借助幾何畫板促進學生數學核心素養的發展

■天津市咸水沽第三中學 張宗玲

2014 年教育部發布的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》要求，把核心素養落實到學科教學中去，促進學生全面而有個性的發展?！稊祵W課程標準》中明確提出，信息技術的發展對中學數學教育的價值、目標、內容以及教學方式等多方面都具有很大的作用。數學課程的設計與實施，應根據實際情況合理地運用現代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合，注重實效性。在課堂教學中怎樣運用信息技術，以數學核心素養為主線，將課程內容有效地落地，并從數學基礎知識落實中揭示知識背后的數學思想方法，再進一步提升學生的數學核心素養，這是我們一線教師不斷研究的問題。本文主要淺談一下幾何畫板在學生數學思維形成中的作用。

一、縱向拉伸學生的思維，提升學生的數學抽象能力

根據《數學課程標準》要求在課堂教學中促進學生數學核心素養的形成和發展。這就要求教師要結合具體的教學內容，尋找具體有效的教學方法和策略，使學生達到相應水平的要求。數學內容中的數學概念部分的教學，要講清楚其內涵和外延，而有些內容對于內涵的詮釋用語言描述清楚比較費時費力，有些學生很難想象出來，可這些內容又是有助于學生縱向思維拉伸的關鍵點，這就需要借助于信息技術的介入，幫助學生提升思維的空間，起到事半功倍的作用。

例如：在反比例函數的圖象和性質這一節課中，對于圖象的畫法以及圖象形成的過程，由于學生前面已經學過一次函數和二次函數，學生對函數的作圖步驟已經很清楚，但是由于前面兩種函數的自變量取值范圍是全體實數，決定了函數圖象的連續性，或一條直線或一條曲線。但反比例函數y=k/x（k≠0）的自變量取值范圍為x≠0，這樣就決定了函數圖象是間斷的、不連續的，與x軸和y軸的關系是怎樣的呢？這就需要學生的想象力來支撐。但對于初中學生來說，由于前面知識的負遷移，很容易產生思維障礙，出現各種問題：畫成折線、畫成連續的、畫成與x軸、與y 軸相交的……而利用幾何畫板的點追蹤和圖象的無限性，將無數點的發展趨勢很直觀地展現出來，將圖象的無限趨近于x 軸或y 軸，但不與之相交，讓學生很清晰地有了認識。這就是信息技術的強大功能，填補了思維能力較難達到的空白，助推了學生的思維向前邁了一步，使學生的空間觀念和抽象思維建立起完整的構架。

二、橫向拉伸學生的思維，提升對幾何直觀和空間想象能力

數學是一門培養學生思維能力的學科，在課堂教學中經常需要一題多變，一題多解來促進學生思維的橫向發展。對于數學題目之間的發展的內在聯系，要依靠學生的想象力去發現其內在的聯系與規律，但是，有些規律比較隱蔽，學生單靠想象力是難以達到的，初中學生具有依靠直觀性來發展思維能力的特點，因此，就需要信息技術的力量將抽象的問題具體化，直觀化，加速學生觀察圖形、理解數學本質的步伐。

問題1：已知等邊△ADE 和等邊△ABC，如圖1，當點A、C、D三點共線時，探究下列問題：有幾對全等三角形？還有什么結論呢？如果將三角形旋轉就可以得到圖2情形下，圖1中發現的結論是否還成立？

圖1

圖2

利用幾何畫板的度量功能可以度量出相關的角度，度量相關線段長度，驗證線段關系的成立，從而可以驗證學生觀察、猜想出的結論的正確性，增強了學生繼續研究問題的信心，對學生的數感、幾何直觀的培養都起到了很好的作用。還可以利用幾何畫板的填充功能將全等三角形或等邊三角形很清晰地展現在學生的面前，可以幫助學生比較直觀地理解數學問題，把復雜的問題簡單化、形象化，有利于解決問題的思路探索，有助于學生對數學問題的幾何直觀能力和思維能力的提升。

為了進一步提升學生的數學思維，將問題深入探究下去，進而更加接近數學本質的東西，因此，將本題的數學背景圖形進行改變。

問題2：將原來題目中的等邊三角形改成等腰直角三角形，如圖3，上述問題的結論，哪些依然成立？當△ADE 繞點 A 旋轉至圖 4 時，連接 CE、BD 相交于點F，連接FA。問：圖3中的結論還成立嗎？如果成立，請說明理由。

圖3

圖4

利用幾何畫板將上述問題動起來，從兩個等邊三角形的特殊位置，到旋轉過程中的一般位置；從等邊三角形變形為等腰直角三角形的特殊位置，再到旋轉過程中的一般位置，讓學生充分觀察圖形之間的聯系，充分體驗圖形變化過程中，數學問題的神奇變化，學生去猜測、思考圖形在變化過程中不變因素和變化的因素。在這一探究中充分體現出信息技術的優勢，使得數學問題中抽象，難以想象的問題，通過幾何畫板的強大功能，變得容易理解、容易想象了。這也符合初中學生的心理發展的特點，借助直觀發展想象。經過幾何畫板的助力，讓學生的思維不僅增加了寬度，而且拉伸了深度，提升了學生認識數學和理解數學的思維特征——數學思維素養。

三、揭示數學的內在本質，提升學生的空間觀念

在解決數學問題過程中，經常會遇到有一類題無論怎樣冥思苦想，都很難發現解決問題的途徑。而直觀想象是依靠幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用圖形的直觀性來理解和解決數學問題的思維過程。一個數學問題，只有當把這個數學問題的直觀含義和思路想明白，才能真正解決。因此，借助于信息技術詮釋數學問題的內涵，揭示其內在的規律，是教師要用心挖掘的問題。

如圖5，已知等邊三角形ABC，邊長為a，點P 為邊BC上的點，點M為直線AC上的動點，∠MPN=90°，PM=PN，求BN的最小值。

圖5

圖6

這個數學問題是求線段最小值的問題，運用最短原理去探討最小值，關鍵是點N 的軌跡是什么不好想象，幾何畫板的點追蹤問題將此題中的本質展示出來（如圖6），點N的運動軌跡是一條垂直于直線AC的直線，點B到軌跡直線的最小距離就是垂線段（垂足為N）BN的長度。

諸如這一類的問題，都可以用幾何畫板探究數學問題內在所蘊含的規律，揭示事物的本質，同時也拓展了學生思考問題的方法，將最值問題又可以提升出一種方法，點B 是固定點，點M 為直線上的動點，在三角形PMN形狀不變的條件下，考慮點N的運動軌跡是什么圖形，當思維發展到這里，就抓住了解決問題的關鍵。幾何畫板恰恰彌補了思維有些難以達到的不足，有效地解決數學教學中學生思維障礙，將問題真相展示在學生面前，將學生的直觀想象和空間觀念又提升了一個高度，這就是信息技術為數學課堂教學帶來的驚喜。

課堂是培養學生數學核心素養的主渠道，數學核心素養的培養不是一蹴而就的，而是經過長期的積累才能達到的。尤其在課堂中運用信息技術為學生搭建思維平臺，用信息技術助推思維向深、向寬兩個方面發展，基于信息技術提升學生數學核心素養是近幾年教育教學中不斷研究的課題，教師對信息技術的有效運用，使得學生在掌握知識的同時，更加關注依附在知識之上的數學思想方法，最終實現學生的核心素養的提升，也是今后數學教學中恒抓不懈的課題。