三角形邊長與面積間的幾個不等式

廣東省中山紀念中學 (528454) 鄧啟龍

在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,面積為S,p為半周長,由海倫公式知

首先給出本文要用到的引理.

接下來給出三角形的邊長與面積之間的不等式.

1.三角形的三邊長的和、積、平方和與面積之間的不等式鏈

結論1給出三角形的周長,三邊長的積,平方和與面積之間的不等式.由結論1可得:周長(三邊長的積,平方和)為定值的三角形中,正三角形的面積最大;面積為定值的三角形中,正三角形的周長(三邊長的積,平方和)最小.

2.三角形的三邊長的線性平方和與面積之間的不等式

結論2x,y,z>0,xa2+yb2+zc2≥

3.三角形的三邊長的高次代數式與面積之間的不等式鏈

三角形的三邊長的高次代數式與面積之間的不等式,可通過降次后利用結論1和結論2得到.下面給出三角形的三邊長的三次代數式與面積之間的不等式鏈.

下面結合例題說明結論中的不等式在三角形中的應用.

例1 △ABC的三邊長分別為a,b,c,若a2+2b2+c2=40,求△ABC面積的最大值.

(1)求a2b+b2c+c2a的最小值;

(2)求a4+b4+c4的最小值.

(2)由均值不等式和結論1得a4+b4+c4≥

(1)求ab+bc+ca的最小值和a3+b3+c3的最小值;

(2)若ab+bc+ca=12,求a3+b3+c3的值.

(2)若ab+bc+ca=12,由(1)可得,此時a=b=c=2,得a3+b3+c3=24.

本文利用均值不等式,柯西不等式以及排序不等式,得到了三角形的邊長與面積之間的不等式鏈.利用這些豐富的不等式,可以有效解決有關三角形的邊長與面積的最值問題,為解決此類問題提供了簡單快捷的方法.