SC-FDE系統中基于壓縮感知的慢衰落航空稀疏信道估計

畢號旗，向 新，李 娜，鄭萬澤，鞠 明

(1.空軍工程大學航空工程學院，西安，710038；2.西安電子科技大學通信工程學院，西安，710071；3.空軍工程大學科研學術處，西安，710051；4.91313部隊，北京，100038)

航空無線信號在傳輸過程中受到地理環境以及收發機相對運動的影響，其傳輸信道存在延遲擴展、多徑衰落和多普勒頻移。同時航空無線傳輸多強調移動和障礙物陰影衰落的影響，通常建模為具有慢衰落特性的多徑信道，即信道響應的變化通常大于傳輸符號時間。

實測信道[1-2]表明，航空多徑信道是一種稀疏信道，即：信道的單位沖擊響應系數分散在個別抽頭，其余抽頭權值為零。通過航空信道的碼元之間相互影響，當前碼元可以影響其后數十個碼元，引起嚴重的碼間串擾(Inter Symbol Interference，ISI)，導致通信質量下降。此時，可以通過單載波頻域均衡或者采用OFDM等技術消除信道對信號的影響。但是OFDM存在對頻偏敏感、峰均比高的問題，而分塊傳輸的單載波頻域均衡(Single Carrier Frequency Domain Equalization，SC-FDE)技術實現較為簡單且在航空機載應用環境中使用較佳，因此得到廣泛應用[3]。

SC-FDE系統依賴于準確的信道估計，否則會傳遞誤差，導致輸出誤碼率高[4]。目前，信道估計的方法可以分為2類：①借助導頻信號估計信道，犧牲帶寬換取穩定性；②根據發射信號的統計特性對信道進行盲估計[5]，雖然省去了導頻的開銷，但是復雜度高。借助導頻信號進行信道估計有2種方法：①根據最小二乘(Least Squares，LS)準則進行估計，包括時域和頻域估計方法。最小二乘方法對于密集分布的無線信道估計是最優的，當傳輸信道是稀疏信道時，估計性能下降[6]。②利用偽隨機序列(Pseudo-Noise Sequence，PN)的循環相關特性進行估計[7]，復雜度低，但由于序列相關性不理想，存在殘留矩陣，導致信道估計精度低于最小二乘方法。以上2種方法主要應用在抽頭能量分布密集的信道估計上，沒有利用稀疏信道的特點，估計效率不高。在OFDM系統中，經常采用效率較高的壓縮感知方法進行稀疏信道估計[8-9]：根據信道的稀疏特征和OFDM系統模型構造測量矩陣，通過恢復算法重建信道響應。由于系統結構不同，OFDM系統中壓縮感知估計信道的方法不能直接應用于SC-FDE系統。

因此，為解決SC-FDE系統中航空稀疏多徑信道估計不準確影響后續信號處理的問題，本文擬針對航空慢衰落多徑信道系數特性，提出一種基于壓縮感知框架，利用PN序列構建優化測量矩陣，采用SAMP算法作為恢復算法的航空多徑稀疏信道估計算法——PN-SAMP算法，并與PN算法、LS算法和OMP算法進行了比較。

1 單載波頻域均衡系統

在發射端，待發送的連續比特流被映射成離散符號并用矢量表示，實現正交調制，同時添加循環前綴完成數據塊的構建。在數據塊前面添加導頻塊，得到完整傳輸幀結構，如圖1所示。傳輸幀成形濾波器變為連續波，再由載波調制發射出去。在接收端，利用滑動相關器對導頻信號進行定位，去除CP，提取導頻用于信道估計。將數據塊部分通過FFT變換到頻域完成信道均衡，隨后通過IFFT變換回時域，完成信號的判決和輸出。圖2為單載波頻域均衡系統結構圖。

圖1 傳輸幀結構

圖2 單載波頻域均衡系統

根據MMSE頻域均衡的原理，得到均衡器的頻域表達式[6]：

(4)

式中：“*”表示共軛；N0為噪聲功率譜；H為信道的頻域表達式。

在頻域完成均衡后通過IFFT將頻域均衡器輸出變換回時域，得到軟判決輸出：

z=FHCY

(5)

式中：Y為接收信號的頻域向量；FH為F的共軛轉置矩陣，表示IFFT運算。

最終，根據最大后驗概率準則(Maximum A Posteriori Estimation，MAP)對均衡器輸出的時域信號z進行硬判決，得到星座輸出:

(6)

式中：dec(·)表示信號硬判決輸出。

2 利用壓縮感知估計航空稀疏信道

2.1 航空多徑信道的稀疏性

一般來說，不同的飛行場景對應不同的信道模型，按照地理環境進行建模雖然準確但是復雜度高，且模型可移植性不強。因此，一般依據廣義平穩非相關散射(Wide-Sense Stationary Uncorrelated Scattering，WSSUS)準則，通過統計的方式對時變多徑信道建模[10]。本文主要關心巡航狀態下的航空信道模型。

飛機巡航場景如圖3所示，機載天線接收到的信號主要分為2部分，一部分是來自地面發射的直射路徑(LOS)信號，另一部分是通過反射路徑反射回來的信號，反射信號由多個服從高斯分布的獨立信號相疊加，故反射信號服從瑞利分布，機上接收天線接收信號整體服從萊斯分布。

圖3 飛機巡航場景

復數值的信道響應：

h=a·ej2πfDLOSkTs+c·hk

(7)

式中：fDLOS為直射徑的多普勒頻移，a·ej2πfDLOSkTs為主徑分量，a為主徑幅度，是一個常實數；c·hk是反射徑分量，c是常實數，hk是多個不同多普勒頻率正弦波的歸一化合成波幅度，是一個復變量。萊斯因子定義為：

(8)

一般來說，反射分量是非均勻分布，反射波的波束通常假設為3.5°，其時延功率譜與多普勒功率譜見圖4。

圖4 兩徑信道時延功率譜與多普勒功率譜

此外，實測信道[1-2]表明航空信道除了零時刻和最大延時時刻有能量外，在其他時刻也存在能量分布，但整體仍呈現稀疏特性。

2.2 壓縮感知原理

壓縮感知(Compressed Sensing，CS)由D.L.Donoho等科學家于2004年提出[11]，被廣泛應用于圖像處理、計算機科學、信號處理等領域[12-14]。

考慮一維離散信號x∈RN，存在正交基Ψ={ψ1,ψ2,…,ψM}T(Ψ一般為N×N的Hermite矩陣)，使得x在該基底下可以表示為：

x=ΨHθ

(9)

式中：θ=[θ1,θ2,…,θN]T中只有K個較大值，其他值均很小，且K?N，則信號x在Ψ域上是K稀疏的，θ為x在Ψ域下的稀疏向量。

考慮一般的線性變換，原始信號x與空間RN中一組向量集合Φ={φ1,φ2,…,φM}T的M(M?N)個內積，得到：

y=Ax=ΦΨHθ

(10)

式中：y=[y1,y2,…,yM]T為觀測量；A=ΦΨH為傳感矩陣；Φ為測量矩陣。當Φ滿足約束等距RIP(Restricted Isometry Property)條件時[15]，可以采用壓縮感知恢復算法求解θ，利用式(9)恢復x。

由上面的分析可知，采用壓縮感知的方法對信道進行估計的關鍵是構建滿足RIP條件的測量矩陣Φ。同時，為了提高信道估計的精度，測量矩陣Φ還需要滿足互不相干特性MIP(Mutual Incoherence Property)[16]。

定義1：對于測量矩陣Φ，互不相干特性要求構成測量矩陣的各列向量(‖φk‖2=1,1≤k≤N)的相干特性要盡量小，以保證估計性能，即：

s.t.(2K-1)μ<1

(12)

式中：K為離散信號x的稀疏度，測量矩陣Φ不僅要滿足RIP條件，并且μ越小，信道的估計精度越高。

目前，應用在OFDM系統的測量矩陣主要是隨機矩陣和部分傅里葉矩陣，這些矩陣雖然滿足RIP特性，但其MIP特性不是最優的，信道估計性能下降。因此，需要為SC-FDE系統設計專門的測量矩陣。

2.3 構造測量矩陣

在SC-FDE系統的接收端，由于無法準確獲得信道長度L，因此，假設L等于導頻塊長度N。SC-FDE系統的幀結構使得CP與導頻相同的情況下，可以將導頻序列與信道沖激響應的線性卷積轉換為循環卷積，接收到導頻序列為：

yp=p?h+n

(13)

式中：p=[p1,p2,…,pN]T為發送的導頻信號；h為信道響應，具有時域稀疏特性；n為復高斯白噪聲序列；?表示循環卷積。

式(13)可以進一步寫為：

yp=Ch+n

(14)

式中：C為導頻信號組成的導頻矩陣：

(15)

下面分析C的MIP特性，驗證C是否可以直接作為測量矩陣。C的MIP特性可以表示為：

(16)

式中：cm為C的第m列，mod為取模運算。

由式(16)可知，可以通過具有最優循環相關特性的序列來構造滿足MIP特性的測量矩陣。SC-FDE系統中常采用m序列，其循環相關特性表示為：

(17)

(18)

r=Φh+v

(19)

2.4 恢復算法

壓縮感知中常見的恢復算法包括：正交匹配追蹤(OMP)、壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSAMP)和分段匹配追蹤(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit，StOMP)等算法[23]。這些算法的應用以知道信道稀疏度為前提，而飛行過程中航空信道的稀疏度往往是未知的，因此這些方法存在局限性?；谙∈瓒茸赃m應匹配追蹤(SAMP)算法，可以自適應信道稀疏度，能準確估計出抽頭位置和個數，滿足實際需求。

綜上，本文針對巡航狀態下稀疏度K未知的航空稀疏信道估計問題，基于壓縮感知框架，提出了PN-SAMP算法：利用PN序列的循環移位特性構造測量矩陣，在重構算法上選擇可以自適應稀疏度K的SAMP算法來恢復信道沖激響應。

2.5 復雜度分析及比較

PN相關算法估計信道的表達式[7]：

(20)

在導頻長度為N的情況下，PN相關算法共需要N3次乘法和N2-1次加法。

LS算法估計信道的表達式[6]：

(21)

采用LU分解求逆運算共需要N3次乘法和N3次加法運算，因此，LS算法共需要3N3+N2次乘法和N3+5N2-N-1次加法。

壓縮感知類算法分為2步：優化測量矩陣Φ的構造和恢復算法。由于C為N×N的矩陣,因此Φ的構造需要N2次乘法，恢復算法由于涉及迭代、字典查詢等運算，統計較為復雜，因此采用比較運行時間的方式來對比算法的復雜度。如圖5，在MATLAB R2018b中對4種算法進行500次蒙特卡洛仿真，得到不同信道長度下算法運行時間的統計平均。

圖5 算法運行時間對比

從圖5可以看出，LS算法的運行時間與PN算法相近，當信道長度較長時，二者運行時間才出現明顯差距，原因在于隨著信道長度變大，LS算法中求逆的計算量以三次方增長。壓縮感知類算法的運行時間明顯長于PN算法和LS算法，而PN-SAMP算法的運行時間在信道長度大于50時，幾乎是OMP算法的2倍，算法復雜度較高。

3 仿真實驗

本節設置2個仿真實驗：一是驗證利用PN序列構造出的測量矩陣的RIP特性，二是驗證本文算法相較其他信道估計算法的性能，主要指標包括信道估計的均方誤差以及算法結合MMSE均衡應用在SC-FDE系統中的誤碼率。

3.1 確定性測量矩陣的RIP特性實驗

從圖6可以看出，由確定矩陣抽樣構建的Gram矩陣相較其他2種隨機矩陣抽樣構建的Gram矩陣，其最大和最小奇異值均值更接近1，因此，由PN序列構造的優化確定矩陣列與列之間的不相干特性更好，信道估計更加準確。

圖6 奇異值分布

3.2 不同信道估計算法下SC-FDE系統的誤碼特性實驗

飛機在巡航狀態下，航空信道的萊斯因子一般為2～20 dB[10]，設置仿真信道KRice=4 dB，飛機飛行最大速度vmax=440 m/s，信道最大時延τmax=33 μs，設置信道長度L=31，采樣周期Ts=1.06 μs，符號速率Rs=Ts=1.06 μs。幀結構參照圖1，設置長度為31 bit的m序列作為導頻序列，CP與導頻序列內容相同，數據塊長度為1 024 bit，采用QPSK數字調制方式，生成512個符號。選擇滾降系數為0.33的根升余弦成型波進行1∶3的上采樣，載波頻率設置為300 MHz。以圖4的兩徑模型為基礎，設置2個位置隨機的中間抽頭量，以模擬飛行過程中的非兩徑航空稀疏信道情況，每個散射分量hk均由200個正弦波合成得到，最終生成服從萊斯分布的稀疏多徑復信道h。

圖7為第k幀數據傳輸時的信道抽頭絕對值，從圖中可以看到，信道的零延遲分量最大，最大延遲分量次之，其他反射分量較小。圖8為該信道的幅頻特性曲線，表明第k幀數據傳輸時所面臨的是一個深衰落信道，最大可達-20 dB，信道特性極差，接收端不做均衡處理將導致系統無法正常通信。

圖7 第k幀數據傳輸時的信道抽頭絕對值

圖8 第k幀數據傳輸時的信道幅頻特性曲線

在接收端，同時采用PN算法、LS算法、PN-SAMD算法。圖9是信噪比為20 dB的情況下，4種算法對信道實部的估計情況，虛部估計情況類似。從圖中可以看出，相較PN算法和LS算法，壓縮感知類算法更接近已知信道抽頭分布，尤其是OMP算法在輸入稀疏度K與已知信道一致時，其性能最優。但是當K輸入發生錯誤時，采用OMP恢復算法的信道估計性能變差，如圖10(b)所示，漏掉了一部分反射分量的能量，導致估計不準確。圖11為以上4種算法的MSE曲線，同樣可以觀察到壓縮感知類算法的估計準確度要優于PN算法和LS算法。當信道稀疏度的先驗知識未知的情況下，OMP算法會出現比較大的估計誤差。

圖9 SNR=20 dB時，4種算法的抽頭實部估計情況

圖10 SNR=20 dB,輸入K=3時,OMP算法估計信道情況

圖11 估計信道的MSE曲線

圖12為4種算法估計信道得到的SC-FDE系統誤碼率曲線，從圖中可以看出，PN算法的最終誤碼率曲線保持在0.1以上，幾乎不隨信噪比變化，原因在于PN算法估計誤差的主要來源是殘留矩陣，信噪比提升對算法誤差影響不大。LS算法的誤碼性能優于PN算法，誤碼特性會隨著信噪比的提升而提升。PN-SAMP算法的誤碼性能優于LS算法，劣于OMP算法，但是當稀疏度輸入錯誤時，OMP算法的誤碼特性明顯變壞(OMP-Wrong)。雖然PN-SAMP算法的誤碼性能不是最優的，但是由于其可以自適應信道稀疏度，不受稀疏度的先驗信息影響，因此，采用PN-SAMP算法作為壓縮感知的恢復算法更加穩健，更能滿足我們的實際工程需求。

圖12 SC-FDE系統誤碼率曲線

4 結語

針對航空信道稀疏特性，基于壓縮感知的框架，本文提出了一種PN-SAMP信道估計算法，該算法利用PN序列構造確定測量矩陣，以SAMP作為恢復算法。仿真結果表明，確定測量矩陣的RIP特性優于隨機測量矩陣，在SC-FDE系統的誤碼率特性中，壓縮感知類算法比傳統的PN相關算法和LS算法對信道估計更準確，誤碼率更低，在信噪比為20 dB的條件下，誤碼率小于10-4。在恢復算法的比較中，SAMP算法比OMP算法更穩健，更能滿足稀疏度未知的實際情況下對航空稀疏信道進行估計的需求。