基于喚醒與生成的數學探究課堂

魏榮

摘要：培養學生做學習的有心人，甚至是知識的發現者，其手段是多樣的，可能是頓悟之后的發現與證明，也可能是解決問題過程中的自然生成。后一種方式在課堂教學中表現為：基于學生的認知基礎，利用并開發教材，創設自然的發散思維情境，喚醒舊知識，引導學生通過聯想、試錯、整合，在問題的解決過程中，逐步弱化條件，探索并獲得新知識。

關鍵詞：勾股定理;自然思維;探究課堂;教學邏輯;喚醒;生成

作為直角三角形的性質，勾股定理揭示了直角三角形的三邊關系，是用來求解線段的長度的最重要手段;作為歐氏幾何的基礎定理，勾股定理的證明是論證幾何的發端定理，是邏輯推理教學的契機;作為數學文化的重要組成部分，勾股定理的發現與發展史，是課堂教學活動不可或缺的?；诖?，“勾股定理”第一課時教學定位為探究定理的獲得及簡單應用，滲透數學文化，體會數學知識的發現與生成過程。

一、問題的提出

如果忽視定理的發現與證明過程，以定理的應用為教學目標，顯然不符合義務教育數學課程標準對培養學生“發現和提出問題、分析和解決問題能力”的要求。發現問題比解決問題更有價值，通過定理的發現過程，獲得基本活動經驗，培養學生的問題意識、創新意識。對于如何發現、探究勾股定理，在平時的教學中，我發現如下一些現象。

現象1：從畢達哥拉斯的發現（如圖1）入手，引入網格驗證特殊的直角三角形的三邊與相同邊長的正方形的面積關系，發現趙爽弦圖，從而得到驗證。

現象2：從制作類似于沙漏的教具（如圖2）入手，發現三個正方形的面積關系，得到猜想，再通過拼圖驗證。

現象3：從特殊直角三角形入手，由等腰直角三角形三邊關系引導計算，發現平方關系，從而聯想正方形的面積，引入網格圖，驗證特殊的直角三角形，發現趙爽弦圖，從而得到驗證。

現象4：通過“畫一畫”“量一量”“算一算”等方式，讓學生發現直角三角形的三邊不是一次關系，進而猜想平方關系，引入正方形，再由割補法驗證。

“觀察、實驗、猜想、驗證”，是數學研究的重要手段。以上幾種教學設計正是基于這個思路。但是，本節課用這種思路教學，學生如何發現命題的存在（特別是平方關系）？為什么會想到用面積法驗證？這將是課堂教學面臨的最大困難。

1.畢達哥拉斯的發現作為文化史，說明數學無處不在，可以鼓勵學生要善于觀察，發現生活中的數學?，F象3僅從等腰直角三角形計算，特例太少，如何歸納？現象1、現象2、現象3故意為之的痕跡太明顯，有告訴學生結果之嫌。

2.現象4試圖通過一般化的計算發現問題，但是無理數如何測量？如何解釋直角三角形的三邊不是一次關系或其他關系？

3.在沒有發現或給予平方關系的情況下，如何想到面積法？面積問題為什么會想到用網格輔助解決？沒有引出網格，發現弦圖，驗證的難度可想而知。

二、教學設計

基于以上考慮，本節課將定理的發現與驗證過程定位為：出于思維過程的合理性，由原有知識（實數

的獲得）出發，利用思維慣性，發現拼圖的價值，并逐步一般化，在面積法求解一般直角三角形的斜邊長的過程中，因目標驅動，自然地發現并驗證勾股定理。歷史名家的發現過程與驗證思路改為在數學文化滲透中簡單體會。

流程：感受邊的關系的存在（確定研究方向）→簡單特殊情況探究（尋找研究手段）→從一般性情況獲得定理（自然生成新知）→定理的簡單應用（知識應用價值）→定理的文化史簡介（他人發現過程）→前人對定理的證明（了解不同方法）→課堂小結學法及定理（回顧歸結生長）

活動1：引導研究方向

【問題設計】

1.在三角形的研究中，我們采取了從一般到特殊的方法，有哪些特殊三角形呢？

2.說說學了等腰三角形的哪些內容？

3.直角三角形呢？如何研究？

4.如果a、b確定，c的值可以確定嗎？說說你的理由。

【設計意圖】問題1、2讓學生體會幾何學習的基本方向，也就是研究圖形的定義、性質與判定，在性質研究中抓住邊、角、特殊線段等，確定課題的研究內容。

問題3、4作為直角三角形三邊關系發現的第一步：相對于一般三角形來說，條件強化，發現三邊的確定關系。

【預設生成】問題4作為這個環節的難點，體現問題的確定性，學生可能存在解釋困難，可提醒學生作圖，聯系全等三角形的知識，發現a、b確定的同時，c是唯一確定的。這個結論說明了c是可求的，從而找到本節課的重點——已知兩直角邊a、b，探究斜邊c的求法。

活動2：定理的發現與驗證

【問題設計】

1.從簡單特殊入手

問題1：已知Rt△ABC，∠C=90°，若 a=b=1，你能求出c嗎？

問題2：若 a=2， b=3，你還能求c嗎？

2.如果一個直角三角形的兩直角邊是a、b，還能求斜邊c嗎？

3.在計算過程中，得到一個關于a、b、c的結論，即a2+b2=c2。由于a、b、c是直角三角形的三邊，所以這個結果就是直角三角形的三邊關系，我們把它稱為勾股定理。

4.歸納：定理、幾何語言

【設計意圖】從簡單特殊圖形入手，給定具體的直角邊，便于計算，符合研究的過程，更為了引出面積法原理。在處理問題1和問題2中體會差異，在差異中找到共性，理順方法，達到一般化的目標，讓定理的獲得水到渠成。

特別是問題2，仍從具體的直角邊長求面積，便于計算。完成兩個目標：一是明確求大正方形的邊長，目標是求大正方形的面積;二是在求中間小正方形的面積計算中，找到一般情形的處理辦法。

【預設生成】問題1的解決方法是多樣的，給足學生時間，從已有知識、學情出發，展開探討，其結果對個別學生來說也可以作為定理的猜想起點。如果存在困難，可以作如下引導：

（1）你熟悉直角三角形的什么？

（2）回顧學習實數時，如何得到_________？

學生基于小學的學習經驗，一般可以聯想到面積，可能通過作斜邊上的高或拼兩塊等腰直角三角形完成。通過以上幾種解法，給學生簡單說明面積法，明晰本節課推理、計算的依據。

問題2的設置是一般化的過程，可以培養學生的動手操作能力，在問題1的基礎上經歷探究試錯的過程。在試錯中識別圖形特征，如拼成的四邊形的四個角是不是直角;在試錯中鞏固原有幾何知識，如等腰三角形的三線合一;在試錯中找到弦圖，明確知道兩條直角邊就可以求得斜邊。

順水推舟，把具體的數換成字母，通過整式運算、恒等變形，自然就得到勾股定理。

活動3：定理的簡單應用

【問題設計】

1.（1）勾股定理有什么用呢？舉例說明;（2）變形等式。

2.練習：Rt△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊為a、b，斜邊為c。

（1）已知a=6，c=10，求b;（2）已知a=5，b=12，求c;（3）已知c=25，b=15，求a。

3.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是_____________.

【設計意圖】問題1、2初步體會定理的價值;問題3針對學生可能出現的錯誤，分析強化對勾股定理條件的識別。

活動4：定理的文化與其他證法

【問題設計】

1.闡述定理的發現與證法發展過程。

2.畢達哥拉斯的發現。

3.美國第20任總統加菲爾德用下圖驗證了勾股定理，你能做到嗎？

4.大家可以去查詢一些有趣的方法，或者你也可以想出某種方法。

【設計意圖】回歸教材，體會與本節課不同的知識獲得方式：觀察、猜想、驗證，引出其他驗證方法。

通過文化史介紹，體驗前人發現定理的過程，感受數學文化的魅力，提高學習數學的興趣;從名家證法的再現，進一步體會面積法，培養幾何直觀素養，滲透數形結合思想。

三、教學思考

數學課堂教學不但要傳遞數學知識，更應滲透數學學習方法、數學思想，指導學生如何學習、如何研究。

（一）嘗試發現新知識的不同渠道

數學定理的發現經常采取“觀察、實驗、猜想、驗證”的科學探究過程。這種探究過程往往建立在大量的實驗基礎之上，通過歸納得以發現。一旦實驗數據太小，學生的敏感性不足，是難以發現的。

從特殊到一般，條件逐步弱化，找到事物的本質屬性，這也是一種發現新知識的有效手段。本課例通過直角三角形已知兩直角邊，發現斜邊的確定性，由特殊到一般，從具體的數值到字母，在任務驅動下，反思、整合解決問題的方法，找到圖形的共性，獲得定理。

（二）基于思維自然生長的教學邏輯

勾股定理的探究，由畢達哥拉斯的發現等入手，顯然指向性太明確;在非等腰直角三角形中引入網格、構造正方形求斜邊長，在教學中未必順理成章。

本課例從學情出發，關注學生的認知發展水平和已有的知識經驗，探究知識發生、發展的過程，引導學生探索新知識。以原有實數? ? ? 的獲得為基礎，發現拼圖的可行性，沿著這條線得到勾股定理，運用勾股定理，由應用價值轉入文化史，在文化史中導入前人證法，在課堂小結中明晰學法，歸結直角三角形的性質，提出定理的應用展望，為數學生成埋下種子。

（三）充分利用學科知識間的關聯性

設計富有思維量的問題，靈活駕馭課堂，有指導地開放課堂，抓住學科知識間的關聯，有助于培養學生的學習力和綜合知識運用能力。

在引導學生進行直角三角形的研究中，類比遷移等腰三角形的學習，從邊、角等幾何元素入手，研究其性質、判定，了解幾何學習的基本套路，為往后學習更多幾何圖形指明方向;教學過程滲透數形結合思想，以數解形，本意為推導勾股定理，實為解題指導;課堂小結延伸斜三角形，暗示勾股定理對幾何運算的普適性。

本節課中，除了回顧實數? ? ? 作為推進課堂教學的著力點，面積法作為運算手段，還涉及在特例中批判性地運用等腰三角形的“三線合一”，在運算過程中鞏固了整式運算的有關知識。

（四）課堂教學成為學生情感態度價值觀的載體

從學生學習的情感、態度來看，一個班級近五十個學生，他們對生活現象的敏感度也不同，相比勉為其難地“逼”學生發現問題，不如在定理的不經意獲得中，培養學生觀察、反思、深入的學習習慣，發現事物的規律，感受數學研究的獲得感。

邏輯思維能力是指正確、合理思考的能力，而學生的學習與生活環境又影響了學生的邏輯思維，所以要求我們構建基于學生邏輯思維的課堂教學邏輯。

培養學生做學習的有心人，甚至是知識的發現者，其手段是多樣的，可能是頓悟之后的發現與證明，也可能是解決問題過程中的自然生成。后一種方式在課堂教學中表現為：基于學生的認知基礎，利用并開發教材，創設自然的發散思維情境，喚醒舊知識，引導學生通過聯想、試錯、整合，在問題的解決過程中，逐步弱化條件，探索并獲得新知識。

參考文獻：

[1] 卜以樓.基于四能的“勾股定理”教學創新設計[J]. 中學數學教學參考，2016（20）.

[2]林日福.基于思維自然生長的創新教學設計與思考：以“探索勾股定理”一課為例[J].中國數學教育，2018（21）.

（責任編輯：奚春皓）