批判性思維在數學學習與發展中的應用

馮言澤 梁振英 王明碩

摘要：批判性思維是創新思維的重要組成部分。本文首先介紹了批判性思維的定義，然后從一些公共基礎數學課程出發，介紹了批判性思維在數學課程學習中的實例。其次通過例證闡述批判性思維在數學學習與發展中的應用，最后給出了學生如何在基礎數學中培養批判性思維的建議。

1.引言

隨著科技發展和經濟全球化，創新成了永恒的話題。當今社會的快速發展對高等教育提出了更高的要求，人們對培養適應現代社會發展和具備多種應用能力、可以解決多種復雜的實際問題的創新型人才越來越重視[1]?！陡叩葦祵W》、《概率論與數理統計》等是高等院校理工科的專業基礎必修課，對學生建立隨機概念，處理數據問題，培養創新思維，有著重要的作用。所謂批判性思維，通俗地講，是帶著挑剔的眼光對問題進行反思或質疑。研究表明，批判性思維是數學創新的主要因素之一，對批判性思維應用進行研究，意義重大。

2.批判性思維的界定

當前，關于批判性思維的定義有很多，其中概括較為全面的是：批判性思維是對于某種事物、現實和主張提出問題，進行合理的、反思性的分析，根據自我選擇和判斷，邏輯地作出主張的思考。[2]而數學批判性思維則是在數學學習的過程中，有目的、有意識的對已有的數學表述、數學思維過程及結果做出自我調節性分析、判斷、解釋、推理和調整的個性品質[3]其包括對自己和別人的思維進行反思總結、提出質疑、弄懂情況、獨立分析的過程。對于數學問題，我們時常不滿足于繁瑣的正確解答，而欣賞簡單、對稱性等優美的結果。追求一題多解和嚴格的知識體系是批判性思維的重要標志，這推動著數學邏輯的不斷完善。

3.數學問題中的一題多解

數學問題中有大量題目一題多解。本節以概率論中隨機事件的表達和相關系數的計算以及高等數學中極限問題的求解方法簡述批判性思維在數學中的廣泛應用。

顯然，第一、二種表達較簡單，滿足德·摩根律。第三種太繁瑣。但三種方法可以幫助學生全面了解事件的意義。

（2）將一枚硬幣（有正反兩面）連續拋擲n次，X、Y分別表示正面出現的次數和反面出現的次數，求X、Y的相關系數。對于此問題，大部分同學會想到相關系數的下列求解公式

運用公式（1）求解時，比較麻煩，甚至無從下手。所以有同學試圖尋找一種更簡單的方法。分析題意可得X+Y=n，所以Y=–X+n。利用相關系數的性質可以直接推出X與Y的相關系數為–1，從而既快又好的得出結果。

（3）在高等數學中求解極限問題，可以利用重要極限、等價無窮小代換、洛必達法則、泰勒展開等方法進行運算。例如解時，若用重要極限進行求解，首先要湊出重要極限的形式，然后再求解，過程比較繁瑣，于是我們嘗試一種新的方法，先將其化成指數形式，然后對于指數部分用等價無窮小代換或應用洛必達法則即可以快速求解。

當我們帶著批判性的眼光去看待數學中問題的時候，很多數學問題會發現新的思路。這就是批判性思維的體現。加強數學題目的一題多解的嘗試，有利于培養學生的創新能力。

4.完善統計知識體系

批判性思維在統計知識體系的完善和發展中起到很重要的作用?！陡怕收撆c數理統計》課程中，總體未知參數矩估計是最好的例證。未知參數矩估計是根據大數定律原理中，“樣本K階原點矩依概率收斂到總體K階原點矩”來解決。上世紀90年代的工科統計教材中，矩估計求解思路是：令“樣本K階原點矩等于總體K階原點矩”，從中解出未知參數。采用此方法求解未知參數的矩估計，令人感覺太過生硬，有強迫之意。所以現在的課本采用近似代替的方法，通過委婉的處理，使讀者易于接受。因此，批判性思維還可以推動數學知識體系的不斷完善。

5.批判性思維的培養

隨著素質教育的不斷發展與教育創新的不斷進行，人們對批判性思維越來越重視，所以如何培養批判性思維就顯得格外重要。美國耶魯大學前校長理查德·萊文曾尖銳地指出：中國本科教育缺乏批判性思維的培養。這值得我們深思和反省。批判性思維需要師生雙方相互配合，構建一種公平的、平等的、相互促進的新型師生關系[1]，對此提出如下建議：

（1）對于大學生來說，要有意識地提高創新意識和批判性思維能力[2]，長期以來，如何分析、解決、應用數學問題一直被看成是學好數學課程的關鍵，學生總是圍繞課本上的知識學習，而不去聯想實際生活中的應用，導致其思維不夠靈活，同時也對知識喪失了興趣，因此對于大學生來說，要深入理解新知識的本質，知其然，知其所以然。對于數學問題，既要學會舉一反三，又要聯想實際應用，有意識地培養批判性思維。

（2）對于老師來說，老師應該鼓勵學生質疑問難。質疑是一種以解決特定疑問的形式推動人們追求知識的心理活動。質疑是思維之源，是學習的內在驅動力，它能使學生的求知欲由潛伏狀態變為活躍狀態。沒有合理的懷疑，就沒有思維的批判，因此，鼓勵學生質疑問難，是培養學生批判性思維的重要內容[2][4]。上課前讓同學們爬黑板做題，不失為一種培養批判性思維的好辦法。學生在黑板前做完題以后，老師對學生做錯的題目進行點評和延伸，能夠拓寬學生的思維。

總之，批判性思維是對遇到的問題站在辯證的立場上對其進行反思的習慣。我們在數學課程的學習中，要善于用批判性思維來看待每一個知識點，培養獨立意識與創新精神。

參考文獻：

[1]趙杰梅.基于批判性思維的高校數學教學研究，武漢輕工大學學報，2016，35（3）：107-110.

[2]楊麗.淺談在高等數學教學中批判性思維的培養，高等教育，2016，74-76.

[3]文衛星“三度”視角下的引言課中學數學教學參考（上旬）2018年第1-2期.

[4]載肖敬若.普通教育改革[M].北京：人民教育出版社，1987：78.

（1.山東理工大學物理與光電工程學院;2.山東理工大學數學與統計學院 淄博 250449）