并聯雙桿液壓缸偏載力和徑向力分析

訚耀保，李雙路，陸暢，原佳陽，肖強

(1.同濟大學機械與能源工程學院，上海，200092；2.中國航發長春控制科技有限公司，吉林長春，130102)

為了滿足在有限空間內實現大推力的任務需要，航空發動機矢量控制系統及飛行器舵面控制系統空間布局和結構上需要采用一種雙桿并聯機械同步液壓缸[1]，該液壓缸缸體包含2 個缸筒，2根活塞桿通過連接塊實現機械同步，通過缸體上的串聯孔實現2個液壓缸的油路連通。該結構實現了液壓缸的扁平化設計，同時滿足負載需求，但在實驗中發現該液壓缸尚存在如下問題：一是液壓缸的導向套處和活塞上存在著不均勻磨損，二是活塞桿在運動到終點時存在抖動現象。上述問題影響到液壓缸的運行壽命和可靠性，不利于伺服控制系統的安全。為了提高電液伺服系統的可靠性，保障飛行器飛行安全，需對液壓缸的上述問題進行研究分析，降低液壓缸的磨損和抖動。液壓缸活塞桿運動到終點抖動問題是2根活塞桿的運動不同步造成的，在傳統的雙缸獨立控制中，人們對該問題研究較多，可以通過各種控制策略提高2根活塞桿的同步性[2-5]；而液壓缸承受的徑向力會使導向套和活塞產生不均勻磨損[6]。研究表明，液壓缸導向環上5%的磨損會使液壓缸的承載能力降低約10%[7]。為了提高液壓缸抗徑向負載能力，靜壓支撐等非接觸密封形式在液壓缸中得到了廣泛應用[8-11]；液壓缸建模和運動過程中的載荷研究是優化液壓元件、提高液壓系統性能的基礎，受到人們廣泛關注[12-14]。本文作者針對并聯雙桿液壓缸中的偏載力和徑向力問題，建立液壓缸的數學模型和超靜定力學模型，探討影響液壓缸偏載力和徑向力的關鍵結構參數，以便為優化該類型液壓缸的結構、降低其工作中的徑向力和偏載力、提高液壓缸的適用性和可靠性提供依據。

1 并聯雙桿液壓缸數學模型

1.1 并聯雙桿液壓缸工作原理

圖1所示為并聯雙桿液壓缸的結構示意圖。受限工作空間的限制，采用液壓缸單側供油，油液通過閥口和無桿腔的薄壁孔依次進入液壓缸的上無桿腔和下無桿腔，推動活塞桿運動，下有桿腔的油液通過兩缸之間的薄壁孔從上有桿腔回油，此結構減少了管路連接，工藝性好，集成度高，安裝尺寸小。由于其結構和油路特點，并聯雙桿液壓缸存在如下問題。

圖1 并聯雙桿液壓缸結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of parallel double rods hydraulic cylinder

1)受液壓缸結構和工藝限制，兩缸之間的串聯孔個數和尺寸受到限制，串聯孔的節流作用使得活塞桿在運動過程中2個無桿腔及有桿腔之間存在壓差，從而使得2根活塞桿承受的負載力不一致而產生偏載；液壓缸2根活塞桿在運動時不完全同步，在運動到終點時存在抖動現象。

2)由于連接塊受到的外負載力與2根活塞桿對其的作用力不共線，會導致連接塊和活塞桿發生變形，使得塞桿與導向套、活塞與缸筒之間存在很大的徑向力，加劇了密封結構的不均勻磨損[15]。

1.2 并聯雙桿液壓缸數學模型

根據并聯液壓缸的工作原理，不計液壓閥和液壓缸之間的壓降以及液壓缸的泄漏，當液壓缸活塞桿伸出時，液壓閥2個節流口的流量q1和q4表達式為：

上、下液壓缸之間2個薄壁串聯孔的流量q2和q3表達式為：

式中：ps為供油壓力；p0為回油壓力；p1，p2，p3和p4分別為容腔1～4 的壓力；w為閥口面積梯度；xv為閥口開度；Cd1和Cd2分別為滑閥節流口流量系數和薄壁串聯孔流量系數，為了便于計算偏載力，取兩者相等，記為Cd；ρ為油液的密度；Ak為上下兩缸之間串聯孔通流面積。

容腔1～4的流量連續性方程分別為

式中：A1為活塞桿無桿腔面積；A2為活塞桿有桿腔面積；x為活塞桿運動速度。

忽略活塞桿運動時的摩擦力，根據牛頓運動定律，上下活塞桿及連接塊的軸向受力平衡方程為

式中：F1和F2分別為活塞桿1和活塞桿2承受的負載力；FL為連接塊承受的外負載。

同理可以得到活塞桿在縮回時的數學模型，采用數值求解方法研究并聯雙桿液壓缸的偏載力和徑向力，模型中的主要參數如表1所示。

表1 閥控液壓缸數學模型主要參數Table 1 Main parameters of mathematical model of hydraulic cylinder controlled by valve

2 液壓缸偏載力和徑向力理論分析

2.1 液壓缸偏載力

2.1.1 偏載力計算分析

如圖1所示，定義外負載FL的作用線與連接塊的質心交點為O點，由于2根活塞桿承受的負載力不一致會產生繞O點的偏載力矩，偏載力矩可用上下活塞桿承受的軸向負載力差值衡量，定義2根活塞桿的軸向負載力差值為偏載力ΔF，即

由式(5)～(8)可得：

由式(9),(10)和(12)可得：

結合式(6)，(7)和(13)可得活塞桿伸出時偏載力與閥口供油流量q1的關系：

式中：n為液壓缸的不對稱系數，n=A2/A1，n越小，表示不對稱度越大。通過式(1)～(10)可以進一步得到無桿腔流量與外負載FL以及閥口開度xv的關系：

將式(16)代入式(15)可得當活塞桿伸出時偏載力ΔFs的表達式為

同理可得活塞桿處于縮回狀態下的偏載力ΔFd表達式為

由式(17)和式(18)可以發現，增大串聯孔的通流面積可以有效地降低偏載力。且由于閥口的通流面積遠遠小于串聯孔的通流面積，式(18)分母中的第1項可以忽略，則偏載力和閥口開度近似呈二次函數關系。不同負載下偏載力隨閥口開度的變換情況如圖2所示。從圖2可以看出：在同樣負載下，閥口開度越大，偏載力越大；當閥口開度為正時，活塞桿伸出，上活塞桿承受的負載力更大；當閥口開度為負時，活塞桿縮回，此時，偏載力為負值，表明下活塞桿承受的負載力更大。

圖2 不同閥口開度下的偏載力Fig.2 Offset load force under different valve openings

當閥口開度固定時，偏載力和外負載力的關系如圖3所示。將外負載FL以最大額定負載Fmax為標準值進行無因次化，最小額定負載Fmin和最大額定負載Fmax計算式如下：

從圖3 可以看出：偏載力和負載呈線性關系，在閥口開度為正時，隨著負載力從最小額定負載逐漸增大，缸的流量減小，串聯孔兩側的壓差減小，偏載力逐漸減??；在閥口開度為負時，隨著負載力從0 N逐漸增大，缸的流量逐漸增大，串聯孔兩側的壓差也逐漸增大，偏載力從0 N 逐漸增加。

2.1.2 偏載力對活塞桿運動順序的影響

在液壓缸啟動時，偏載力會影響上下活塞桿運動的順序。僅考慮上下活塞桿受到的液壓力和最大靜摩擦力，不安裝連接塊時，由液壓缸的工作原理可知：

圖3 不同負載作用下的偏載力Fig.3 Offset load force under different loads

1)由于油液先流入上液壓缸，當下活塞桿運動時，上活塞桿受到的液壓力始終大于下活塞桿受到的液壓力，即F1＞F2。

2)當下活塞桿不運動時，上下兩腔之間無壓差，此時，上下活塞桿受到的液壓力相同，即F1=F2。

若上活塞桿受到的液壓力F1能夠克服其受到最大靜摩擦力Ff1，而下活塞桿受到的液壓力F2小于其受到的最大靜摩擦力Ff2時，上活塞桿會先運動，即

可得

定義上下活塞桿受到的最大靜摩擦力之差Δf=Ff1-Ff2，則上活塞桿先運動的條件是

當下活塞桿受到的液壓力F2能夠克服其受到的最大靜摩擦力Ff2而上活塞桿受到的液壓力F1小于其受到的最大靜摩擦力Ff1時，下活塞桿會先運動，即

因此，當下活塞桿先運動時，偏載力和最大靜摩擦力之差需要滿足的條件為

當上活塞桿受到的摩擦力小于下活塞桿的摩擦力即Ff1＜Ff2時，結合條件1)可知活塞桿的受力滿足式(23)，上活塞桿先運動。由于上活塞運動后，其受到的滑動摩擦力比最大靜摩擦力小，因此，上活塞桿將運動到底后下活塞桿才開始運動。

當Ff1≥Ff2時，若滿足式(25)，則下活塞桿先開始運動，且由于運動后的滑動摩擦力小于最大靜摩擦力，下活塞桿將運動到底后上活塞桿才開始運動；若不滿足式(25)，假設此時上活塞桿先運動但下活塞桿還沒運動，則由條件2)可知，此時F1=F2，由式(21)得Ff1＜F1=F2＜Ff2，與Ff1≥Ff2矛盾，故此時上下活塞桿將同時運動。

由上述分析可得上下活塞桿運動順序發生變化的臨界條件為ΔF=Δf，此時下活塞桿運動，而上活塞桿處于臨界狀態，有

結合式(1)，(2)，(3)，(4)和(12)可得引起下活塞桿先運動的無桿腔流量的臨界值q1L與上下活塞桿摩擦力之差Δf的關系為

當下活塞桿伸出時，q1與閥口開度xv等存在如下關系，

由此可得下活塞桿先運動時閥口開度的臨界值xvL為

由于Ff1+Ff2和 Δf遠小于 2psA1- 2p0A2，因此，式(29)可簡化為

同理，活塞桿縮回時，可得引起下活塞桿先運動的臨界閥口開度為

將表1 中參數代入式(30)和(31)可以發現：當最大靜摩擦力相同時，活塞桿處于縮回狀態時的臨界閥口開度比活塞桿處于伸出時的臨界閥口開度略大。無連接塊時，若上活塞桿的最大靜摩擦力大于下活塞桿最大靜摩擦力，則當閥口開度大于臨界值時，上下活塞桿同時運動；當閥口開度小于臨界值時，下活塞桿先運動；而若上活塞桿的最大靜摩擦力小于下活塞桿最大靜摩擦力，則無論閥口開度大小，都是上活塞桿先運動。而當上下活塞桿被連接塊連接時，2根活塞桿的先后運動會造成1個活塞桿通過連接塊拖動另外1個活塞桿運動，考慮到2根活塞桿和缸筒以及導向套之間的配合間隙，當2個活塞端面先后與導向套接觸時則會導致活塞桿抖動。產生這類抖動現象的原因正是由于偏載力與2根活塞桿受到的最大靜摩擦力不匹配。

2.2 液壓缸徑向力

2.2.1 徑向力簡化計算模型

由于活塞桿勻速運動時受力平衡，當活塞桿和缸筒之間相對運動時，可視活塞桿靜止，缸筒在活塞桿上滑動，因此，缸筒和活塞之間的約束關系可視為固定鉸支座，活塞桿和導向套的約束關系可視為活動鉸支座，可得到活塞桿受力簡化模型如圖4 所示。圖4 中，FA，FB，FC和FD分別為上下活塞與缸筒及導向套之間的徑向力；s為活塞桿端面至導向套外端面的距離，在活塞桿縮回時，s逐漸增大；l為液壓缸活塞端面至連接塊的距離；M為由于偏載產生的彎矩。

圖4 活塞桿受力簡化模型Fig.4 Simplified mechanics model of piston rods

該結構為三次超靜定結構，可用力法求解各處內力[16]。由于該系統結構對稱，在選取基本體系時可將桿件從對稱軸處截斷，進行對稱處理，集中力FL和彎矩M分解為一對稱力和反對稱力的綜合作用，原結構等效為如圖5 所示的基本體系，且有

式中：dg為等效模型中連接塊的長度；a為力矩等效作用在上活塞桿的力臂長度。

圖5 等效受力模型基本體系Fig.5 Basic system of equivalent force model

對上述結構列變形協調方程：

式中：Xi(i=1,2,3)為原模型等效處理后的多余約束；δij(i,j=1,2,3)為當Xj為單位載荷時，Xi的作用點沿Xi方向上的位移；Δip為外載荷p在Xi的作用點，沿著Xi方向上的位移；δij和Δip可通過圖乘法[16]得出，其中，活塞桿和連接塊的慣性矩分別如下：

式中：d為活塞桿直徑；h為連接塊矩形截面高度；b為連接塊厚度。

A和B點處于力矩平衡狀態，對稱結構的上下部分在水平和豎直方向上處于力平衡狀態，則有

利用式(32)～(35)和圖乘法可以聯立求解出各位置的徑向力。由圖3 可知，當外負載為90 kN，閥口開度為-0.5 mm 時，此時，偏載力最大為-1.4 kN，結合圖1 及表1 可得各徑向力與活塞位置s的關系如圖6所示。由圖6可以發現：

1) 徑 向 力FA與FB基 本 相 等 ，FC與FD基 本 相等，方向相反?；钊c缸筒之間的最大徑向力FA和FB約為單活塞桿承受的軸向負載力(45 kN)的8%，活塞桿與導向套之間的最大徑向力FC和FD最高時超過了軸向負載力的20%。

圖6 活塞處于不同位置下的徑向力Fig.6 Radial force of the piston at different positions

2)活塞桿在縮回過程中，活塞與缸筒之間的徑向力逐漸減小，活塞桿與導向套之間的徑向力先減小再增大，當活塞桿處于液壓缸的中部位置附近時，徑向力總體較小。由此可見，增加導向套的厚度可以減少活塞和缸筒之間的徑向力，對于并聯雙桿液壓缸，其工作行程不宜過長。

2.2.2 徑向力影響因素分析

由于FA與FB基本相等，FC與FD基本相等，下面僅以FB和FC為例說明偏載力ΔF、連接塊的厚度以及連接塊材料對徑向力的影響。

1)ΔF對徑向力的影響。

分別求出在ΔF=0 N和ΔF=-1.4 kN時不同位置狀態下的徑向力。偏載力對徑向力的影響見圖7。由圖7 可見：當活塞桿負載差值從-1.4 kN 變化到0 N時，徑向力幾乎沒有發生任何變化，因此，減小偏載力對降低徑向力沒有明顯作用。

圖7 偏載力對徑向力的影響Fig.7 Effect of offset load force on radial force

2)連接塊厚度對徑向力的影響。

圖8所示為連接塊材料為鈦合金，厚度分別為20，30 和40 mm 時，活塞桿處于不同位置下的徑向力。由圖8可見：連接塊厚度對徑向力的影響顯著，當連接塊厚度增加到40 mm 時，缸筒和活塞之間的徑向力下降到軸向力的2%以下，而活塞桿和導向套之間的徑向力下降到軸向力的7%以下。

圖8 連接塊厚度對徑向力的影響Fig.8 Effect of connecting block thickness on radial force

3)連接塊材料對徑向力的影響。

圖9所示為當連接塊厚度為20 mm，材料為鈦合金以及不銹鋼時，不同位置下的徑向力。由圖9可見：通過使用體積彈性模量大的材料可以有效降低活塞和缸筒以及活塞桿和導向套之間的徑向力。

圖9 連接塊材料對徑向力的影響Fig.9 Effect of connecting block material on radial force

2.2.3 徑向力有限元計算

液壓缸受到的徑向力亦可以通過有限元仿真進行計算。液壓缸徑向力仿真設置如圖10 所示。缸筒鉸鏈連接處設置為固定約束，通過分析可知，徑向力主要由結構所致，與上下活塞桿的軸向偏載力關系不大，因此，在連接塊的軸端軸承組件施加90 kN 的外負載，2 根活塞處均施加45 kN 的軸向載荷。為了加快仿真收斂，除活塞與缸筒、導向套與活塞桿之間設置為摩擦因數為0.001的有摩擦約束外，其余配合約束皆為固定約束。

圖10 液壓缸徑向力仿真設置Fig.10 Hydraulic cylinder radial force simulation settings

徑向力簡化模型和仿真結果對比如圖11所示。由圖11 可以發現：仿真計算得到的導向套與活塞桿處的徑向力FC比簡化模型計算結果更大，而活塞與缸筒之間的徑向力FB的仿真結果與簡化模型計算結果非常接近。兩者的誤差是由于簡化模型忽略了諸多細節因素，模型中物理量的選取也難以完全反映實際，但活塞桿在不同位置下的簡化模型計算結果和仿真結果顯示了相同的變化趨勢，說明該簡化模型可以為工程設計提供參考。

圖11 徑向力簡化模型和仿真結果對比Fig.11 Comparison between simplified model result and simulation result of radial force

3 活塞桿運動理論結果與實驗結果對比分析

液壓缸實驗原理圖見圖12。在系統供油壓力為5 MPa時，使用RP3燃油作為傳動介質，分別進行不同閥信號電流下液壓缸在有、無連接塊下的實驗，實驗所用伺服閥為某型射流管伺服閥，采用自研液壓缸，缸筒材料為鈦合金，活塞桿材料為不銹鋼，主要結構參數見表1。當不安裝連接塊，控制閥信號電流小于6 mA時，下活塞桿先伸出到底，上活塞桿再伸出；當信號反向時，下活塞桿先縮回到底，上活塞桿再運動；當閥信號電流分別為7，15 和40 mA 時，上下活塞桿同時運動；當安裝上連接塊后，閥信號電流較小時，可以觀測到活塞桿在伸出到底時有輕微的抖動現象；當信號電流較大時，抖動現象比較明顯。取下連接塊并重新調整安裝活塞桿后，再在供油壓力5 MPa 下進行實驗，發現當閥信號電流分別為5，7，15 和40 mA 時，上下活塞桿均同時啟動。調整安裝之后的實驗現場如圖13所示。

圖12 液壓缸實驗原理圖Fig.12 Experimental schematic diagram of hydraulic cylinder

圖13 活塞桿動作同步實驗Fig.13 Synchronization experiment of piston rods

上述實驗結果表明：在取下活塞桿重新安裝之前，上活塞桿受到的最大靜摩擦力更大，且上下活塞桿的最大靜摩擦力相差較大，因此，當閥信號電流較小時，下活塞桿先運動；當閥信號電流增大到一定值時，才能使上下活塞桿同時運動；重新裝配后，上下活塞桿受到的最大靜摩擦力的差異減小，但上活塞桿的最大靜摩擦力仍然比下活塞桿受到的最大靜摩擦力略大，因此，在5 mA的小信號電流下仍然是上下活塞桿同時運動，該實驗現象與本文第2.1.2 節中偏載力對活塞桿運動順序的影響的理論分析結果基本一致。

4 結論

1)推導出液壓缸上下活塞桿承受的偏載力表達式。當負載力一定時，偏載力近似為閥口開度的二次函數；當閥口開度一定時，偏載力與負載力呈線性關系?；钊麠U伸出時負載越大，偏載力越大；當活塞桿縮回時，負載越大，偏載力越小。增大串聯孔孔徑可以有效降低偏載力。

2)活塞桿運動到終點產生抖動現象的原因是上下活塞桿的偏載力與受到的最大靜摩擦力不匹配。當上活塞桿的最大靜摩擦力小時，總是上活塞桿先動作，而當下活塞桿的最大靜摩擦力小且閥口開度低于臨界開度時，則下活塞桿先動作。安裝連接塊后，上下活塞桿運動不一致會導致活塞桿在運動終點產生抖動現象。

3)隨著活塞桿的伸出，活塞與缸筒之間的徑向力逐漸增大，而活塞桿與導向套之間的徑向力先減小再增大。通過增加連接塊的厚度以及采用彈性模量更大的材料可以使徑向力得到有效減小，徑向力與液壓缸的偏載力關系不大。