中學物理中“質量為零”類問題賞析

李俊永 王長江

摘 要：在中學物理力學教學中經常會遇到一些理想化條件下的試題，文章就“質量為零”類問題進行了分析與梳理，從解題認識論的角度進行探討賞析.

關鍵詞：“質量為零”類問題;中學物理;力學教學

中學物理力學習題課中經常會出現一類習題，該種類型的習題往往會刻意提示某種力學桿件為輕質桿件，或者提示力學系統中某裝置或某部分裝置的質量忽略不計，筆者發現學生處理這類問題困難較大，既然發現了這樣的現象，筆者覺得很有必要對這類問題進行整理歸類、分析，學海探玉以饗同行.

1 了解“質量為零”及“質量為零”類問題

將客觀的物理世界或研究對象進行理想化處理是物理學研究經常采用的方法，可以說沒有研究對象的理想化就沒有物理學，所謂質量為零，并非指研究對象的質量真的為零，而是相較于研究系統中的其它對象，該研究對象的質量很小達到了可以被忽略不計的程度.因此“質量為零”是比較法下的理想化處理，它是一種為簡化問題而特別引入的物理學術語.比如，中學物理教材或教輔資料中提及的“輕繩”“輕桿”“輕環”“輕彈簧”等就屬于這種情形，圍繞這些理想化模型而設計的各種物理學問題就屬于“質量為零”類問題.

“質量為零”類問題作為一類經典，廣泛存在于各種試題當中，關于它們的討論常見于中學物理教學研究期刊.之所以出現諸多討論，說明中學物理界對該類問題的認識具有模糊性以及該類問題在解決途徑上具有復雜性，筆者的教學實踐也證明了這一點.當學生在解決該類問題時常常思維混亂，表現在各種認識看似都對但卻不能拿出有效的證據進行證明.為此筆者梳理了四類典型“質量為零”問題進行研究賞析.

2 “質量為零”類問題分類研究與賞析

2.1 “質量為零”——輕彈簧問題

眾所周知，輕彈簧意指彈簧的質量可以忽略不計，該類模型的典型性不言而喻，它常與牛頓第二定律的瞬時性問題相伴相隨，由此也演變出了千變萬化的經典試題，下面先從一道高考試題說起.

例1 （1987，廣東卷）如圖1所示，一重物m懸掛在彈簧下，再用一細繩固定在天花板上，整個裝置平衡靜止后，用火焰燒斷細繩.在繩斷開的瞬間，m的加速度為a（忽略彈簧質量和空氣阻力），則（ ）.

A.a

B.a=g，方向向下

C.a>g，方向向下

D.a

關于本題的解析有兩種說法.

第一種，整體分析法，因為輕彈簧無質量，無慣性，當把輕繩燒斷后將輕彈簧和重物看作整體，該整體僅受到重力，則重物部分的加速度等于整體加速度，即a=g，方向向下，B選項正確.

第二種，假設輕彈簧上下兩端所受之力分別為F1、F2，當輕繩被剪斷之后，對彈簧而言可列出牛頓第二定律的表達式F1-F2=m0a，假設m0為彈簧的質量，因為彈簧質量m0=0，可以得到F1=F2，因剪斷細繩之后彈簧上端的力F1變為0，則F2也變為0，由此得到彈簧和重物之間的力瞬間消失，重物僅受重力，則重物的加速度為g，方向向下，選B.

關于本題也有學生認為重物的重力加速度應為0，理由是在剪斷細繩的瞬間彈簧只能夠發生漸變不能發生突變，因而剪斷細繩前后重物的受力狀態沒有發生改變.

那么問題來了，究竟那種解釋正確呢？作為教師需要對此進行深入的研究，否則不可能幫助學生在這三種解釋中做出正確的判斷.王志成老師在相關文獻的基礎上[1-3]，對“輕彈簧彈性勢能憑空消失”作了深度分析，給出了重物重力加速度為0的完美解釋[4]，王老師認為燒斷細繩的瞬間，彈簧上方的彈力突然消失，由于慣性導致組成彈簧的每一個小環的運動狀態并不相同，上方彈簧會發生微小收縮，從而使整個彈簧的質心有微小的下移，從而重物與彈簧形成的系統質心也會下移，根據質心運動定理，整體的質心加速度為g，單就重物而言，由于慣性的存在，彈簧要發生漸變，則重物的重力加速度為0.

賞析 第一、二種解法錯誤的根源在于未能注意到輕彈簧“質量為零”成立的條件同時教材也沒有說明這個成立條件是什么，卻在整體法、部分法的使用上無懈可擊，這是學生不能解釋的根本原因.上述文獻對該原因的重視，正確地解決了輕彈簧“質量為零”成立的條件，也為本題背景下彈簧只能發生漸變不能突變的事實找到了理論根據，為重物的加速度為0找到了堅實的證據.就思維來講，錯解在一定程度上發展了學生的發散思維，這并沒有什么壞處，更為重要的是通過兩種錯解與正解的對比能夠讓學生的認識得到升華，會對該類問題的解法產生較全面的理解，完整呈現這幾種解法會讓學生產生強烈的認知沖突，既有利于培養思維的深刻性，又發展了學生的對比思維與辯證思維.

2.2 “質量為零”——輕滑輪問題

輕滑輪類問題，需要緊緊把握好輕滑輪質量為零的特點，這種題型經常表現出新、奇的特點，學生不易把握.

例2 物塊A和物塊B的質量分別為4m和m，開始A、B均靜止，細繩拉直，在豎直向上拉力F=6mg作用下，動滑輪豎直向上加速運動.已知動滑輪質量忽略不計，動滑輪半徑很小，不考慮繩與滑輪之間的摩擦，細繩足夠長.在滑輪向上運動過程中，物塊A和B的加速度分別為（ ）.

A.aA=1 2g，aB=5g

B.aA=aB=1 5g

C.aA=1 4g，aB=3g

D.aA=0，aB=2g

關于此題，筆者在教學中發現，在學生中出現了兩種典型的錯誤.

錯誤1 學生認為滑輪向上加速運動，就順手寫出了F-mAg-mBg=（mA+mB）a.

錯誤2 學生錯誤地將地面對物塊的彈力也考慮進了方程中，具體寫法是F-mAg+NA-mBg+NB=（mA+mB）a.

這兩種錯誤都表明了學生思維品質差，正是這樣的原因學生不能正確地判明每一個物塊具體的運動狀態，從而在解法上套用公式，誤把錯解當正解.

正解 設在運動過程中，細繩的拉力為T，滑輪的質量為m0，滑輪的加速度為a，則取滑輪為研究對象可得：F-2T=m0a，因m0=0，故可得2T=F，即T=3mg，取A為研究對象，因T=3mgGB=mg，根據牛頓第二定律可得：3mg-mg=maB解得：aB=2g，方向向上，故C正確.

賞析 錯解1和錯解2是常見的錯誤類型，學生雖然使用了整體法，也看到了動滑輪質量為零的條件，但是并沒有抓住問題的突破點——對動滑輪運動狀態的分析，從此也就失去了真正能夠解決問題的線索，這表明該類學生物理分析能力弱，問題解決能力不夠，僅看到了問題的表象，卻從未深入到問題的實質.從正解的解析過程看，以“質量為零”的動滑輪為突破點可以順利地找到問題解決的線索，由此基于判斷的物理狀態分析，變得水到渠成.

2.3 “質量為零”——輕繩問題

輕繩模型是常見的模型，它是柔索的基本類型之一，是一個絕對柔體，拉力的方向沿著繩子并指向繩子收縮的方向，只能夠產生拉力不能產生壓力且勁度系數非常大，發生的形變極小，可認為它不可伸長.關于輕繩的一些試題也具有典型性.

例3 如圖3左圖所示，長L=1m，不可伸長的細繩拴住質量m=0.2kg的小球懸掛在天花板上的O點，現將小球拿至與O點等高，距O點d=0.6m的A點由靜止釋放，求小球過最低點的速度及細繩對小球的拉力.

關于本題學生經常出現如下的錯誤解法.

錯解 假設小球從最高點下落到最低點的速度為v，根據機械能守恒定律mgL=1 2mv2，可以得到v=2gL，據此求得，速度v=25m/s，結合牛頓第二定律T-mg=mv2 L，得到T=6N.

仔細分析該過程就可以清晰的看到，學生未能正確認識輕繩受力可以發生突變的事實.如圖3右圖所示，當小球自由下落到B點時，繩子已經繃直，將B點的速度沿著繩子與垂直于繩子進行分解，沿著繩子方向的速度由于輕繩的原因立即減小到0，產生了能量損失.因此機械能并不守恒.

正解 圖3右圖中當小球下落到B點時，據幾何關系可得到hAB=L2-d2=0.8m，且θ=53°，對此過程，據機械能守恒定律可得vB=2ghAB=4m/s，由于在B點的位置，速度的法向分量為0，則損失的動能為ΔE損=1 2m（vBsinθ）2=1.024J.則對AC過程而言，采用能量守恒定律1 2mv2c=mgL-ΔE損，并結合T-mg=mv2c L，得到T=3.952N.

賞析 該題的錯解代表了一批學生的解題思路.從正解的解題過程可以看出，在思維的提升上，應當分三步，即自由落體運動階段、輕繩張緊的階段、圓周運動階段，特別需關注的是當輕繩張緊時小球將會損失機械能.應該得到“質量為零”——輕繩問題中的兩個關鍵點：（1）當用輕繩連接的系統通過輕繩的碰撞、撞擊時，系統的機械能將會損失;（2）輕繩上的彈力會發生突變.

2.4 “質量為零”——輕管問題

所謂輕管，一般指空心薄管，在中學物理教學中并不常見，但是該類問題往往伴隨摩擦力的分析，題目的難度較大，對學生思維要求較高，能夠較好的區分和甄別學生思維能力的高低.

例4 如圖4所示，一直立的輕質薄空心圓管長為L，在其上下端開口處安放有一個質量分別為m和2m的圓柱形物塊A、B，A、B緊貼管的內壁，厚度不計.A、B與管內壁間的最大靜摩擦力分別是f1=mg、 f2=2mg， 且設滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小相等.管下方存在這樣一個區域：當物塊A進入該區域時受到一個豎直向上的恒力F作用，而B在該區域運動時不受它的作用，PQ、MN是該區域上下水平邊界，高度差為H（L>2H）.現讓管的下端從距上邊界PQ高H處由靜止釋放，重力加速度為g.

（1）為使A、B間無相對運動，求F應滿足的條件.

（2）若F=3mg，求物塊A到達下邊界MN時A、B間的距離.

通過第（1）問的求解可得到為使A、B間無相對運動，F應滿足F≤3 2mg的條件.A到達上邊界PQ時的速度vA=2gH，當F為3mg時，A相對圓管向上滑動，設A的加速度為a1，則由mg+f1-F=ma1得a1=-g，根據運動的對稱性可以知道，將A向下減速運動t=2H g后速度減為零，運動位移將為H.此過程中對空心管而言f1+f ′2=m管a管，由于管的質量不計，A對管的摩擦力與B對管的摩擦力方向相反、大小均為mg，f ′2=mg

賞析 該題中質量為零的空心管在狀態分析中起到了重要橋梁的作用，但是從解題思維的角度看，空心管質量為零這一條件比較隱蔽，需要解題者充分挖掘該條件，并明白該條件在題干中存在的價值是什么.就該題本身來講，它對初學者而言有極大的難度，理解試題所設定的關鍵條件更需要學習者具備將情景進行理想化處理的思維方式.

3 “質量為零”類問題的研究意義與啟示

“質量為零”類問題共同的特征是相關研究對象為輕質，“輕”是物理學上相對意義的概念，屬于典型的辯證思維，也許很多年之后學生把所學的物理學知識“都還給了老師”，但是物理學思想與方法卻將永遠地沉淀在學生的頭腦當中，通過上述四類的梳理分析發現，它們經常與牛頓第二定律相綜合，借助被選定研究對象質量為零的特征，問題往往撥云見日.它的教學意義至少有以下幾點.

（1）打破了學生慣有的思維方式，使得學生重新認識牛頓第二定律中的“質量”在解題技巧上的意義，根據以往經驗，學生經常認為牛頓第二定律中的質量不可以為零，確實也不應當為零，但是基于比較法下的解題實踐啟示我們在具體的教學中需要滲透比較法下的辯證思維，在適當的條件下，質量是可以為零的.

（2）幫助學生理解和建構“質量為零”的物理模型對于理解物理原理很有幫助.模型教學法就是基于對基本物理現象的深度思考透過現象看本質，并將共性的聯系通過原型提煉應用于課堂的教學法，不論學生怎么看待諸多具體的物理知識，在教師的觀念中應當樹立物理模型至上的認識，因為“方法”總蘊藏在物理模型當中，它給教學的啟發是教師應當不斷在課堂中幫助學生梳理這樣或那樣的物理模型，通過模型的建構過程發展學生的高階思維.

（3）“質量為零”類問題不是什么新問題，只是為方便物理教學研究而引入的名稱，它的引入解決了物理教學研究將該類問題簡單歸納為輕桿、輕繩、輕管等典型分類，該分類更具有統攝性，它給物理教師帶來的啟發是物理教師需要善于歸納總結基本物理問題，并努力做好梳理工作，為后繼研究做好積累，服務物理教學.

參考文獻：

[1]王志成.也談一個值得探討的問題[J].物理教師，2005（05）：44.

[2]趙志棟，陳光紅.輕彈簧之“困境”[J].物理通報，2016（05）：98-101.

[3]趙堅，一個值得探討的問題[J].物理教師，2003（07）：13.

[4]王志成，楊俊.輕彈簧彈性勢能憑空消失的困惑引發的再思考——兼談輕彈簧理想化模型的條件[J].中學物理教學參考，2019，48（17）：34-35.

[5]趙志強.理想“輕繩”之煩惱[J].湖南中學物理，2015，30（08）：89-90.

（收稿日期：2020-02-27）