捷聯式航空重力矢量測量低頻誤差機理和修正

蔡劭琨，曹聚亮，于瑞航

（國防科技大學 智能科學學院，長沙 410072）

重力信息對于國民經濟建設和軍事應用都具有重要的意義。地面單點重力測量是獲取地球重力場高頻信息的傳統方法，但是該方法在人跡罕至的地區是難以實施的，并且該方法效率很低，花費較高；海洋重力測量同樣也不是一種效率很高的重力測量方法，因為其航速較慢，并且只能在海面上進行作業；衛星重力測量可以方便地對全球重力信息進行測量，但是只能得到地球重力場的長波部分，重力場的高頻信息不能通過衛星數據獲得。相比這幾種重力測量方式，航空重力測量是快速獲取大面積地球重力場中高頻信息的一種有效手段。所謂的航空重力測量就是將重力傳感器、姿態傳感器、GNSS 等安裝在飛機上進行重力測量的一種方式，這種測量方式用時少、效費比高，是目前重力測量的一種主要手段[1]。

航空重力測量儀器的基本結構可以分成三類：雙軸穩定平臺結構、三軸平臺式慣性導航系統結構和捷聯式慣性導航系統結構。

基于雙軸穩定平臺的重力儀是將重力傳感器安裝在一個穩定平臺上，通過穩定平臺來保持重力傳感器的指向。典型的基于雙軸穩定平臺的重力儀有LCR海/空重力儀、Chekan 重力儀。該種類型的重力儀可以達到1 mGal/5 km（1 mGal=10-5m/s2）的精度水平[2]。

基于三軸平臺慣導的重力儀其核心是一套三軸平臺慣導系統，通過三軸平臺慣導系統來將三軸加速度計組合保持在當地地理坐標系中。典型的有AIRGrav重力儀和GT 系列重力儀。這種類型重力儀可以達到1 mGal/3 km 的精度[3,4]。

“業無高卑志當堅男兒有求安得閑，工程建設雖然苦累，但是我依舊選擇了這一行?！币磺粺嵫借F建參與祖國建設，這也許就是王維振的夢想。

將式(9)代入到式(8)中，并將慣性元件誤差簡化為只有加表零偏（bax、b ay、b az）和陀螺漂移（bgx、b gy、bgz）。假設載體坐標系為前右下，x、y、z三個加表和陀螺分別沿載體坐標系的前向、右向和垂向安裝，導航坐標系為北東地坐標系，測量載機由東向西飛行，由此可得重力儀原始測量誤差與慣性元件誤差之間的關系：

雖然現金流動性較強，但其盈利能力并不高。Jenson（1986）提出的自由現金流量假說認為，如果公司持有過多不必要的現金，管理者會不知不覺地實施現金濫用，從而盲目地進行投資項目，這在無形之間增加了企業經營期間的財務風險，也是對股東權益損害較大的一種自私自利的行為。由此可知，董事會需要抑制這種惡性投資行為來提高現金配置效率。但是當前現狀是不論出于什么樣的原因，很多公司都愿意超額持有現金量以滿足自己的財務報表的需求。

一類誤差是由慣性導航系統帶來的，包括由姿態誤差ψ產生的誤差項[f n×]ψ以及由加速度計測量誤差產生的誤差項C bnδfb；

在可以進行重力矢量測量的兩類重力儀中，基于捷聯慣導系統的重力儀相比于基于三軸平臺慣導系統的重力儀，其結構較為簡單、體積和重量都比較小、安裝方便、操作簡易，是重力儀的一個重要發展方向。本文基于國防科技大學研制的SGA 系列捷聯式重力儀，介紹了捷聯式重力矢量測量的原理，并分析重力矢量測量低頻誤差的產生機理及相應的修正方法。

本文在借鑒CDP項目分類標準的基礎上，參考環保部公布的 《上市公司環境信息披露指南》，并結合樣本公司碳信息披露的實際情況，建立了涵蓋戰略規劃、治理架構、風險或機遇識別、碳排放核算四大類的上市公司碳信息披露評價體系。在碳信息披露評價體系的框架下，運用Python軟件實現對樣本公司所披露文件的內容爬取與文本分析，最后通過算法匯總企業碳信息披露所獲得分。碳信息披露評價體系見表1。

1 重力矢量測量數學模型及誤差分析

根據牛頓第二定律，質點的運動方程在慣性坐標系i中可以表示為：

通過FMA評分判斷，治療前兩組患者無明顯差異，治療后兩組患者相比，差異有統計學意義（P＜0.05）。見表1。

式中，Gi表示引力加速度；表示質點在慣性坐標系i中的運動加速度；xi表示質點在慣性坐標系i中的位置矢量；fi表示慣性坐標系i中的比力，由重力傳感器獲得。

式(1)表明，不能從重力傳感器測得的比力fi中將引力加速度和運動加速度區分開來。對于靜態重力測量，此時質點運動加速度等于零，重力傳感器輸出值在大小上等于引力加速度。但是在動態的重力測量中質點的運動加速度非零，此時不能從重力傳感器的測量結果中將運動加速度扣除，因此，動態條件下僅僅通過單一的重力傳感器并不能測量得到重力信息。

動態重力測量的基本原理可通過對式(1)進行變換得到：

式(2)可以表示成在當地地理坐標系n中的形式[9]：

式中，γn表示正常重力矢量在n系中的投影；v en表示載體的速度；表示載體的加速度；fb表示載體坐標系b下的比力信息；Cbn表示導航坐標系n（即當地地理坐標系）和載體坐標系b之間的轉換矩陣；ωenn表示n系相對于地球的轉動角速度在n系中的表示；ω ine表示地球相對于慣性系i的轉動角速度在n系中的投影；δgn表示重力矢量測量所獲得的擾動矢量信息。式(3)的右邊部分根據來源不同可以分為兩類：

步驟5：在步驟4 得到的重力擾動中存在大量的高頻噪聲，噪聲的幅值是重力信號的幾百甚至幾千倍，重力信號比噪聲大的頻帶只集中在低頻段的很窄范圍內，需要通過低通濾波器來提取重力擾動信息（示意圖如圖5所示）。并且由于重力信號和噪聲之間沒有明顯的過渡，低通濾波器的截止頻率較大（截止頻率大，對應的波長則較短）雖然有利于提高測量結果的空間分辨率，但會使得殘留噪聲增多，從而導致精度降低；相反，如果低通濾波器的截止頻率較?。ㄏ鄳牟ㄩL較長），雖然可以提高濾波的效果，同時也會有更多的重力信號被一起濾除，從而影響測量結果的空間分辨率。因此，需要根據任務的需求綜合考慮測量精度和空間分辨率，選取合適的低通濾波截止頻率；

從圖2可看出，谷索的就位對吊索索力影響很??；脊索就位對不同索的索力影響不同；膜的安裝將提高吊索的索力。

式中，δgD表示重力擾動的垂向分量，即標量測量的結果；δgN表示重力擾動的北向分量；δgE表示重力擾動的東向分量；vN、vE和vD分別表示載體運動速度的北向、東向和垂向分量；和分別表示載體運動加速度的北向、東向和垂向分量；ω ie表示地球自轉角速度的大??；RM和RN分別表示子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑；L和h分別表示緯度和高度；γ表示正常重力的數值大小。

改革開放前我們重視公平而忽視效率，把共同富裕當作同步富裕、同時富裕和同等富裕去追求，導致社會的同步貧窮、同等貧窮，造成分配上的平均主義和“大鍋飯”。改革開放后我們追求公平與效率的統一，允許一部分人、一部分地區先富起來，打破了平均主義和“大鍋飯”，調動勞動者積極性，解放和發展生產力，引起經濟、社會和精神生活的深刻變化。所以，先富起來的辦法比平均主義的老辦法好，有利于實現先富。

對式(3)進行變分，可以得到捷聯式航空重力矢量測量的誤差模型：

同樣，式(5)右邊的誤差項可以分成兩類：

在這三種類型的重力儀中，基于雙軸穩定平臺的重力儀通常只配置了一個重力傳感器，因此只能進行重力標量測量，基于捷聯式慣性導航系統結構和三軸平臺式慣性導航系統結構的重力儀不僅可以對重力的標量信息進行測量，還可以實現對重力矢量信息的測量（也就是對垂線偏差進行測量）。目前，進行重力標量測量的重力儀已經有成熟的商業產品（LCR、Chekan、AIRGrav、GT），重力矢量測量儀還沒有成熟的產品，大部分處于實驗室階段。但是與標量測量相比，矢量測量在大地測量、固體地球物理、海洋學和資源勘探等方面具有優勢[7]。首先，雖然垂線偏差可以利用費寧-梅內斯（Vening-Meinesz）積分通過重力異常信息間接得到，但是這種方法理論上需要全球覆蓋的重力異常信息，這一條件是很難滿足的，尤其是在極點區域。如果可以直接對垂線偏差進行測量的話，那么就不需要這么嚴格的條件，因此，重力矢量測量可以快遞、經濟地獲得更精確的結果；其次，大地水準面對于固體地球物理中的均衡補償具有很重要的意義，而大地水準面剖面可以通過對測線上的垂線偏差進行積分得到，并且沿測線對垂線偏差進行積分的方法不存在邊界效應的問題[7]；再次，借助于由垂線偏差得到的大地水準面資料，冰川學家可以研究冰川移動中的重力不平衡因素；第四，在海洋學中，結合海洋大地水準面信息和衛星測高確定的海洋表面，可以計算出所關心的洋流信息，而其中的海洋大地水準面可以通過垂線偏差來計算得到[8]。

內分泌失調是臨床女性常見生理現象,由環境、生理及營養等方面因素引起。近年來,隨著生活節奏不斷加快,工作及家庭對女性造成的壓力急劇上升,導致內分泌失調發生率增加。內分泌出現失調后,患者極易出現痤瘡、肥胖、不育及婦科、乳房等表現和疾病,對其正常生活及工作造成影響。因此,有必要立即對其實施對應治療,確保其健康。本研究選取300例內分泌失調患者作為研究對象,對其中150例采用克羅米芬聯合絨毛膜促性腺激素、人絕經促性腺激素治療取得滿意效果,現報道如下。

式(3)可以寫成分量的形式：

其中，在當前GNSS 精度條件下，由GNSS 引起的誤差已經很小了，在這里不做討論。因此，本文重點討論由慣導系統引起的誤差。在這種情況下，式(5)表示的航空重力矢量測量誤差模型可以簡化成：

展開成分量形式如下：

式中，fN表示加速度計比力測量值的北向分量；fE表示加速度計比力測量值的東向分量；fD表示加速度計比力測量值的垂向分量；δfN表示加速度計比力測量誤差的北向分量；δfE表示加速度計比力測量誤差的東向分量；δfD表示加速度計比力測量誤差的垂向分量；ψ N、ψ E和ψ D分別表示沿當地地理坐標系三個軸的姿態測量誤差。

在航空重力測量中，要求飛機沿著測線水平勻速直線飛行。此時有fD≈g?f N,fE，其中g為重力加速度大小，式(7)可以寫成：

The level of A-CoA of the model group was increased obviously compared with that of the blank group (P< 0.05), and the level of A-CoA of the FZ and LWDF groups were decreased compared with that of the model group (P< 0.01; Fig. 3).

雖然采用組合算法能夠在很大程度上估計慣導的姿態誤差并予以抑制，但是并不能將姿態誤差完全消除，這也正是引起重力矢量測量的一個重要的誤差源。所以舒勒周期會一直存在于測量結果中。姿態誤差ψ主要是由陀螺漂移bg引起，可以近似表示為：

基于捷聯慣性導航系統的重力儀其核心部分是一套捷聯式慣性導航系統。通過捷聯式慣導系統計算出載體的姿態，然后將三軸加速度計的輸出投影到當地地理坐標系中。典型的系統有SISG[5]和國防科技大學研制的SGA 系列重力儀[6]。此種類型重力儀目前可以達到1-3 mGal 的精度，相應的分辨率為1-3 km。

從式(8)可以看出，對于重力標量測量而言，誤差主要來自于加速度計測量誤差，這一誤差通常表現為常值誤差或者線性漂移誤差，可以通過機場停機坪處的重力真值來進行校正。而對于重力矢量測量，重力擾動水平分量測量結果不僅受到加速度計測量誤差的影響，更重要的是還受到水平姿態測量誤差ψN和ψE的影響，1 ?的姿態測量誤差會引起4.75 mGal 的水平分量測量誤差，而且姿態誤差并不表現為常值或者線性的形式，很難通過機場停機坪處的垂線偏差真值來進行校正。

實際上，如圖1和圖2所示，在慣性導航系統中，水平姿態誤差存在舒勒周期（藍色曲線），并且這一周期性振蕩的幅值受到傅科周期的調制（紅色曲線）。需要指出的是，由于不知道水平姿態誤差的初始相位，因此不能通過圖1所示的姿態誤差曲線對水平姿態誤差進行補償。但是在水平姿態誤差曲線中存在舒勒周期和傅科周期兩個周期，舒勒周期的周期為84.4 min（5064 s），傅科周期的周期在兩極等于24 h，緯度越低，周期越大。那么重力水平分量的測量誤差中也將存在這兩個周期。對于典型的小型航測飛機，飛行速度大約為60 m/s，舒勒周期對應的波長為304 km，也就是說，捷聯式航空重力矢量測量水平分量的測量誤差主要影響波長大于304 km 的重力場長波部分，在重力水平分量測量結果中，波長大于304 km 的部分除了有真實的垂線偏差信息外，還包含姿態測量誤差，是一種低頻誤差[5]?，F在需要做的就是在低頻段內對重力水平分量測量結果中的誤差進行修正。

圖1 慣導系統水平姿態誤差之滾動角誤差Fig.1 Roll error in Horizontal attitude errors of the inertial navigation system

圖2 慣導系統水平姿態誤差之俯仰角誤差Fig.2 Pitch error in horizontal attitude errors of the inertial navigation system

如果將水平分量測量結果中波長大于304 km 的低頻部分濾除，那么得到的重力水平分量信息只是相對重力信息，要想將估計出來的相對重力場與絕對重力場聯系起來，就必須知道重力場的一些先驗信息。而地球重力場模型正好可以提供這樣一種重力場的先驗信息。

2 地球重力場模型

EGM2008（Earth Gravitational Model 2008）是由美國發布的全球超高階地球重力場模型[10]，該模型是用一組球諧函數的系數來表示地球重力場，模型的階次完全至2159 階，相當于模型的半波長空間分辨率為5 ′（約9 km）。

可以利用EGM2008 模型通過下面兩個式子來計算地球上指定點的重力擾動水平分量：

式中，GM= 3.986004415 ×1014m3/s2表示牛頓重力常數與地球質量的乘積；a= 6378137 m 表示地球的長半軸長度；r、θ和λ分別表示計算點的地心矢徑、緯度和經度；和表示正?；牡厍蛑亓瞿Ｐ颓蛑C系數；n和m分別表示模型的階和次；（cosθ）表示n階m次的勒讓德函數值；（cosθ） /dθ表示勒讓德函數的一階導數。

3 利用地球重力場模型修正水平分量中的低頻誤差

第二節的分析表明，在重力矢量測量結果的水平分量中存在低頻誤差，這一低頻誤差所處的頻段和慣導系統水平姿態誤差的頻譜特性有關?？梢栽谒椒至康臏y量結果中將具有誤差的低頻部分去除，然后用相應階次的地球重力場模型計算值來代替具有誤差的低頻（長波）部分，這樣就能對水平分量測量結果中的低頻誤差進行修正。數據處理過程如圖3所示。

圖3 數據處理流程圖Fig.3 Data processing flow chart

步驟1：利用捷聯式慣性導航系統中的加速度計和陀螺數據進行慣性導航解算；

具體步驟如下：

通過訪談發現，當問到“家鄉與昆明的異同點”時，留學生經常會圍繞空氣、天氣、飲食、建筑、生活等來回答，例如：“昆明空氣很好，就是有點冷”，“昆明的天氣和我的國家一模一樣”，“我的家鄉很擁堵，交通也不是那么方便，在昆明坐公交可以去很多地方”，“昆明很多東西我都吃不慣，我喜歡吃泰國菜”，“昆明的很多街道都很像”等。在一定程度上可以歸納出，留學生在城市尺度上的地方感主要是在宜人的氣候條件、便捷的生活、不合胃口的飲食、無地方性的城市建筑中形成的。

步驟2：通過GNSS 獲得載體的位置、速度和加速度信息；

步驟3：將GNSS 的位置和速度信息作為外部觀測，結合慣性導航解算的結果進行組合卡爾曼濾波，估計出導航誤差參數并進行反饋校正以提高比力的測量精度；

步驟4：利用公式(3)計算出重力擾動三分量（示意圖如圖4所示，圖4～7 中所示橫坐標皆為波長）；

一是由慣導系統測量或計算得到，包括比力fb和轉換矩陣Cbn；

1)施肥要求。畝施雨露水稻專用肥(15-15-15)40公斤作基肥，栽后一周畝施尿素5～6公斤，結合化學除草作分蘗肥，畝施尿素7～8公斤、氯化鉀7公斤作穗肥。

無論是西方文明發展演進邏輯，還是中國文明自信演進邏輯，都是人類建設美好家園的路徑選擇。研究兩大文明演進的起點、邏輯展開和邏輯歸依，有助于厘清近代以來人類社會的發展邏輯，有助于世界各國探索和選擇發展路徑，也有助于構建中國文明自信演進的話語體系。

圖4 步驟4：根據公式(3)得到的重力信號Fig.4 Step 4: Gravity information calculated from Eq.(3)

圖5 步驟5：對步驟4 得到的重力信號進行低通濾波以去除高頻噪聲Fig.5 Step 5: Low-pass filtering is performed for the gravity information obtained in step 4 to remove the high frequency noise

步驟6：利用高通濾波器將重力測量結果中受低頻姿態誤差影響的低頻部分去除（示意圖如圖6所示）。高通濾波器的截止頻率根據舒勒周期來確定，理想情況下為舒勒周期的倒數，由于濾波器過渡帶的存在，實際使用中可適當增大高通濾波器的截止頻率（即減小相應波長）以保證低頻部分能被充分濾除。

步驟7：利用EGM2008 模型通過公式(11)和(12)計算重力擾動的兩個水平分量，計算的階次由步驟6中高通濾波器截止頻率對應的空間分辨率來決定，公式如式(13)所示，其中空間分辨率的單位是度。

步驟8：將經過步驟5 和步驟6 之后得到的重力水平分量與步驟7 得到的重力水平分量低頻部分EGM2008 計算值相加即可得到最終的重力水平分量（示意圖如圖7所示），在此結果中，由姿態誤差引起的低頻誤差已經得到了消除。

圖6 步驟6：對步驟5 得到的重力信號進行高通濾波以去除包含姿態誤差的低頻部分（長波部分）Fig.6 Step 6: High-pass filtering is performed for the gravity information obtained in step 5 to remove the low frequency(long wavelength) part containing attitude error

圖7 步驟8：將經過步驟5 和6 得到的重力水平分量加上步驟7 得到的EGM2008 低頻重力水平分量計算值Fig.7 Step 8: Adding the EGM2008 low-frequency gravity horizontal components calculated by step 7 to the gravity horizontal components by step 5 and 6

4 算 例

2010年5月，國防科技大學和航空物探遙感中心研制的捷聯式重力儀SGA01（如圖8所示）在山東的東北部海域進行了飛行試驗。

圖8 SGA01 示意圖Fig.8 Photograph of SGA01

重力儀所采用的慣性元件包括加表和陀螺，其中陀螺漂移為0.004 ° /h。飛行試驗載機為Cessna208，駕駛員通過自動駕駛儀來控制飛機的飛行，為了避免強對流氣象條件對測量作業的影響，飛行試驗選擇在天氣情況良好的時候進行。測量過程中飛行平穩，飛機保持勻速直線等高度飛行，飛行試驗的平均飛行高度為400 m，平均飛行速度為60 m/s。

在這次試驗中，SGA01 系統進行了重復測線的飛行以檢驗系統的內符合精度（如圖9所示），包括6條東西方向的重復線，每條重復測線的有效長度為100 km。

圖9 山東試驗重復飛行測線（使用相對坐標）Fig.9 Repeat flight lines in the Shandong test(using relative coordinate)

這次試驗中，在6 條東西向測線上得到的原始水平分量如圖10 所示，空間分辨率為4.8 km。從圖10中可以看出，由于低頻誤差的存在，各條重復測線得到的結果之間存在較大的偏差，內符合精度統計見表1，標準差和均方差差別較大（尤其是北向分量）的原因正是由于低頻誤差的存在。本次試驗中所采用的陀螺其漂移為0.004 ° /h，根據式(10)估計出的重力擾動水平分量的誤差為14.05 mGal，與表1所示的北向分量均方差基本一致。經過步驟5 的低通濾波和步驟6的高通濾波后得到的重力擾動水平分量如圖11 所示，為了將水平分量中的低頻部分充分濾除，高通濾波器的截止頻率選為0.00079 Hz（1/1266 s）。那么，高通濾波所濾除部分的波長大于76 km（1266 s×60 m/s），對應EGM2008 的階數用式(13)計算為512 階（1°對應的空間分辨率大約是108 km）。EGM2008 計算得到的512 階重力擾動水平分量如圖12 所示。最后將EGM2008 計算得到的重力擾動低頻部分加上圖11 所示的部分得到如圖13 所示的最終結果，內符合精度見表2。比較表1和表2可以發現，水平分量中的低頻誤差得到了有效的消除，北向分量的均方差由16.95 mGal 改進為2.53 mGal，東向分量的均方差由5.43 mGal 改進為2.99 mGal。

人人都說內蒙古的羊肉好吃。為什么好吃？其實也沒什么奧秘，無非內蒙古的羊是吃沙蔥的羊，沙蔥本身去膻氣，羊肉固然就少有膻味。

圖10 6 條東西向測線上得到的原始重力擾動水平分量Fig.10 The original horizontal components obtained from the six survey lines in the east-west direction

表1 山東海域試驗原始重力水平分量內符合精度（mGal）Tab.1 The repeatability of original horizontal components in the Shandong test (mGal)

圖11 6 條東西向測線上經過步驟5 和步驟6 后得到的重力擾動水平分量Fig.11 The horizontal components obtained from the six survey lines in the east-west direction after step 5 and step 6

圖12 EGM2008 計算得到的512 階重力擾動水平分量Fig.12 512-order horizontal components calculated from EGM2008

圖13 6 條東西向測線上經過步驟5 和步驟6 后得到的重力擾動水平分量Fig.13 The horizontal components obtained from the six survey lines in the east-west direction after step 5 and step 6

表2 山東海域試驗最終重力水平分量內符合精度（mGal）Tab.2 The repeatability of final horizontal components in the Shandong test (mGal)

5 結 論

在不同類型的航空重力儀中，基于捷聯式慣性導航系統和三軸平臺式慣性導航系統的重力儀不僅可以進行重力標量測量，還可以進行矢量測量。其中基于捷聯慣導系統的捷聯式航空重力儀具有結構簡單、體積重量小、操作簡便等優點，是重力儀的一個發展方向。本文對捷聯式重力矢量測量的誤差機理進行了理論分析，并通過實測數據對水平分量中的誤差進行了處理，得出以下結論：（1）捷聯式航空重力儀測量得到的重力擾動水平分量主要受到低頻誤差的影響，這一低頻誤差主要是由加速度計測量誤差和姿態誤差引起的。

搜集相關文獻，總結以往研究成果，提出本研究的基本思路，并在此基礎上構建學生數學基本活動經驗實踐研究的研究體系。

（2）用本文所述方法對捷聯式航空重力儀水平分量測量結果進行處理，水平分量內符合的均方差得到了明顯的提升，在測量空間分辨率4.8 km 的條件下，北向分量的均方差由16.95 mGal 改進為2.53 mGal，東向分量的均方差由5.43 mGal 改進為2.99 mGal。