例談含根式函數值域的求解方法

■葛云云

求函數值域是高考的重點及熱點，很多問題最后都轉化為求函數的值域得以解決。其中求含根式的函數值域是特殊的一個類型，平常大家碰到的頻率也較高，其求解思路多樣，方法多變，下面對這一類問題的幾種求解策略進行舉例分析。

一、函數單調法

例1求函數的值域。

解：函數的定義域為由復合函數的單調性可知，在定義域內是單調遞減的，所以函數y=在定義域內是單調遞增的，故其值域為。

啟示：利用函數單調性求解函數問題是最常用的方法，解題時可預先判斷函數的單調性，充分抓住函數的相關性質。

二、換元法

例2求函數y=x-的值域。

解：該題與例1相差一個符號，若利用單調性求其值域，會發現在定義域內，為單調遞減，故函數整體的單調性不顯著。此時，可采取換元法，令t=，且t≥0，則，所以y=。該函數為開口向上的拋物線一部分，最小值取在對稱軸t=1 處，故其值域為[-1，+∞)。

啟示：換元法可將含根式函數變為初等函數，而初等函數值域的求解一般較為簡單，需要注意的是換元后的新函數定義域發生了變化。

三、平方法

例3求函數的值域。

解：先找到函數的定義域為[-1，1]，將函數兩邊進行平方，可得y2= 2 +，發現[0，1]，因此y2∈[2，3]，最后得到函數的值域為。

啟示：該種方法適用于兩個根式內x項的系數恰好互為相反數的情況，因其平方后，平方項的和可變為常數。此外，變量x便集中在一個根式內，可有效降低分析難度，利于值域的順利求解。

四、導數法

例4求函數的值域。

解：該題和例3也相差不大，為兩個根式相加，若采用平方法，變量x還是沒能全部集中于根號內，不利于求解值域。此外，其單調性也不直觀，可采用導數法。函數的定義域為，對函數求導得，得，此時函數在該區域內遞減，同理可得函數在上遞增。故其值域為。

啟示：利用導數尋找函數的單調性，通過單調性得到值域。這種方法應該是求函數值域時萬能的方法，一般用在函數較為復雜或者其單調性不顯著時。

五、小結

求解函數的值域是一個非?；A且重要的知識點，不同類型的函數，在求解值域過程中所使用的方法不盡相同，這與函數本身的性質密切相關。含根式的函數只是眾多函數中的一種外在表現類型，可以肯定的是，上述所提到的方法對其他類型的函數也有適用的地方。此外，同一函數也存在多種求解值域的方法。