數控周邊磨床主軸系統熱關鍵點選取及熱誤差建模

廖啟豪，王玲，殷國富，謝政峰

(四川大學機械工程學院，四川成都，610065)

熱誤差是機床誤差的主要來源之一，由溫度引起的誤差可以占到機床總幾何誤差的75%[1]。減少熱誤差的途徑主要包括熱誤差防止、熱誤差控制和熱誤差補償3種方法，與前2種方法相比，熱誤差補償更易實現且成本更低[2]。熱誤差補償主要通過建立熱誤差模型實現，熱誤差建模依賴于熱關鍵點的溫度，因此，熱關鍵點選取和熱誤差建模是熱誤差補償的主要研究內容。馬馳等[3-4]通過模糊聚類和灰色聚類方法選取熱關鍵點，并通過遺傳算法和粒子群算法尋找合適參數建立了基于BP 神經網絡的熱誤差模型；譚峰等[5-6]通過模糊C均值聚類選取熱關鍵點，并基于集成BP神經網絡和最小二乘支持向量機建立了主軸熱誤差模型；周寶倉等[7]通過模糊聚類和相關系數確定熱關鍵點，建立了基于最小二乘方法的熱誤差模型；張捷等[8]通過模糊聚類和灰色關聯度方法選取了熱關鍵點，建立了基于遺傳算法徑向基函數神經網絡的高速電主軸熱誤差預測模型；DU 等[9]從相關性的角度出發，選取了與熱誤差相關系數最大的點作為熱關鍵點；LIU等[10]采用模糊聚類和灰色關聯度結合的方法選取熱關鍵點，并采用嶺回歸算法建立熱誤差模型。上述建模方法在對溫度測點分類之后多采用相關系數和灰色關聯度方法在每一類中選取熱關鍵點。已有研究[11-12]表明，根據溫度與熱誤差之間的關系所確定的熱關鍵點是動態變化的，即機床在不同運行狀態下確定的熱關鍵點不完全一致。為此，本文作者提出一種基于時間特性的熱關鍵點選取方法，在選點過程中只依賴于溫度測點的溫度；針對數控周邊磨床主軸系統，實施不同運行狀態下的熱誤差實驗，并從16 個溫度測點中選取3個溫度測點作為熱關鍵點；利用多元線性回歸、BP 神經網絡、支持向量機等方法建立熱誤差模型，以驗證本文熱關鍵點選取方法的有效性。

1 熱關鍵點選取方法

熱關鍵點是指在機床熱誤差建模過程中其溫度變化對熱誤差有決定性影響的溫度測量點[2]。熱關鍵點的選取一般包括分類和選擇，即先將所有的溫度測量點分為幾類，再從每一類中選取特定的點作為熱關鍵點。通過比較溫度與熱誤差之間的相關性來選擇同一類中的熱關鍵點，是一種常見的選點策略。但是，對于機床主軸系統來說，使用不同轉速圖譜下的溫度和熱誤差得到的熱關鍵點是不恒定的[12]。特定轉速圖譜下得到的熱關鍵點在用于預測該轉速圖譜的熱誤差時能保證一定的精度，但當用于其他轉速圖譜下的熱誤差預測時，不能保證有良好的泛化性能。

基于相關性的熱關鍵點選取方法強調了溫度與熱誤差的相關關系，卻忽略了其因果性。主軸系統的軸向伸長量取決于流入和流出的熱量，前后軸承是主軸系統最主要的熱源，由此可以得到主軸軸向熱變形的初步理論模型[13]為

式中：δ為軸向熱變形；Tfec為前端面溫度；Tfb為前軸承溫度；Te為環境溫度；αt為待定參數；L為伸出端長度。

上述參數中，前軸承溫度Tfb代表了熱源溫度，符合熱關鍵點的溫度要求。但對于主軸系統而言，直接測量熱源溫度需要破壞主軸箱結構，選擇主軸箱外表面靠近熱源的點作為熱關鍵點是可行的方式之一。已有的研究表明，越靠近熱源的點，在整個熱誤差實驗過程中相對于其他溫度測量點其溫度最先達到最大值[9]?；谶@種時間特性，本文作者提出1 種熱關鍵點的選取方法，其表達式如下：

式中：xij為第i個溫度測量點在第j分鐘的溫度；α(i)為第i個溫度測點達到最大溫度時對應的時間；β(i)為α(i)歸一化處理后的結果；m為溫度測量點的總個數；n為實驗總的測量時間。β(i)越小，即表示該點在整個溫度測量過程中越先達到最高溫度，越適合作為熱關鍵點。

2 主軸系統熱誤差實驗

在某型號數控周邊磨床上布置溫度傳感器和熱誤差傳感器進行熱誤差實驗。使用PT100磁吸式溫度傳感器采集主軸系統外表面15 個點的溫度以及距主軸箱一定距離的環境溫度；同時，非接觸式激光位移傳感器通過夾具固定在床身立柱上，用于測量主軸軸向熱位移。溫度傳感器每分鐘采集1次全部測點的溫度并保存在數據采集器中，激光位移傳感器采樣頻率為1.5 kHz，取每分鐘全部測量值的平均值作為該時刻的位移并保存在計算機中。

主軸系統表面溫度傳感器布置如圖1所示。其中1號傳感器和4號傳感器分別位于主軸箱表面靠近主軸前后軸承處；2 號和3 號傳感器均布于1 號和4 號傳感器之間；5 號、6 號、7 號和8 號傳感器分別位于1號、2號、3號和4號傳感器下方主軸箱表面凹槽處；9號傳感器位于主軸箱與前端蓋連接處，靠近前軸承；10號、11號、12號和13號傳感器布置于主軸箱與底座螺栓連接處；14 號和15 號傳感器位于主軸電機與主軸箱連接法蘭兩端；16號傳感器置于距離主軸箱一定距離處，用于測量環境溫度。

圖1 主軸系統表面溫度傳感器布置Fig.1 Temperature sensors arrangement of spindle system surface

熱誤差實驗分別在3種轉速圖譜下進行。轉速圖譜A 和轉速圖譜B 為GB/T 17421.3—2009[14]推薦的變轉速圖譜，分3 次連續運轉，總運行時間共240 min，每次連續運轉之間暫停15 min，共暫停30 min，運行完成后停機冷卻90 min。其中，轉速圖譜A的最大轉速為3×103r/min，轉速圖譜B的最大轉速為2×103r/min。變轉速圖譜是為了模擬機床主軸在不同轉速下的運行情況而設置的，其轉速分布如圖2 所示。轉速圖譜C 為恒定轉速2×103r/min，運行時間為240 min，運行完成后停機冷卻90 min。

圖2 變轉速圖譜Fig.2 Variable speed spectrum

通過熱誤差實驗得到3種轉速圖譜下的軸向熱誤差分布，如圖3所示。其中，轉速圖譜C對應的主軸最大熱誤差最大，轉速圖譜B對應的主軸最大熱誤差最小，這與“轉速越大，熱生成量越大，熱誤差越大”的客觀規律相符。由圖3 還可以看出：在主軸按變轉速圖譜運行時，3次連續運轉之間的2次暫停均使軸向熱誤差明顯減少，說明主軸停轉以后，由于熱源不再生熱，剩余的熱量不足以維持主軸熱膨脹繼續。

轉速圖譜A對應的溫度測點的溫度分布如圖4所示(為便于顯示，圖4 中只展示了偶數號測點的溫度變化)。由圖4可以看出：溫度最高的3個測點分別為4 號、14 號、8 號，這3 個測點都位于后軸承附近。溫度最低的測點為16 號測點，該測點測量的是距離主軸系統有一定距離的環境溫度。由此可見，隨著主軸運轉，距主軸系統較近距離的環境溫度也隨之變化，說明主軸箱外表面熱邊界條件處于動態變化之中。

圖3 主軸軸向熱誤差分布Fig.3 Axial thermal error distribution of spindle

圖4 變轉速圖譜A對應的溫度分布Fig.4 Temperature distribution of variable speed spectrum A

3 熱誤差建模過程與結果

3.1 溫度測點分類

用于熱誤差建模的熱關鍵點的數目不宜過多。一方面，一些無關數據的引入可能影響建模精度；另一方面，實際應用時，機床表面也不可能布置大量傳感器[2]。按照先分類后選取的原則，需要對16個溫度測點進行分類。模糊C均值聚類[15]是一種無監督的聚類方法，通過指定聚類數和模糊權重指數，計算模糊目標函數。

模糊目標函數可以表示為

式中：J為模糊目標函數；c為分類數；q為權重指數；xi為由第i個溫度測量點的溫度數據組成的溫度向量；vk為第k個類的聚類中心；uki為第i個溫度測量點對第k個類的隸屬度；dki為溫度向量xi與第k個類的聚類中心vk的距離。

計算時，先初始化隸屬度矩陣U，然后求得聚類中心V，再計算隸屬度矩陣U，最后計算目標函數J。循環迭代，直到隸屬度變化量滿足給定值或達到最大迭代次數時為止。模糊C均值聚類的分類數需要事先給定，分類數即是熱關鍵點數目?？紤]到前后軸承作為主要熱源以及其他熱源可能帶來的影響，同時為了盡量減少熱關鍵點數目，對于周邊磨床主軸系統選取熱關鍵點數為3個。將變轉速圖譜A對應的16個溫度測點的溫度代入計算，取權重指數為2，隸屬度最小變化量為1×10-5，最大迭代數為300次，得到的溫度測點分類結果如表1所示。

表1 分類結果Table 1 Classification results

3.2 熱關鍵點選取

為驗證本文所述熱誤差關鍵點選取方法的有效性，選擇基于皮爾遜相關系數[7]的方法和基于灰色關聯度[8]的方法作為對比。

皮爾遜相關系數pi可以表示為

式中：yj為主軸第j分鐘的軸向熱誤差；為第i個溫度測量點的平均溫度；為軸向熱誤差平均值。

同樣地，灰色關聯度gi可以表示為

式中：s為溫度測點的數目；ρ為分辨系數，通常取0.5；ζij為關聯系數。

分別使用皮爾遜相關系數、灰色關聯度和式(2)中基于時間特性的排序方法對轉速圖譜A 得到的16 個溫度測量點進行計算，按計算得到的溫度從小到大排序，其排序結果如表2所示。由表2可以看出：皮爾遜相關系數和灰色關聯度的排序結果相似，因為2種方法都是以溫度和熱誤差的相關程度作為計算的依據。

表2 不同方法的計算結果Table 2 Calculation results of different methods

結合表1的分類結果和表2的排序結果，在每一類中選取排序靠前的點作為熱關鍵點。當選取3個點作為熱關鍵點時，可以得到基于皮爾遜相關系數和灰色關聯度以及時間特性3種方法下的選點情況，如圖5所示。值得注意的是，基于灰色關聯度的方法和基于皮爾遜相關系數的方法在表2的排序結果中相似，在選點結果上完全相同。

圖5 不同方法下熱關鍵點選取結果Fig.5 Thermal key points selection results of different methods

從圖5 可以看出：基于時間特性的選點方法(方法1)選取了代表前后軸承(9 號和4 號)和環境溫度(16號)的點，基本符合熱交換規律?；谙嚓P系數的選點方法(方法2)選取了前后軸承之間(2號和3號)以及螺栓結合部(12 號)的溫度測點。已有研究表明，靠近結合部的部分由于固定約束的存在，對總熱誤差的貢獻很小[16]；同時，環境溫度的變化是影響熱誤差的因素之一[17]。因此，從選點結果上看，基于時間特性的選點方法更符合主軸系統實際情況。

3.3 熱誤差建模

為證明基于時間特性的選點方法的有效性，分別選擇支持向量機(SVM)、多元線性回歸(MLR)以及BP神經網絡(BPNN)這3種建模方法，利用已確定的熱關鍵點進行熱誤差建模。

3.3.1 支持向量機

支持向量機在熱誤差建模中具有較高精度和較好的魯棒性，其回歸模型[18]可以表示為

選擇高斯徑向基核函數K(Xk,X)=作為回歸模型核函數。其中，σ為寬度參數，記1/σ2為g。支持向量機回歸模型由參數C和g確定，本文采用交叉驗證法從2-4～24范圍內尋找合適參數。

3.3.2 多元線性回歸

多元線性回歸模型可以表示為

式 中 ：β=(β0,β1,…,βp)，為 待 確 定 的 系 數 ；x1,x2,…,xp為p個熱關鍵點的溫度。

待定系數的求解可以通過最小二乘法計算，其表達式如下：

式中：Z為元素全為1的列向量和熱關鍵點溫度向量構成的矩陣；Y為對應熱誤差構成的列向量。

3.3.3 BP神經網絡

BP 神經網絡包含輸入層、隱含層和輸出層，簡單的BP 神經網絡隱含層只有1 層，各層節點的數目由實際需求決定。對于熱誤差建模而言，輸出層節點為1，輸入層節點數即為熱關鍵點數，隱含層節點數根據建模效果來確定。本文利用Matlab神經網絡工具箱建立輸入層節點數為3、隱含層節點數為6、輸出層節點數為1 的BP 神經網絡，隱含層函數為logsig，輸出層函數為purelin，學習速率為0.05，最大訓練次數為3×103。

3.4 預測結果與精度評價

為評價建模精度，選擇熱誤差實測值與預測值之間的均方根誤差(RMSE)作為評價指標。以轉速圖譜A 下獲得的熱誤差和熱關鍵點溫度作為訓練集訓練3 種模型，再分別利用轉速圖譜A，B 和C下的熱關鍵點溫度對熱誤差進行預測，對應的預測集分別為A1，B1和C1。由于BP 神經網絡的初始權值和閾值是隨機給定的，因此，每1次預測的結果都不完全相同，取10 次預測的平均值作為建模精度的結果。圖6所示為支持向量機模型用2種選點方法對轉速圖譜A 下的熱誤差的預測結果和建模誤差。2 種選點結果對應的3 種建模方法共9 組18 次預測的精度(以 RMSE 表示，RMSE 越小，精度越高)如表3所示。

從表3 可以看出：基于時間特性的選點方法(方法1)對3種建模方法的建模精度都有所提高。3種模型的9組預測中，均方根誤差降幅最低為6%，最高為40%。在3 種建模方法中，BP 神經網絡模型在自預測(訓練集和預測集相同)時精度最高，交叉預測(訓練集和預測集不同)時精度最低。與其他2 種建模方法相比，多元線性回歸模型(MRL)在自預測時精度最低，而支持向量機模型在自預測和交叉預測時都能保證較高的預測精度，顯示了其在熱誤差建模方面的魯棒性和良好的泛化性能。

圖6 不同選點方法的建模結果Fig.6 Modeling results of different points selection methods

表3 不同選點方法建模精度Table 3 Modeling accuracy of different points selection methods

2種選點方法在建模精度上產生差異的原因在于：基于相關系數的方法依賴于單次實驗的數據，忽略了不同轉速圖譜下的熱誤差實驗產生不同的熱關鍵點所帶來的影響。同時，從圖5 可以看出，靠近主軸前軸承的點其溫度變化不大。在實驗過程中，主軸前端法蘭結構轉動所引起的空氣流動對主軸前端的溫度測點產生了降溫的效果，這將改變主軸箱外表面熱邊界條件，從而影響基于相關系數的選點結果。

4 結論

1)提出一種基于時間特性的熱關鍵點選取方法，該方法與基于相關系數和灰色關聯度的方法相比，減少了模型的不穩定性，避免了由于主軸系統運行狀態變化對熱誤差關鍵點選取的影響。

2)針對某型號數控周邊磨床主軸系統，設計并實施了熱誤差實驗；使用3種選點方法，分別從16個溫度測點中選取了3個點作為熱關鍵點。

3)利用支持向量機、多元線性回歸以及BP神經網絡3種建模方法進行熱誤差建模，采用本文方法選取熱關鍵點，其熱誤差實測值與預測值之間的均方根誤差降幅最低為6%，最高為40%，證明了本文熱關鍵點選取方法的有效性。