基于數學學科核心素養的微專題教學研究

王洪軍

摘 要：本文以高考試題為載體，闡述在教學過程中微專題的設置，以及如何落實數學學科核心素養，并對微專題教學的理解進行了簡要論述.

關鍵詞：微專題;學科核心素養;解析幾何

1 引言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中指出：“學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力. 數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.”數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，它們既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體. 為培養學生的學科核心素養，我們需要在日常教學中轉變傳統的觀念，在進行教學設計時，并不是對每一節課或每一個知識點進行教學設計，而是把一些具有邏輯聯系的知識點放在一起進行整體設計，碎片化的數學內容無法把數學的本質表述清楚，更無法體現數學學科核心素養. 課程設計時可以以微專題的形式，把這些內容前后照應進行合理建構，在關注知識與技能的同時，思考知識與技能所蘊含的數學本質、體現數學思想，最終實現學生形成和發展數學學科核心素養的目標. 在教學中如何落實培養學生的數學學科核心素養是很多一線教師關注的問題.下面以高三復習時設計的一個解析幾何微專題為例，作進一步的說明.

2 微專題案例分析與說明

案例 （2018年全國Ⅰ卷理科數學第19題）設橢圓C∶x2 2+y2=1的右焦點為F，過點F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

解析 第（1）題較為簡單，這里不作考慮，只對第（2）題進行詳細的探討.

當l與x軸重合時，容易得到∠OMA=∠OMB=0.

視角1 當l與x軸不重合時，如圖1所示，設直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），且x1=my1+1，x2=my2+1，直線AM，BM的斜率之和為

說明 上述解法是論證這類問題的通法，在與學生互動交流中，他們很容易能夠得到上述方法.從簡化計算的層面上看，將直線方程設為x=my+1要比設為y=k（x-1）簡便，如果僅僅是將上述結果告訴學生，他們的感觸是不深刻的，只有親自操作，才能得到更深刻的認識，這并不是毫無意義的浪費時間，而是積累受益終生的基本活動經驗.

視角2 當l與x軸不重合時，待證命題有如下等價形式：

說明 微專題的設計要有全局觀念，要打通知識模塊之間的界限，盡量探尋更多的“工具”，創設關聯的情境，引導學生由陌生問題向熟悉問題進行合理轉化. 視角2更加突出向量作為“工具”在解析幾何中的應用，我們知道，向量中的很多知識與解析幾何是相通的，通過加強知識之間的聯系，可以讓學生獲得更多的數學體驗，提升數學素養.

視角3 當l與x軸不重合時，待證命題∠OMA=∠OMB點A關于x軸的對稱點A′（x1，-y1）在直線BM上.

直線BM的方程為y2x-（x2-2）y-2y2=0，要證明點A′（x1，-y1）在直線BM上，等價于證明y2x1+（x2-2）y1-2y2=0，即證明y1（x2-2）+y2（x1-2）=0，由上述論證可知等式成立.

說明 解析幾何中的一個難點就是蘊含繁雜的計算，通過題目確實能訓練學生的運算能力，但是核心素養中所提到的“數學運算”不僅僅是會繁雜的運算，更重要的是如何簡化運算，這需要我們在教學中培養學生具備更高的運算能力.基于此，相比于前兩種算法，視角3利用對稱原理更加簡潔地轉化為待證等式y1（x2-2）+y2（x1-2）=0.

視角4 當l與x軸不重合時，如圖2所示，分別過點A，B作準線x=2的垂線，垂足分別為點C，D.

由AC//FM//BD，可得|AF| |FB|=|CM| |MD|.

由橢圓的第二定義，可得|AF|=e|AC|，|BF|=e|BD|，其中e為橢圓的離心率，因此，|AC| |BD|=|CM| |MD|.

進而得到△ACM∽△BDM.

所以∠CAM=∠DBM.

所以∠OMA=∠OMB.

說明 解析幾何問題本質上是幾何問題，把握問題本質，逐步引導學生拾級而上. 在用代數方法研究解析幾何的同時，充分利用圖形本身所具有的平面幾何性質，常?？梢缘玫胶啙嵍鴥灻赖慕獯?實踐證明，這樣不僅會讓學生認清問題本質，也使得對數學的興趣進一步加強.

如果僅僅是“就題論題”總有意猶未盡的感覺，可以進一步引導學生抽象出問題背后所蘊含的一般性結論，發現題目中“變中有不變”的特性，這正是數學中提出新定理、新命題的常用手段，對于提高學生的數學素養大有裨益.

結論1 橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）的右焦點為F（c，0），過點F的直線與橢圓交于A，B兩點，橢圓的右準線x=a2 c與x軸交于點M，則∠OMA=∠OMB.

說明 上面僅給出了一類焦點和相應準線的情況，其他同樣成立，論證方法類似，限于篇幅，證明從略. 學生在論證上述結論的過程中可以進一步體會方法的通用性，真正做到舉一反三、觸類旁通. 對于程度較好的學生還可以引導其作如下進一步的抽象推廣.

結論2 過橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）長軸上的一點N（t，0）（-a

說明 通過上面論述，可以更清楚地了解這類題目的來源，也可以總結出相應模型. 解析幾何模型就是在學習的過程中，通過積累的知識經驗經過加工所得到的有長久保存價值的典型結構，當遇到新的問題時，我們可以通過題目信息辨識它屬于（或接近于）哪種模型，通過類比，提出有效的解決方案進而解決問題.

可以引導學生作進一步思考：橢圓與雙曲線都是有心圓錐曲線，那么，在雙曲線中是否也有類似的結論？

首先，可以指導學生從特殊實例入手，將案例問題改編為如下題目并論證.（證明略）

設雙曲線C：x2 2-y2=1的右焦點為F，過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，點M的坐標為（23 3，0），設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

其次，用研究橢圓時類似的想法，讓學生經歷由特殊到一般的過程，并進一步啟發他們以拋物線為背景獨立進行相關的研究學習，通過積累經驗和相關方法，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力，而問題解決的過程正是培養學生能力，發展數學學科核心素養的過程.

3 對課堂教學的啟示

數學教學活動是一個預設與生成相結合的過程，而預設的主要形式表現為以課時為單位的教學設計，對于合理把握每節課的數學教學活動的進程、優化數學教學活動具有重要意義，但其自身的不足之處也是顯而易見的，容易使學生的知識結構割裂，不利于形成完整的知識鏈條和結構體系;也容易使一線教師拘泥于具體的“就課論課”，而忽略對教學整體的把握.微專題的教學設計更加注重知識內容的整體性、教學安排的整體性和對學生認知把握的整體性，將精心設計的多個微專題融合成單元主題，可以將教學內容置于主題整體內容中去把控，更多地關注教學內容的本質，拓展其教學視野并達到提高教學效率的目的，也會更好地培養學生的數學素養.

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

（收稿日期：2019-12-26）