基于改進IMM算法的機場移動目標軌跡跟蹤與預測*

趙文杰 湯新民* 黃忠濤 朱 盼

(南京航空航天大學民航學院1) 南京 211100) (中國民航局第二研究所2) 成都 610041)

0 引 言

目前，國內外先進的民航機場的場面監視，主要是通過場面監視雷達(SMR)實現的[1-2].但SMR容易受到外界因素的影響，抗干擾能力比較差.本文航空器監視數據是利用機載的ADS-B設備獲取的.由于ADS-B技術依賴GNSS系統(全球導航衛星系統)對目標進行定位[3].因此，ADS-B技術本身缺乏對目標真實位置的驗證功能[4].要得到盡量接近真實值的定位信息就需要運用交互式多模型對位置和速度方面進行誤差修正.

IMM算法在各種目標跟蹤問題中非常有效，使用有限數量的不同模型來描述目標的行為，并且不同模型之間的相互作用由轉移概率矩陣控制[5-6].目前國內外一些學者對IMM算法進行了改進，戴定成等[7]通過重新定義模型誤差壓縮率之比，提出了一種改進的馬爾可夫參數自適應IMM算法.封普文等[8]基于后驗信息修正，擴展了一種在線更新馬爾可夫概率轉移矩陣的自適應跟蹤算法.Samuel等[9]提出了一種改善混合系統噪聲的高機動目標跟蹤濾波器性能的方法，設計了有色噪聲一階離散馬爾可夫系統.通過使用具有離散白噪聲加速度和水平協調轉彎模型的IMM濾波器來完成跟蹤.以上學者僅對算法做了跟蹤過程的馬爾可夫參數的改進，并沒有將改進的算法應用到目標軌跡的預測過程，當缺少觀測值時算法失效.劉恒澤等[10]提出了運用IMM對目標進行跟蹤時的航跡外推算法能夠在進行記憶跟蹤的時候保持目標的運動趨勢，但是沒有結合實際運動情況，所以在預測時會產生一定的誤差.

本文旨在通過ADS-B獲取機場航空器/車輛位置信息，通過改進的軌跡外推算法結合機場統計的移動目標路徑選擇概率對移動目標意圖預測，防止車輛駕駛員和飛行員產生偏差.

利用IMM做外推的不足，必須結合先驗信息，如何將先驗信息修正當前狀態轉移矩陣.

1 機場場面信息及建模

1.1 坐標轉換

由于ADS-B接收到的位置信息為經緯度信息，所以需要先將經緯度信息轉換成以機場某一點為原點的平面直角坐標系.

ADS-B報文中目標位置的表示是采用橢球坐標系(φ，λ，h).其中:φ為緯度；λ為經度；h為飛行高度.經過坐標變換到地心直角坐標系(x，y，z)，其坐標轉換公式為

(1)

式中：a為地球的長軸半徑(6 378 137 m)；b為地球的短軸半徑(6 356 752 m).設本地中心點的大地坐標經度、緯度、高度為(φ′，λ′，h′)，根據上述轉換公式，得本地中心點在地心直角坐標系中的位置為

(2)

WGS84坐標系下目標在本地直角坐標系中的坐標為

(3)

RT為旋轉矩陣

(4)

經過坐標轉換，可以將機場中任一點表示為相對于ADS-B地面站為原點的坐標，將跑道和滑行道等活動區域進行劃分，并可以用坐標表示出來該區域的范圍.

1.2 路網及先驗信息建模

1) 路網建模 本文以祿口機場為背景，見圖1.從機場交通路網的實際結構出發用圖來表示其連接關系，見圖2.圖中的節點抽象為機場中道路與道路之間的交叉點，邊抽象為兩個交叉點之間連接的路段，兩個相鄰節點之間的概率作為選擇該路段的量化屬性，從而對跑道及滑行道進行路網建模.機場中的道路交叉口用節點表示，交叉口之間的路段用邊表示.路網模型為G=(V,E,X).其中：V={na，a=1，2,…,9}為節點集合；E={Lb，b=1，2,…,10}為邊的集合；X={(xa，ya)}為第a個節點機場位置的物理坐標.

圖1 祿口機場部分場面地圖

圖2 祿口機場路網模型

2) 構建概率鄰接矩陣 由機場統計的ADS-B歷史數據可得每個節點之間的轉換概率并可得到概率鄰接矩陣.通過預計的下一節點與該節點的坐標差值(xa+1-xa，ya+1-ya)和當前航向比較，如果兩點連線的矢量和速度矢量的夾角在很小的范圍內認為是直行，否則轉彎，進而可以得到某節點預計轉彎和直行的概率.

由圖2可知，共有9個結點的圖G=(V,E,X)，最簡單的方法是使用一個n×n階的概率矩陣A=(aij)n×n來定義，其中:

(5)

式中：1為連通；dij為機場中先驗信息節點i向節點j的路徑轉換概率.

則該圖的概率鄰接矩陣可以表示為

1.3 路段速度建模

(7)

轉換成矩陣為

(8)

對路網中每一條路段的移動目標速度進行統計，統計在路段Lb(b=1，2,…,10)的勻速運動與勻變速運動的概率由矩陣B表示

2 基于交互式多模型的跟蹤和外推

根據機場模型對機場進行坐標轉換，結合移動目標軌跡統計數據與實時處理的ADS-B數據，選取需要跟蹤或預測的移動目標.然后判斷目標的運動過程是否有可靠的觀測值，如果存在可靠的觀測值，則通過當前的觀測值結合傳統的IMM算法對其進行軌跡跟蹤;否則，利用根據歷史信息結合修正的IMM軌跡外推算法對其軌跡進行預測，具體過程見圖3.

圖3 基于IMM軌跡跟蹤與外推過程

2.1 IMM算法

為了描述運動目標的運動狀態，將對各種運動狀態進行數學模型建模，分別用運動目標的運動狀態模型與量測模型表示.

狀態方程:

X(k)=F(k-1)X(k-1)+G(k-1)W(k-1)

(9)

觀測方程:

Z(K)=hX(k)+v(k)

(10)

式中：X(k)∈Rn為狀態向量；F(k)為n維系統狀態轉移矩陣；G(k)為噪聲驅動矩陣；W(k)為狀態方程白噪聲；v(k)量測噪聲向量；Z(K)∈Rm為量測向量.

飛機在機場場面運動一般有三種運動模式，分別為勻速直線運動模型(CV)，勻變速直線模型(CA)，勻速轉彎模型(CT).在每一條路段(跑到、滑行道)中主要包括CV與CA模型，在路段與路段的交叉口處主要包括CT模型.

運動學公式可表示為

(11)

X(K)=FCV(k-1)X(K-1)+

GCV(k-1)WCV(k-1)

(12)

即

(13)

系統觀測轉移矩陣：

X(K)=FCT(k-1)X(K-1)+

GCT(k-1)WCT(k-1)

(14)

(15)

X(K)=FCA(k-1)X(K-1)+

GCA(k-1)WCA(k-1)

(16)

交互式多模型算法引入多個目標運動模型，具有自適應的特點，能夠有效地對各個模型的概率進行調整，并按照相應的概率對每個模型的狀態估計進行加權，實現對運動目標的跟蹤，在實際應用中，產生良好的效果.IMM濾波算法主要包括四個步驟，分別為輸入交互、并行濾波、模型概率更新和輸出數據融合.

輸入交互概率:

(17)

由文獻[11]知IMM算法的并行濾波過程采用的是卡爾曼濾波，此處不再贅述.

似然函數:

(18)

(19)

輸出數據融合：

(20)

2.2 修正馬爾科夫矩陣的軌跡外推算法

在IMM算法中，輸入的交互過程一般為馬爾科夫過程，而模型初始轉移概率由人為確定，并不會隨著實際運動情況而變化.當目標實際運動與初始轉移概率的偏差較大時，這種人為確定的Markov矩陣會因為情況的變化失真而不能準確反映目標的實際運動模式轉換情況，鑒于此，本文利用機場中跑道與滑行道運行的概率等先驗信息對其進行實時修正，使之切合目標實際運動狀態.

(22)

考慮到某時刻某一模型向所有的模型轉移概率之和應為1.因此，需要對上式進行歸一化.修正后的轉移概率計算公式為

(23)

由式(23)可知，當其他模型向模型j轉移的概率增大時，修正后的Markov矩陣中的第j列元素也會隨之增大，那么在下一時刻的模型交互中，機場先驗信息模型概率大的子模型將占據更大比重；相反，機場先驗信息模型概率小的子模型所占的比重將減小.

利用該比值對概率矩陣進行修正，得

(24)

在通常情況下，當k時刻沒有獲得符合條件的觀測值時，需要進行軌跡外推.單一模型情況下通過卡爾曼濾波建立目標軌跡模型，可以通過式(24)得到狀態值的一步預測值進行軌跡外推.

式中：F(k-1)為狀態轉移矩陣.在交互多模型的情況下，由于目標模型是通過多個模型相互作用得到的，因此無法獲得確定的F(k-1)，無法運用式(25)進行軌跡外推.k時刻初始條件Xoj(k-1|k-1)和Poj(k-1|k-1)的計算不受觀測向量的影響，因此在k時刻沒有可信觀測信息時，可以通過式(25)和式(26)分別計算出各模型的狀態預測值和預測協方差矩陣.對模型j進行外推過程如下.

式中:G(k-1)為第j個模型的過程噪聲傳遞矩陣；Qj為噪聲協方差矩陣；T為采樣周期.其中Fj(k-1)和G(k-1)可由CA，CV，CT模型分別得到.

(28)

(29)

(30)

由式(30)可得的狀態預測值和預測濾波均方誤差陣建立目標的外推軌跡，從而實現了交互式多模算法的場面飛機與車輛的軌跡預測.

3 仿真實驗與分析

飛機落地時初始位置為(0,0)，在跑道上先經過一段勻變速運動接著在跑道中勻速運動，到達圖2中的n2節點時轉彎再經過一段勻速過程到達n5節點，在此之前為跟蹤過程，從n5節點之后進行軌跡的外推，其中采樣周期為1 s.其中，初始模型概率為μ=[0.3,0.3,0.4]，初始馬爾科夫轉移概率為Pij=[0.9,0.05,0.05;0.05,0.9,0.05;0.05,0.05,0.9]，觀測噪聲協方差為R=diag{[20,20]}，過程噪聲協方差矩陣Q=diag{[10,10]}.

在觀測數據正常的情況下，運用交互式多模型算法進行目標跟蹤，當沒有符合要求的觀測數據時，運用外推算法進行軌跡外推，軌跡的外推見圖4.

圖4 外推軌跡

為了驗證修正馬爾科夫矩陣的軌跡外推算法與未修正的外推算法的預測效果，分別對兩種算法進行仿真實驗，其中“預測一”表示修正馬爾科夫矩陣的軌跡外推算法的預測軌跡，“預測二”表示未修正的軌跡外推算法的預測軌跡.仿真結果見圖5.軌跡外推的次數與比例見表1.

圖5 外推算法預測軌跡

表1 軌跡外推的次數與比例

為了進一步驗證兩種算法在軌跡選擇上都預測正確的前提下，速度誤差的大小，本文選取了圖5a)情況下運用最小二乘法進行擬合并對速度誤差進行仿真，仿真結果見圖6.其中“V-1”為改進的軌跡外推算法的速度隨時間變化曲線，“V-2”表示未改進的軌跡外推算法的速度隨時間變化曲線.由圖7可知，曲線“V-1”較曲線“V-2”更接近真實曲線，說明改進的外推算法對速度的擬合比未改進的外推算法效果要好.

圖6 外推算法速度曲線

圖7為兩種外推算法速度誤差曲線，均值與方差見表2，改進的外推算法速度誤差在平均值與方差上都更接近真實值，因此速度的擬合效果更好.

圖7 外推算法速度誤差曲線

表2 兩種外推算法速度誤差對比

本文通過設計仿真實驗驗證了改進的軌跡外推算法在移動目標缺少觀測量時根據已有的信息對其軌道選擇準確率比未改進算法有明顯提高，當兩種算法同時對軌道選擇預測準確的情況下，改進的軌跡外推算法對于速度的擬合效果更好，因此能夠對目標狀態進行較好的預測.

4 結 束 語

本文根據機場路網信息和移動目標的運動模型，實現了對目標進行軌跡跟蹤，在此基礎上提出了IMM軌跡外推算法當缺少可靠度觀測值時結合歷史統計數據根據外推算法進行軌跡的預測.將過去時刻的歷史信息融入到馬爾科夫狀態轉移概率矩陣中，在移動目標每經過一個節點馬爾科夫矩陣就會自動更新，使其更符合真實的目標運動狀況，從而使濾波器更好地適應目標運動狀態的變化，以獲得更佳的目標軌跡預測效果.仿真結果進一步證明了改進的IMM外推算法比未修改的軌跡外推算法準確度更高.