一類二階擬線性瞬態方程組的Phragmén-Lindel?f型二擇性結果

李遠飛, 肖勝中, 郭連紅, 曾 鵬

(1. 廣東財經大學華商學院 數據科學學院, 廣州 511300; 2. 廣東農工商職業技術學院, 廣州 510507)

1 引言與預備知識

Saint-Venant原理[1]在應用數學領域應用廣泛, 其早期研究主要集中于橢圓方程的初邊值問題, 此后各種類型的拋物方程得到廣泛關注[2-7]. 通常情況下, 研究拋物方程的空間性質時需假設在柱體的無限端解趨于零或趨近于一個瞬態層流, 并通常假設在柱體的側面上滿足零邊界條件. 經典的二擇一定理不必假設方程組的解在無限端趨于零, 而是證明調和函數隨與有限端距離的增大或者呈指數(多項式)增長, 或者呈指數(多項式)衰減. Horgan等[8]考慮了定義在一個柱體區域Ω?3上的Laplace方程, 假設解在Ω的邊界上滿足非線性條件, 證明了Laplace方程的解或者指數式(或多項式)增加, 或者指數式(或多項式)衰減; 如果在柱體的側面上施加不同的非線性條件, 利用文獻[9]的方法, 文獻[10]得到了解的二擇一定理； 文獻[11]研究了二維雙調和方程的Phragmén-Lindel?f二擇一定理, 并著重考慮了3種不同的半無窮柱體區域； 文獻[12]給出了二維瞬態的Stokes 流體方程的二擇一結果； 文獻[13]考慮了定義在一個三維柱體上的穩態擬線性方程

(ρ(x,u,u)u,i),i=f(u),

當方程的解在柱體的側面上滿足零邊界條件或其次Neumann邊界條件時, 通過對非線性項做出一定的限制, 得到了解的二擇一定理.

本文令Ω表示三維區域上的半無限柱體,Dz表示Ω在x3=z處的橫截面,D表示Ω在坐標平面x1Ox2上的橫截面, 即Ω={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3>0}. 令?Dx3表示Dx3的邊界,z是x3軸上的一個動點,Ωz記為

Ωz={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3≥z≥0},

其中Dx3是與x3相關的一個光滑區域, 例如

uf(u)≥ku2p/(p-1),p>1,k>0;

(5)

g(x1,x2,t)是大于零的給定函數且滿足兼容性條件g(x1,x2,t)=0, (x1,x2,t)∈D0×(0,T)和g(x1,x2,0)=0; 在式(1)中假設ρ滿足

(6)

其中m1,M1和M2都是大于零的常數.

目前, 關于半無窮柱體上解的二擇一性質的研究文獻報道較少, 本文將文獻[13]中的二擇性定理推廣到瞬態方程中, 受文獻[11]的啟發, 考慮3種不同的半無窮柱形區域, 分別給出解的二擇性. 用u的L2積分控制u的L2積分, 即

引理1若w|?Dz=0, 則存在一個依賴于區域Dz大于零的函數r(z), 使得

(7)

其中r(z)=|Dz|表示區域Dz的面積.

證明: 設P是Dz內的一個點. 令P1和P2分別表示過點P平行于x1坐標軸的直線與?Dz的交點, 令Q1和Q2分別表示過點P平行于x2坐標軸的直線與?Dz的交點. 首先, 注意到

所以

(8)

類似地, 有

(9)

結合式(8),(9), 有

再利用不等式(a+b)2≤2(a2+b2)(a,b>0)及H?lder不等式, 可得式(7). 證畢.

2 能量表達式

下面先定義一個能量表達式, 再利用微分不等式技術推導出一個關于該能量表達式的一階微分不等式, 從而得到解的二擇一結果. 為此, 利用方程(1), 可得恒等式

(10)

其中z0≥0是x3坐標軸上的點. 在式(10)中利用分部積分, 可得

令

(12)

于是由式(11)可得

(13)

對式(13)求導, 可得

(14)

根據H?lder不等式和算術幾何平均不等式, 由式(12)可得

(15)

利用式(6)和引理1, 可得

把式(16)代入式(15)再結合式(14), 可得

(17)

(18)

(19)

3 二擇性定理

首先考慮一個一般區域, 即柱體Ω的母線平行于x3坐標軸. 此時, 柱體Ω在任意z∈[0,∞)處的橫截面都相等, 所以Dz的面積不依賴于z, 記r(z)=r0>0. 這種區域是大多數研究者關注的情形[12-13], 但本文考慮的問題更復雜.

3.1 半無窮柱體

對式(11)定義的E(z), 利用式(18)和式(19)分為如下兩種情形分析.

1) 存在一個點z0>0, 使得E(z0)>0.

(20)

2) 對所有的z≥0, 都有E(z)≤0.

此時, 式(19)成立, 所以

(22)

對式(22)從0到z積分, 可得

(23)

式(23)表明當z→∞時, -E(z)指數式衰減于零. 對式(14)從z到∞積分, 可得

(24)

其中

(25)

綜上， 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理1設u為問題(1)-(4)在一個半無窮柱體Ω上的解, 其中函數ρ滿足式(6), 非線性項f(u)滿足式(5). 則對式(12)定義的E(z,t), 當z→∞時或者指數式增長, 或者指數式衰減, 即或者式(21)成立, 或者式(24)成立.

3.2 擴展區域

下面討論當柱體Ω的橫截面隨z→∞不斷擴大的情形, 此時的柱體形狀像一個喇叭花. 顯然柱體截面增大的速度過快, 得不到二擇性結果. 因此必須對柱體做一定的限制. 下面對這種柱體給出一個例子, 即

(26)

根據R(z)的定義可知, 在該區域上R(z)滿足

10, 0<γ≤1.

(27)

下面分兩種情形討論.

1) 存在一個點z0>0, 使得E(z0)>0.

此時, 與3.1中的情形1)類似, 有E(z)≥E(z0)>0,z≥z0>0. 因此由式(18)可得

(28)

對式(28)從z0到z積分, 可得

再由式(13)可得

由于0<γ≤1, 所以

(30)

2) 對所有的z≥0, 都有E(z)≤0.

此時, 由式(19)可得

(31)

對式(31)從0到z積分, 可得

(32)

綜上, 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理2設u為問題(1)-(4)在一個半無窮柱體Ω上的解, 其中函數ρ滿足式(6), 非線性項f(u)滿足式(5). 如果柱體Ω的橫截面Dz滿足式(27), 則對式(12)定義的E(z,t), 當z→∞時, 或者無限增長, 或者無限衰減, 即或者式(29)成立, 或者式(33)成立.

注1在定理2中, 如果γ=1, 則

表明當z→∞時,E(z,t)或者呈多項式增長, 或者呈多項式衰減, 衰減速度至少與z1/δ相同. 如果0<γ<1, 則可做如下處理：

從而

注2如果R(z)=δzγ+1,δ>0,γ>1, 則式(30)中的極限收斂, 從而得不到定理2的結果. 表明柱體截面增大的速度過快, 因此得不到衰減性結果.

3.3 特殊區域

假設R(z)滿足

1

(34)

下面仍分兩種情形進行分析.

1) 存在一個點z1>0, 使得E(z1)>0.

此時, 與3.1中的情形1)類似, 有E(z)≥E(z0)>0,z≥z1>0. 取z0=max{e,z1}, 類似3.2中情形1)的計算, 可得

下面證明式(35)左邊的積分是無限增加的. 因為

(36)

2) 對所有的z≥0都有E(z)≤0.

此時, 由式(19)可得

(37)

對式(37)從e到z積分, 可得

(38)

(39)

綜上， 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理3設u為問題(1)-(4)在一個半無窮柱體Ω上的解, 其中函數ρ滿足式(6), 非線性項f(u)滿足式(5). 如果柱體Ω的橫截面Dz滿足式(34), 則對式(12)定義的E(z,t), 當z→∞時或者無限增長或者衰減, 即或者式(36)成立, 或者式(39)成立.

由定理1～定理3可知, 在衰減的情形下, 要使衰減估計有意義, 必須推導-E(0,t)的上界.

4 全能量估計

假設

(40)

(41)

同時由式(25), 可得

(42)

下面引入一個輔助函數:

S(x1,x2,x3,t)=g(x1,x2,t)e-σx3,

其中σ是一個大于零的常數. 利用分部積分和方程(1), 有

根據H?lder不等式和算術幾何平均不等式, 可得

(44)

(45)

再利用式(40), 可得

其中ε1是一個大于零的任意常數. 類似地, 由式(5), 有

其中ε2是一個大于零的任意常數. 取適當的ε1和ε2, 使得

(48)

其中

所以由式(48)可得E(0,t)≤2F(t). 取適當的σ, 即可得E(0,t)的上界.