基于極限平衡法的砂土中條形基礎極限承載力計算方法

趙志峰，馬青，方舟

(南京林業大學 土木工程學院，南京 210037)

天然地基極限承載力作為巖土力學中的基本問題，受到了學術界和工程界的重視。Terzaghi、Meyerhof等采用不同的方法，推導出了地基極限承載力的計算公式并給出了相應的承載力系數。

目前常用的分析方法有：塑性極限分析法、滑移線法和極限平衡法[1]。這3種承載力理論計算方法各有特點：極限分析法理論上比較嚴密、推導相對比較復雜；滑移線理論能求得無重土極限承載力精確解[2]，但對有重土需要結合其他方法求解；極限平衡法由于推導簡便而得到了普遍應用。以Terzaghi為代表的學者分析了基底以上堆載q、基礎寬度b和黏聚力c對承載力的影響，給出了被廣泛應用的地基承載力計算公式

pu=cNc+qNq+0.5γbNγ

(1)

式中：承載力系數Nc、Nq、Nγ均為內摩擦角的函數。

對于砂土，黏聚力為零，式(1)改寫為

pu=qNq+0.5γbNγ

(2)

由于理論推導中會采取不同的簡化，因此，各學者得到的承載力系數表達式有所不同。文獻[3]中列出了當基底完全粗糙時Terzaghi理論的承載力系數[3]

(3a)

(3b)

式中：Kp為被動土壓力系數。Terzaghi和Peck建議由半經驗公式計算Nγ

Nγ=1.8(Nq-1)tanφ

(4)

Lyamin等[4]總結了Hansen、Bolton等學者關于承載力系數的研究成果。承載力系數Nq可表示為

Nq=eπtan φ·tan2(π/4+φ/2)

(5)

對于承載力系數Nγ，由于很難給出嚴密的推導，所以，不同學者給出了各自的經驗公式，這給使用者帶來了困難[5-6]。其中，比較有代表性的有

Hansen等提出的Nγ=1.5(Nq-1)tanφ

(6a)

Vesic[7]提出的Nγ=2(Nq+1)tanφ

(6b)

Lyamin等[4]提出的Nγ=(Nq-1)tan(1.32φ)

(6c)

需要指出的是，Terzaghi采用疊加方法計算承載力系數Nc、Nq、Nγ，由于計算時采用不同破壞模式的疊加，因此，推導出的承載力與真實值存在差異[8-9]。模型試驗和現場試驗也表明，采用某些經典模型計算出的極限承載力偏于保守。

隨著有限元等數值計算方法的普及，很多學者傾向于采用數值模擬方法研究承載力問題。數值模擬方法假定少、適用范圍廣，但計算結果缺少普遍性，可以與理論分析法相互補充。目前，仍有學者通過理論分析來研究地基承載力，研究主要集中在：采用非疊加方法計算承載力系數；推導不同形狀基礎的地基承載力解析解；計算非均質地基條件下的極限承載力。

筆者采取極限平衡法在同一破壞模式下研究砂土上條形基礎的承載力，推導考慮埋深和土體重度的極限承載力解析解，提出相互獨立的承載力系數計算公式，并將推導結果同經典解答以及文獻中的試驗結果進行對比，驗證公式的合理性和適用性。

1 公式推導

推導中采用經典承載力理論的基本假定：條形基礎基底粗糙，土體視為理想剛塑性模型且服從Mohr-Coulomb屈服準則，在極限荷載下土體發生整體剪切破壞。

設基礎寬度為b、埋深為d、基底以上由于土重產生的堆載為γd，考慮對稱性，取一半進行分析，分析簡圖如圖1所示。根據各學者普遍認可的破壞模式，在基底最大壓力pu作用下，土中破壞面分為3個區：三角形ABC為彈性核，水平夾角為θ1；ACD為過渡區、邊界CD為對數螺旋線，中心角為θ2；ADG為被動區，AD與水平面的夾角為45°-φ/2。

當基底壓力增大時，破壞面逐漸向地表發展。此時，土體自重應力σcz會在AD面上產生正應力σn和剪應力τn。CD面上作用著抗剪強度τz，AC面上也作用著正應力和剪應力。以ACD為研究對象，當土體處于極限平衡狀態時，各力對A點的力矩應平衡。由于作用在AC和AD面上的剪應力對A點力矩為零，所以只需考慮兩個面上的正應力產生的力矩。為了便于分析，將AD面上的正應力進行分解。

圖1 極限承載力分析簡圖Fig.1 Analysis sketch of bearing capacity

如圖2所示，作用在AD面上的正應力分成兩種：一種是由于基底以上的堆載γd產生的，沿AD面保持不變；一種是由在AD高度范圍內的土體自重產生的，沿AD呈三角形分布。

圖2 AD面上的正應力Fig.2 Normal stress on AD plane

根據幾何關系可得到

(7)

(8)

σn1對A點產生的順時針力矩M1為

(9a)

σn2對A點產生的順時針力矩M2為

(9b)

CD面上的抗剪強度也會對A點產生順時針力矩。由于在θ2范圍內的半徑是變化的，方程為γ=γ0eθ2tan φ,γ0=AC。而在CD面上的砂土抗剪強度與該點所受正應力有關，為便于推導假設在CD面上的抗剪強度τz為定值。根據文獻[3]列出的Meyerhof的推導思路，可得到其對A點的力矩M3為

(9c)

作用在AC面上的正應力會對A點產生逆時針的力矩。與AD面相似，對AC面上正應力進行分解如圖3。

圖3 AC面上的正應力Fig.3 Normal stress on AC plane

兩種應力對A點的力矩分別為

(9d)

(9e)

根據A點的力矩平衡，可得到

(10)

式中:AD=γ0eθ2tan φ，式(10)寫為

(11)

(12)

將式(7)、式(8)代入式(12)，并化簡得

(13)

(14)

將式(14)代入式(13)，得到

(15)

圖4 ABC受力分析Fig.4 Stress analysis of soil body ABC

(16)

將式(15)代入式(16)，化簡后得到

pu=qNq+0.5γbNγ

(17)

其中

(1+tanφtanθ1)

(18)

(19)

式(18)、式(19)中除了砂土的內摩擦角外，涉及的變量只有兩個：θ1、θ2。根據圖1的幾何關系，θ2=135°-θ1+φ/2。而ABC的夾角θ1，學者們有不同的取值，根據Terzaghi和數值模擬的研究，θ1的大小與土的內摩擦角比較接近，故取θ1=φ。

2 承載力系數的比較

通過以上推導得到了作用下砂土上的條形基礎承載力系數表達式。已有的承載力理論大多是先推導出Nq的表達式，再通過經驗法得到Nγ與Nq的關系(如式(4)、式(6a)、式(6b)、式(6c))。本文直接推導出兩個系數的計算公式，方便使用。

表1為筆者公式與目前使用較多的經典理論計算出的承載力系數Nq對比。已有理論中，計算公式主要有兩類：一是Terzaghi使用的式(3a)，一是Hansen、Vesic等眾多學者使用的式(5)。當內摩擦角小于24°時，式(18)計算出的Nq小于Terzaghi和Hansen的計算值；當內摩擦角不小于24°時，式(18)計算出的Nq介于Terzaghi和Hansen二者之間。

表1 與各學者承載力系數Nq對比Table 1 Comparison of bearing capacity factor Nq between common used theory and this paper

表2為筆者公式與目前使用較多的理論計算出的承載力系數Nγ對比。列舉的4種理論中，Terzaghi(式(4))、Vesic(式(6b))計算出的Nγ相對較高，而Hansen(式(6a))和Salgado(式(6c))計算出的Nγ相對較低。當內摩擦角小于12°時，Terzaghi、Hansen、Salgado承載力理論得到的均小于1，式(19)計算出的為1.49，略低于Vesic理論得到的1.69。隨著內摩擦角的增大，式(19)計算出的Nγ基本介于Terzaghi和Vesic的解答之間，大于Hansen和Salgado的解答。

表2 與各學者承載力系數Nγ對比

從承載力系數的推導和數值可以看出，內摩擦角φ直接決定著承載力系數的高低和砂土承載力的大小。尤其是當內摩擦角較大時，這一影響體現得更為明顯。因此，在計算密砂的承載力系數時，對內摩擦角的取值需要慎重。有學者指出，在非關聯流動法則下，砂土的剪脹角ψ會影響速度矢量的方向[10-11]。此時應該用式(20)計算的等效內摩擦角φ*代替內摩擦角φ計算承載力系數[11]。另外，基礎寬度b對承載力計算的準確性也存在一定影響?；A寬度增大雖然會使承載力提高，但很多研究也表明存在界限，所以，在地基基礎規范的承載力修正中，對寬度的取值進行了限制。因此，使用本文公式計算承載力時，砂土內摩擦角取值盡量不超過44°，條形基礎寬度不超過6 m。

(20)

3 計算結果的對比驗證

為了驗證公式的合理性，將計算結果進行兩種對比驗證。

3.1 與極限分析法計算的Nγ對比

由于系數Nγ多是通過經驗公式計算，因此，各承載力理論中Nγ差別較大。極限分析法理論比較復雜、推導嚴密，可得到極限荷載[12]，因此，將筆者計算的Nγ與極限分析法的計算值進行對比。參考在地基承載力研究中被廣泛引用的Michalowski和Soubra的極限分析法計算結果。Michalowski比較了已有的承載力理論，并給出了基底粗糙時Nγ的計算公式[11]

Nγ=e0.66-5.11tan φtanφ

(21)

Soubra給出了承載力的推導思路，由于過程復雜，所以，給出了不同內摩擦角時的Nγ值[13]。選取了內摩擦角為15°、25°、35°的3種情況進行對比。如表3所示，不同摩擦角時本文公式的計算結果同Michalowski和Soubra的解答都比較接近。幾種經典理論中，Vesic解在內摩擦角為35°時的解答與極限分析法的解答比較接近，但在15°和25°時相差較大。

表3 得到的系數Nγ對比Table 3 Comparison of bearing capacity factor Nγ between classical theory and this paper

3.2 與試驗得到的pu進行對比

將公式解與已有研究中的試驗結果進行對比。在砂土承載力方面的研究主要集中在理論和數值分析上，關于砂土上淺基礎極限承載力的試驗成果并不多。Siddiquee等[14-15]曾在砂土上進行過一系列基礎承載力試驗，因此，從中選取條形基礎的試驗結果進行對比。

試驗1(模型試驗)[14]：條形基礎寬度0.5 m，基礎置于砂土表面、埋深為0。

試驗2(離心機試驗)[15]：等效條形基礎寬度1 m，基礎的埋深與基礎寬度的比值分別為：0.50、0.75、1.00。

兩種試驗采用的都是相同的石英砂(Toyoura sand)。該砂的干重度為15.8 kN/m3，考慮應力水平后的等效內摩擦角為40.1°。

試驗1得到的極限承載力pu約為470 kPa。使用本文公式計算出的承載力為461 kPa，Terzaghi理論解為488 kPa,Vesic解為440 kPa,Hansen解為320 kPa、Salgado解為335 kPa。本文公式的解答與試驗值更接近。

試驗2通過離心機試驗得到了條形基礎不同埋深時的極限承載力[13]。通過圖5的計算值與試驗值對比可以看出，幾種埋深下的Terzaghi解都大于試驗值，而Hansen解和Salgado解都明顯小于試驗值，這與之前承載力系數的規律一致。Vesic解和本文公式解與試驗值比較接近，相比之下，當d/b=0.25和0.5時，本文公式的解答與試驗值相差很??；當d/b=1.0時，Vesic解更接近。從不同埋深的試驗數值來看，d/b從0.75增加至1.0時，承載力的增幅明顯小于d/b從0.5增加至0.75時，這可能與試驗誤差等因素有關。

圖5 承載力計算解與試驗解的對比Fig.5 Comparison of bearing capacity between calculated values and test values

將幾種理論解與試驗值的平均誤差進行計算。使用本文公式計算值與試驗值的誤差為2.6%，其余理論的誤差分別為：Vesic解為7.4%，Terzaghi解為9.5%，Hansen解為21%，Salgado解為19%。從結果對比可以看出，本文公式可以用來計算砂土上條形基礎的極限承載力且誤差較小。

4 結論

1)根據經典承載力理論，對滑動區土體的受力進行分析，推導出基于極限平衡法的承載力解析解，并整理出承載力系數Nq和Nγ的表達式。

2)使用本文得到的承載力系數計算公式，給出了砂土內摩擦角2°～44°時的承載力系數取值，并與常用的承載力系數取值方法進行了比較。

3)本文得到的承載力系數計算公式相互獨立、變量較少，使用起來比較方便。通過與已有試驗研究結果對比，驗證了本文公式計算結果的合理性。