 時幾種方法的計算結果對比Fig.4 Comparison results of different calculating methods when b=1 m

b=2 m 時，幾種方法的結果對比整理見圖5。由圖5 可見，幾種計算結果的變化趨勢同b=1 m時相似。當不排水強度cu=20 kPa 時，本文公式、經驗公式的解答同數值計算結果比較接近；當cu為30 和50 kPa 時，本文公式得到的解答同數值計算解接近，但經驗公式的解答明顯偏低?；A寬度b為5 m 時的結果也類似，故不再贅述。這表明當地基土為不排水軟黏土時，使用本文推導出的公式計算出的裙板式條形基礎極限承載力同數值計算結果比較接近，而使用經驗公式或者不考慮埋深影響的太沙基等方法得到的承載力明顯偏小，會低估基礎的承載力從而造成不必要的浪費。

圖5 b=2 m 時幾種方法的計算結果對比Fig.5 Comparison results of different calculating methods when b=2 m

4 結論

1）建立了黏性土中裙板式條形基礎的數值模型，通過數值模擬的方法確定極限承載力。地基土的變形特征表明，裙板基礎下方土體在裙板的約束下形成剛性核，并隨基礎向下運動擠壓兩側土體直至整體破壞。裙板式條形基礎的破壞模式類似于相同埋深的實體基礎。

2）相比平板式基礎，裙板式條形基礎通過約束基底土的剪切位移可提高地基極限承載力。數值計算表明，當基礎寬度和黏性土不排水抗剪強度不變時，地基土極限承載力隨著裙板相對高度d／b增大而提高。

3）通過理論推導得到黏性土中裙板式基礎地基承載力的計算公式。參考梅耶霍夫承載力理論，推導出考慮基礎側面土抗剪強度的極限承載力計算公式。將本文公式計算結果和數值計算解與經驗公式解進行對比，結果表明本文公式的計算結果與數值計算解比較接近，而且計算簡便。